2018届二轮复习（理）数学思想领航三、分类与整合思想课件（全国通用）

2018届二轮复习（理）数学思想领航三、分类与整合思想课件（全国通用）

数学思想领航二轮复习 方法一　公式、定理分类整合法 方法二　位置关系的分类整合法 方法三　含参问题的分类整合法 三、分类与整合思想 分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解 ( 或分割 ) 成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略 . 对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题 ( 或综合性问题 ) 分解为小问题 ( 或基础性问题 ) ，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合 . 方法一 公式、定理分类整合法 模型 解法 公式、定理分类整合法即利用数学中的基本公式、定理对研究对象进行分类，然后分别对每类问题进行解决的方法 . 此方法多适用于公式、定理自身需要分类讨论的情况 . 破解此类题的关键点： ① 分类转化，结合已知所涉及的知识点，找到合理的分类标准 . ② 依次求解，对每个分类所对应的问题，逐次求解 . ③ 汇总结论，汇总分类结果，得结论 . 由 ① 得－ 1< q <1 ，由 ② 得 q >1. 故 q 的取值范围是 ( － 1,0) ∪ (0 ，＋ ∞ ). 典例 1 　设等比数列 { a n } 的公比为 q ，前 n 项和 S n >0 ( n ＝ 1,2,3 ， … ) ，则 q 的取值范围是 ___________________. 答案 解析 思维升华 解析　 由 { a n } 是等比数列， S n >0 ， 可得 a 1 ＝ S 1 >0 ， q ≠ 0 ，当 q ＝ 1 时， S n ＝ na 1 >0. ( － 1,0) ∪ (0 ，＋ ∞ ) 思维升华　 公式、定理的分类整合法的分类一般比较固定，由定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前 n 项和公式、函数的单调性等 . 跟踪演练 1 　 S n 是等比数列 { a n } 的前 n 项和，若 S 4 ， S 3 ， S 5 成等差数列，则 { a n } 的公比为 答案 解析 √ 解析　 设 { a n } 的公比为 q ( q ≠ 0) ， 由等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S 4 ， S 3 ， S 5 成等差数列，得 2 S 3 ＝ S 4 ＋ S 5 . 当 q ＝ 1 时， S 4 ＝ 4 a 1 ， S 3 ＝ 3 a 1 ， S 5 ＝ 5 a 1 ， 此时 2 S 3 ≠ S 4 ＋ S 5 ，不满足题意； 即 q 2 ＋ q － 2 ＝ 0 ， 解得 q ＝－ 2 或 q ＝ 1( 舍去 ). 方法 二 位置关系的分类整合法 模型解法 对于几何中位置关系的分类讨论问题常采用分类整合法，这种方法适用于解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系，以及几何图形中点、线、面的位置关系的研究 . 破解此类题的关键点： ① 确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定 . ② 分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类 . ③ 得出结论，将 “ 所有关系 ” 下的目标问题进行汇总处理 . 典例 2 　在 约束条件 下 ，当 3 ≤ s ≤ 5 时， z ＝ 3 x ＋ 2 y 的最大值 的 变化范围 是 A.[6,15] B .[7,15] C.[6,8] D .[7,8] 答案 解析 √ 思维升华 由图，可得 A (2,0) ， B (4 － s ，2 s － 4) ， C (0 ， s ) ， C ′ (0,4). ① 当 3 ≤ s <4 时，不等式组所表示的可行域是四边形 OABC 及其内部， 此时， z ＝ 3 x ＋ 2 y 在点 B 处取得最大值，且 z max ＝ 3(4 － s ) ＋ 2(2 s － 4) ＝ s ＋ 4 ， 由 3 ≤ s <4 ，得 7 ≤ z max <8. ② 当 4 ≤ s ≤ 5 时，不等式组所表示的可行域是 △ OAC ′ 及其内部 ， 此时 z ＝ 3 x ＋ 2 y 在点 C ′ 处取得最大值，且 z max ＝ 8. 综上可知， z ＝ 3 x ＋ 2 y 的最大值的变化范围是 [7,8] ，故选 D. 思维升华　 (1) 在解析几何位置关系的研究中，不能仅仅关注直线与圆锥曲线的位置关系中的相交、相离和相切三种情况，还要注意焦点在不同位置时的关系的探究 . (2) 在几何图形的相关问题中，要充分发挥空间想象能力，将所有可能出现的关系 “ 一网打尽 ”. 如本题随着 s 取值的变化，目标函数值是会随着变化的，如果考虑不全，就会得出错误结论 . 跟踪演练 2 　 抛物线 y 2 ＝ 4 px ( p >0) 的焦点为 F ， P 为其上的一点， O 为坐标原点，若 △ OPF 为等腰三角形，则这样的点 P 的个数为 ________. 