黑龙江省大庆市大庆实验中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

黑龙江省大庆市大庆实验中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

大庆实验中学2019-2020学年上学期期中考试 数学试题（文）‎ 一、选择题（本大题共12小题，第小题5分，共60分）‎ ‎1.若双曲线的一个焦点为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为双曲线的一个焦点为，所以 ，故选B.‎ ‎2.在直角坐标系中，点.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系（），则点的极坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据极坐标与直角坐标的转化公式求解.‎ ‎【详解】因为，所以；‎ 因且在第三象限，‎ 所以，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标的转化，熟记转化公式是求解关键，一般直角坐标化为极坐标利用公式可得，利用公式及点的位置可得；极坐标化为直角坐标时一般利用来实现.‎ ‎3.设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于( )‎ A. B. C. 6 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据双曲线的定义，联立解得，由于，故为直角三角形，故面积为.‎ ‎4.若直线和椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆1（b＞0）得出≠3，运用直线恒过（0，2），得出1，即可求解答案．‎ ‎【详解】椭圆1（b＞0）得出≠3，‎ ‎∵若直线 ‎∴直线恒过（0，2），‎ ‎∴1,解得 ，故实数的取值范围是 故选B ‎【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．‎ ‎5.已知抛物线的焦点为，直线过点交抛物线于两点，若，，则（ ）‎ A. 1 B. C. D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设直线：，‎ ‎，得，所以，‎ ‎，得，所以，‎ 得，所以．故选C．‎ 点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系．本题中联立直线和抛物线，得到韦达定理，由弦长公式得到方程组，解得．解析几何问题要熟悉综合题型的基本解题套路，利用通法解决问题．‎ ‎6.过椭圆内一点引一条恰好被点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由作差得 ‎ ，选A.‎ 点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.‎ ‎7.已知抛物线：上一点，直线：，：，则到这两条直线的距离之和的最小值为（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题得直线：是抛物线的准线,设P到直线的距离为PA，点P到直线的距离为PB,所以到这两条直线的距离之和为|PA|+|PB|=|PF|+|PB|,当P,B,F三点共线时，距离之和最小. 此时，最小值为，故选D.‎ 点睛：本题的关键是看到|PA|要联想到抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，所以|PA|=|PF|，后面就迎刃而解了. 在圆锥曲线里，一般情况下，只要看到焦半径就要想到圆锥曲线的定义，这是一个一般的规律.‎ ‎8.已知双曲线的离心率为，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，其中为坐标原点，则双曲线的标准方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用离心率公式，求得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得到渐近线的距离为，由勾股定理可得，运用三角形的面积公式，结合的关系，解得，即可求出双曲线方程．‎ ‎【详解】由题意可得 ①， 可得 ，‎ 设 ， 渐近线为  ，‎ 可得 到渐近线的距离为  ，‎ 由勾股定理可得  ，‎ 因为的面积为，所以 ② ，‎ 又 ③，由①②③ 解得  ，‎ 所以双曲线的方程为 ,故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的方程与几何性质，属于中档题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.‎ ‎9.设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，点在双曲线的右支上且，的面积为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. 4 C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据条件确定三角形为直角三角形，结合面积和双曲线的定义可得的关系，从而可得离心率.‎ ‎【详解】由，得 所以△为直角三角形且.‎ 因为的面积为，所以 由 得 由双曲线定义得，所以，即，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求解，求解离心率的关键是构建的关系，三角形的形状判断及其面积的使用为解题提供了思考的方向.‎ ‎10.