广东省揭阳市榕城区第三中学2020届高三上学期10月月考数学（理）试题

广东省揭阳市榕城区第三中学2020届高三上学期10月月考数学（理）试题

揭阳市第三中学2020届高三级第一学期第二次阶段考试 数学（理科）试题 第Ⅰ卷（选择题 满分60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题.）‎ ‎1.已知集合，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合A，根据集合的交集运算求解即可.‎ ‎【详解】，则.‎ 所以本题答案为D.‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交集运算，属基础题.‎ ‎2.设，则“”是“”的（）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出不等式的解，根据包含关系即可确定结论.‎ ‎【详解】不等式的解为x>1或x<-3，所以“”是“”成立的必要不充分条件.‎ 所以本题答案为B.‎ ‎【点睛】本题考查充分条件和必要条件的概念，以及对必要不充分条件的判断，属基础题.‎ ‎3.设f(x)为定义在R上的奇函数，当时，（b为常数），则 f(-2)=（ ）‎ A. 6 B. -6 C. 4 D. -4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∴f(x)为定义在R上的奇函数，且当时，，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ ‎∴．选A． ‎ ‎4.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 所以 ‎5.函数的大致图象是　　‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ 由题意，函数满足，则或，‎ ‎ 当时，为单调递增函数，‎ ‎ 当时，，故选A.‎ ‎6.函数f（x）=log2x﹣的零点所在的区间为（　　）‎ A. （0，1） B. （l，2） C. （2，3） D. （3，4）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ 单调递增 ‎ ，所以零点所在的区间为(1,2)，选B.‎ ‎7.设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.‎ 详解：因为函数是奇函数，所以，解得，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 所以曲线在点处的切线方程为，‎ 化简可得，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，‎ 借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.‎ ‎8.若函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的对称轴，讨论区间与对称轴的位置关系，从而得到结果.‎ ‎【详解】函数的对称轴是， 函数在区间上是单调函数，且函数的图象是开口向上的， 则当，即时，函数在区间上是单调增函数； 当，即时，函数在区间上是单调减函数. 的取值范围是.‎ 所以本题答案为C.‎ ‎【点睛】本题考查一元二次函数的图象和性质，由对称轴确定二次函数的单调性是常用手段，属基础题.‎ ‎9.设满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ A. -4 B. -2 C. 0 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式组画出可行域，将目标函数化为斜截式，通过平移得到过点C（2，0）时取得最小值.‎ ‎【详解】‎ 目标函数可化简为：y=2x-4+z,根据图像得到当目标函数过点C（2，0）时取得最小值，代入得到.‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】点睛：利用线性规划求最值的步骤：‎ ‎(1)在平面直角坐标系内作出可行域．‎ ‎(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．‎ ‎(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．‎ ‎(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。‎ 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.‎ ‎10.若正数满足，当取得最小值时，的值为（ ）‎ A. B. 2 C. D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将方程变形 代入可得3x+4y=（3x+4y）（）=×3，然后利用基本不等式即可求解．‎ ‎【详解】∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0‎ ‎∴‎ ‎∴3x+4y=（3x+4y）（）=×3 ‎ 当且仅当即x=2y=1时取等号,的值为2.‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.‎ ‎11.已知函数在处的极值为6，则数对为（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出原函数的导函数，利用函数在处有极值6，得到，，联立方程组求解a和b的值即可得到结果.‎ ‎【详解】由得：， 在处有极值6，‎ ‎，‎ 计算得出：，或，‎ 则数对为或.‎ 所以D选项是正确的.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查了已知函数的极值求解参数的问题，要求仔细审题，认真计算，属基础题.‎ ‎12.已知函数，则方程实根的个数为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得到或，再根据的图象来判断当或时对应的有几个，即为实根个数 ‎【详解】由可得或，当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，函数在处取得极小值，极小值为，绘制函数的图象如图所示，观察可得，方程的实根个数为3，故选B ‎【点睛】本题考查函数与方程中，导数在研究函数中的应用，图像法处理零点个数问题，找到变量关系，灵活利用图象，是解题关键 第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.）‎ ‎13.函数的定义域______________‎ ‎【答案】｛x︱x≥-1且x≠2｝‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数表达式得到解出即可.‎ 详解】根据函数表达式得到.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】求函数定义域的注意点：(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化；(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集；(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.‎ ‎14.已知函数，，则________．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，判断是奇函数，利用已知条件和奇函数的性质求出，从而得到的值.‎ ‎【详解】因，‎ 所以可设，‎ 即，‎ 所以为奇函数.‎ 因为，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以.