答案 解析 4 解析　 当 | PO | ＝ | PF | 时，点 P 在线段 OF 的中垂线上，此时，点 P 的位置有两个； 当 | OP | ＝ | OF | 时，点 P 的位置也有两个； 对 | FO | ＝ | FP | 的情形，点 P 不存在 . 又 ∵ y 2 ＝ 4 px ， ∴ x 2 ＋ 2 px ＝ 0 ，解得 x ＝ 0 或 x ＝－ 2 p ， 当 x ＝ 0 时，不构成三角形 . 当 x ＝－ 2 p ( p >0) 时，与点 P 在抛物线上矛盾 . ∴ 符合要求的点 P 有 4 个 . 方法三 含参问题的分类整合法 模型解法 含参问题的分类整合法是分类讨论问题中最重要、最常见也是最复杂的一种方法，在解决问题中一般根据参数的取值范围进行分类 . 此模型适用于某些含有参数的问题，如含参的方程、不等式等，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的方法进行求解或证明，因此要分类讨论 . 破解此类题的关键点： ① 确定范围，确定需要分类问题中参数的取值范围 . ② 确定分类标准，这些分类标准都是在解题过程中根据解决问题的需要确定的，注意有些参数可能出现多级分类，要做到不重不漏 . ③ 分类解决问题，对分类出来的各相应问题分别进行求解 . ④ 得出结论，将所得到的结论进行汇总，得出正确结论 . 解析 思维升华 典例 3 　函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ 4 x － 3 在 [0,2] 上有最大值 f (2) ，则实数 a 的取值范围为 A.( － ∞ ，－ 1] B .[ － 1 ，＋ ∞ ) C.( － ∞ ， 0) D .(0 ，＋ ∞ ) 答案 √ 解析　 方法一 　当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝ 4 x － 3 在 [0,2] 上为单调递增函数，最大值为 f (2) ，满足题意 . 当 a >0 时， f ( x ) ＝ ax 2 ＋ 4 x － 3 在 [0,2] 上为单调递增函数，最大值为 f (2) ，满足题意 . 综上，当 a ≥ － 1 时，函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ 4 x － 3 在 [0,2] 上有最大值 f (2). 故选 B. 方法二 　由 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ 4 x － 3 ，得 f ′ ( x ) ＝ 2 ax ＋ 4 ， 要使函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ 4 x － 3 在 [0,2] 上有最大值 f (2) ， 需使 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ 4 x － 3 在 [0,2] 上为单调递增函数，则 f ′ ( x ) ＝ 2 ax ＋ 4 ≥ 0 在 [0,2] 上恒成立， 综上，当 a ≥ － 1 时，函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ 4 x － 3 在 [0,2] 上有最大值 f (2). 故选 B. 思维升华　 对于含参问题的分类讨论主要有以下三种类型： (1) 概念型，即问题所涉及的数学概念是分类进行定义的，如 | a | 的定义分 a >0 ， a ＝ 0 ， a <0 三种情况 . (2) 性质型，即问题中涉及的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制、或者是分类给出的，如等比数列的前 n 项和公式，分 q ＝ 1 和 q ≠ 1 两种情况 . (3) 含参型，求解含有参数的问题时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论 . 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都需要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性 . 跟踪演练 3 　 已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F 1 ( － 1,0) ， F 2 (1,0) ，且 F 2 到直线 x － y － 9 ＝ 0 的距离等于椭圆的短轴长 . (1) 求椭圆 C 的方程； 所以 b ＝ 2 ，又 c ＝ 1 ，所以 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 ＝ 5 ， 解答 解答 (2) 若圆 P 的圆心为 P (0 ， t )( t >0) ，且经过 F 1 ， F 2 两点， Q 是椭圆 C 上的动点且在圆 P 外，过 Q 作圆 P 的切线，切点为 M ，当 | QM | 的最大值 为 时 ，求 t 的值 . 圆 P 的方程为 x 2 ＋ ( y － t ) 2 ＝ t 2 ＋ 1 ， 连接 PM ，因为 QM 为圆 P 的切线， 所以 PM ⊥ QM ， 当 y ＝－ 2 时， | QM | 取得最大值， 当 y ＝－ 4 t 时， | QM | 取得最大值，