已知点是椭圆上的一点，点，则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设，则，.‎ 所以当时，的最小值为.‎ 故选D.‎ ‎11.若直线与抛物线交于两个不同的点，抛物线的焦点为，且成等差数列，则 （　　）‎ A. 2或 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设．由得，由韦达定理得，因为直线与抛物线交于两个不同的点，所以即， 由抛物线的性质可知 ‎，再结合条件有，进而得而出答案．‎ ‎【详解】解：设．由消去，得，‎ 故，解得，且．‎ 由，且成等差数列，‎ 得，得，‎ 所以，解得或，又，故，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】圆锥曲线与直线相交问题是高考的重要考点，解题的一般方法是设出交点坐标，将直线方程与圆锥曲线方程联立，再通过韦达定理结合题意求解．‎ ‎12.椭圆的左、右顶点分别为，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由椭圆的方程可得，‎ 由椭圆的性质可知：‎ ‎，则 故选 点睛：本题主要考查的知识点是椭圆的简单性质以及直线的斜率问题．由椭圆的方程可得，，然后利用椭圆的性质可得，再利用已知给出的的范围即可求出答案．‎ 二、填空题（本大题共4小题，第小题5分，共20分）‎ ‎13.抛物线的焦点坐标是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】先把抛物线的方程化成标准方程，‎ 则 根据焦点坐标公式直接写出焦点坐标.‎ ‎14.极坐标方程表示的图形的面积是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 极坐标方程ρ＝2cos（），化为普通方程，求出圆的半径，即可得出结论．‎ ‎【详解】解：极坐标方程ρ＝2cos（）展开可得：ρ＝2（cosθsinθ），可化成普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．表示半径为的圆，面积为2π 故答案为：2π．‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎15.已知椭圆，点是椭圆上在第一象限上的点，分别为椭圆的左、右焦点，是坐标原点，过作的外角的角平分线的垂线，垂足为,若 ‎,则椭圆的离心率为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像，，又，得，利用即可求出离心率．‎ 详解】由题意画出图像 由题意可知 由椭圆定义可知，固有，连接OA，知OA是三角形的中位线，，又，得 则，即，‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查椭圆定义的灵活运用，利用垂直平分产生相等线段，对线段相等进行等量代换，是中档题．‎ ‎16.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知：|PF1|＝|F1F2|＝2c，设椭圆的方程为1（a1＞b1＞0），双曲线的方程为1（a2＞0，b2＞0），利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得的表达式，通过基本不等式即得结论．‎ ‎【详解】解：由题意可知：|PF1|＝|F1F2|＝2c，‎ 设椭圆的方程为1（a1＞b1＞0），‎ 双曲线的方程为1（a2＞0，b2＞0），‎ 又∵|F1P|+|F2P|＝2a1，|PF2|﹣|F1P|＝2a2，‎ ‎∴|F2P|+2c＝2a1，|F2P|﹣2c＝2a2，‎ 两式相减，可得：a1﹣a2＝2c，‎ 则（18）‎ ‎•（218）＝8．‎ 当且仅当，即有e2＝3时等号成立，‎ 则的最小值为8，‎ 故答案为：8．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义和简单性质，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17.已知抛物线的焦点为，抛物线与直线的一个交点的横坐标为4.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过点直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）可先确定抛物线与直线的一个交点坐标，将其代入拋物线方程，可得抛物线的方程；（2）根据，利用抛物线的定义可得，则的方程为，将其代入拋物线方程，联立，消去得，求出的坐标，利用三角形面积公式可得的面积.‎ 试题解析：（1）易知直线与抛物线的交点坐标为，‎ ‎∴，∴，∴抛物线方程为.‎ ‎（2）由（1）知，抛物线的焦点为，准线为，则，则的横坐标为2.代入中，得，不妨令，则直线的方程为，联立，消去得，可得，故 ‎ ‎18.以直角坐标系xOy的坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程是，曲线C2的参数方程是(θ为参数)．‎ ‎(1)写出曲线C1，C2的普通方程；‎ ‎(2)设曲线C1与y轴相交于A，B两点，点P为曲线C2上任一点，求|PA|2＋|PB|2的取值范围．‎ ‎【答案】(1) 曲线C1的普通方程为.曲线C2的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2‎ ‎＝4.(2) [32－16，32＋16]．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题得，再把极坐标化成直角坐标,得到C1的普通方程；消参得到C2的普通方程；（2）设P(2＋2cosθ，2＋2sinθ)，求出|PA|2＋|PB|2＝‎ ‎，再求其取值范围.