‎ 故本题正确答案为.‎ ‎【点睛】本题考查奇函数的概念和性质，考查了构造函数的方法，根据题意构造奇函数是解决本题的关键，属中档题.‎ ‎15.已知函数若，则______.‎ ‎【答案】或-1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论与0的大小关系后，分别代入到每段的表达式中，解出即可 ‎【详解】当时，，‎ 当时，，‎ 综上，或 ‎【点睛】本题考查分段函数已知函数值求自变量问题，需要分类讨论，且对最后结果要检验并进行取舍。‎ ‎16.已知函数在上连续，对任意都有；在中任意取两个不相等的实数，都有恒成立；若，则实数的取值范围是_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的对称性，由可知函数关于直线对称，然后再根据所得性质构造函数，最后把进行单调性转化，整理出不等式，最后求解，即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由可知函数关于直线对称；在中任意取两个不相等的实数，都有恒成立；可知函数在区间上单调递减，由对称性可知函数在区间上单调递增，不妨设，则由可得 ‎，整理得，即，解得或，所以实数的取值范围是．‎ 答案为：‎ ‎【点睛】本题考查函数的对称性与构造函数的应用，难点在于根据已有的函数性质构造出相应的函数，属于难题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）‎ ‎17.在等差数列中，，前4项和为18.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知条件列出关于首项与公差的方程组，求出首项与公差，即可求数列的通项公式； ‎ ‎（2）利用错位相减法求和，计算求解即可.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为.‎ 由已知得，解得，所以；‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 所以①，‎ ‎②，‎ ‎①-②，得，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的基本运算和错位相减法求和，要求熟记公式，认真计算，属中档题.‎ ‎18.已知函数，.‎ ‎（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；‎ ‎（2）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据二次函数与对应一元二次不等式的关系，求出a的值，再解不等式即可； （2）根据二次函数的图象与性质，列出不等式组，求出解集即可.‎ ‎【详解】（1）因为不等式的解集为，‎ 则方程两个根为1和2，‎ 由根与系数的关系可得，，‎ 所以.‎ 由，得，‎ 即，解得或，‎ 所以不等式的解集为；‎ ‎（2）由题知函数，且在区间上有两个不同的零点，‎ 则，即，‎ 解得，‎ 所以实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式(组)的解法与应用问题，综合性较强，属中档题.‎ ‎19.如图，四棱锥的底面为直角梯形，，且 为等边三角形，平面平面；点分别为的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求解线面平行，根据题意，连接相应的中位线，根据中位线的关系可得，四边形是平行四边形.‎ ‎(2) 设的中点为， 可证两两垂直，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，然后求出平面的法向量，最后利用向量的内积关系即可求解出直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【详解】（1）设的中点为，连接，‎ 为的中点，所以为的中位线，‎ 则可得，且；‎ 在梯形中，，且，‎ ‎，‎ 所以四边形是平行四边形，‎ ‎，又平面，平面，‎ 平面． ‎ 法二：设为的中点，连接，‎ 为的中点，‎ 所以是的中位线，所以，‎ 又平面，平面，‎ 平面， ‎ 又在梯形中，，且，‎ 所以四边形是平行四边形，‎ ‎，‎ 又平面，平面，‎ 平面， ‎ 又，‎ 所以平面平面，‎ 又平面，‎ 平面． ‎ ‎（2）设的中点为，又．‎ 因为平面平面，交线为，平面，‎ 平面，‎ 又由，，‎ ‎．‎ 即有两两垂直，如图，以点为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系．‎ ‎ ‎ 已知点，‎ 设平面的法向量为：．‎ 则有 ，可得平面的一个法向量为，‎ ‎， ‎ 可得：，‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎【点睛】本题的第一问是比较常规的证明线面平行的题目，难点在于根据中点连成相应的平行四边形，进而证明出线面平行；第二问是常规的求线面角的正弦值，难点在于建立坐标系，当建立了坐标系后，即可求出平面的法向量，进而求解所求角的正弦值.‎ ‎20.已知函数，.‎ ‎（1）若曲线在处的切线与函数也相切，求实数的值；‎ ‎（2）求函数在上最小值．‎ ‎【答案】（1）或-1（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，计算，的值，求出切线方程，再与联立消去y得到关于x的一元二次方程，令判别式为0即可求得结果； （2）利用函数的导数求出函数的单调区间， 通过讨论t的范围从而求出的最小值即可.‎ ‎【详解】（1），‎ 当时，，，‎ 所以在处的切线方程为.‎ 联立，得，‎ 由题意可知，，‎ 所以或-1；‎ ‎（2）由（1）知，当时，，单调递减，当时，，单调递增．‎ ‎①当，即时，；‎ ‎②当，即时，；‎ ‎③当，即时，.‎ 综上，.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义和曲线相切的概念，考查了利用导数研究函数的最值和分类讨论的思想运用，综合性强，属难题.‎ ‎21.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收益P、种黄瓜的年收益Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．‎ ‎(1)求f(50)的值；‎ ‎(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？‎ ‎【答案】（1）；（2）甲大棚万元，乙大棚万元时，总收益最大, 且最大收益为万元.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当甲大棚投入万元，则乙大棚投入万元，此时直接计算即可；（2）列出总收益的函数式得 ‎，令，换元将函数转换为关于的二次函数，由二次函数知识可求其最大值及相应的值.‎ 试题解析： （1）∵甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，‎ ‎∴‎ ‎（2），‎ 依题得，即，‎ 故.‎ 令，则，‎ 当时，即时，，‎ ‎∴甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元.‎ 考点：1.函数建模；2.二次函数.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线的极坐标方程分别为，，设直线与曲线的交点为，，，求的面积.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）由题意可得C的普通方程，极坐标方程为.‎ ‎（2）由题意可得，，△OMN为直角三角形，则.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由参数方程，得普通方程，‎ 所以极坐标方程，即 ‎（2）直线与曲线的交点为，得，‎ 又直线与曲线的交点为，得，‎ 且，所以.‎