‎ ‎【详解】(1)由，得.‎ ‎∴，4ρ2cos2θ＋9ρ2sin2θ＝36.∴4x2＋9y2＝36，‎ 即曲线C1的普通方程为.‎ 曲线C2的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.‎ ‎(2)由(1)知，点A，B的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，设P(2＋2cosθ，2＋2sinθ)，‎ 则|PA|2＋|PB|2＝(2＋2cosθ)2＋(2sinθ)2＋(2＋2cosθ)2＋(4＋2sinθ)2＝32＋16sinθ＋16cosθ.‎ ‎∴|PA|2＋|PB|2∈[32－16，32＋16]，‎ 即|PA|2＋|PB|2的取值范围是[32－16，32＋16]．‎ ‎【点睛】本题主要考查极坐标方程、直角坐标方程和参数方程的互化，考查参数方程中取值范围的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.‎ ‎19.已知抛物线，过点的直线与抛物线相切，设第一象限的切点为.‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）若过点的直线与抛物线相交于两点，圆是以线段为直径的圆过点，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意由点斜式设出直线方程，联立后根据相切可知，再由切点在第一象限可求得P点坐标．‎ ‎（2）设出直线方程，联立抛物线，根据两个交点可得；根据韦达定理用m表示出、、；根据圆是以线段为直径的圆过点，可知，代入坐标可解得或，则直线方程可得．‎ ‎【详解】（1）由题意知可设过点的直线方程为 联立得：，‎ 又因为直线与抛物线相切，则，即 当时，直线方程为，则联立得点坐标为 ‎（2）设直线的方程为：，，‎ 联立得：，则恒成立，‎ ‎，‎ 则，‎ 由于圆是以线段为直径的圆过点，则，‎ ‎，则或 则直线的方程为或 ‎【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系的综合应用，向量与抛物线的综合，属于中档题．‎ ‎20.在平面直角坐标系，曲线，曲线（为参数），以坐标原点为 极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线，的极坐标方程；‎ ‎（2）射线分别交，于，两点，求的最大值.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；‎ ‎（2）利用三角函数关系式的恒等变换，变形成正弦型函数，进一步求出函数的最值．‎ ‎【详解】（1）因为 ，，，‎ 所以 的极坐标方程为 ，‎ 因为 的普通方程为 ，‎ 即 ，对应极坐标方程为 ． ‎ ‎（2）因为射线，则 ，‎ 则，所以 ‎＝‎ 又 ，，‎ 所以当 ，即 时， 取得最大值 ‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．‎ ‎21.椭圆经过点,且离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点.在轴上是否存在点 ‎，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（I）（II）存在点，使得.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由椭圆的标准方程和几何性质，即可求解的值，得到椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若存在点，由题意，当直线和的斜率存在,分别设为,，‎ ‎ 等价于，直线的斜率存在，故设直线的方程为.‎ 由 ，得，得，由，即可求得的值．‎ 试题解析：（I） ‎ ‎（II）若存在点，使得，‎ ‎ 则直线和的斜率存在,分别设为,.‎ ‎ 等价于. ‎ 依题意，直线的斜率存在，故设直线的方程为.‎ 由，得. ‎ 因为直线与椭圆有两个交点，所以.‎ 即，解得. ‎ 设，,则，， ‎ 令，‎ 当时，，‎ 化简得， ，‎ 所以. ‎ 当时，也成立.‎ 所以存在点，使得.‎ 点睛：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，其中解答总涉及到椭圆的几何性质及其应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，推理与运算能力，此类问题的解答中，把直线方程代入椭圆的方程，转化为方程的根与系数的关系及韦达定理的应用是解答的关键．‎ ‎22.椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若的倾斜角为时，是等边三角形.‎ ‎（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）若，求中边上中线长的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由焦点分别为得，由，结合，‎ 可得，从而可得椭圆的方程；（2）设直线， 联立得，根据中点坐标公式，结合韦达定理，利用两点间距离公式，可得，换元后，由可得结果.‎ 详解：（1）由已知得：，，‎ 所以 ，，解得 椭圆的方程 ‎ ‎（2）①当直线的斜率为0时，显然不成立．‎ ‎②设直线，， ‎ 联立得 则 ‎ 中边上的中线长为 ‎ ‎ 令则 得 ‎ 由，得，‎ ‎ ‎ ‎， ‎ ‎， ‎ 中边上中线长的取值范围是 .‎ 点睛：本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.‎ ‎ ‎