2018届二轮复习（文）　数列、推理与证明专题四第4讲学案（全国通用）

2018届二轮复习（文）　数列、推理与证明专题四第4讲学案（全国通用）

第 4 讲 推理与证明 1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以 小题形式出现． 2．直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不 等式等综合命题． 热点一 归纳推理 1．归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些 特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理． 2．归纳推理的思维过程如下： 实验、观察 → 概括、推广 → 猜测一般性结论 例 1 (1)(2017·日照市模拟)给出下列等式： 2＝2cos π 4 ， 2＋ 2＝2cos π 8 ， 2＋ 2＋ 2＝2cos π 16 ， …， 请从中归纳出第 n(n∈N*)个等式： 2＋ 2＋…＋ 2＝________. n 个根号 答案 2cos π 2n＋1 解析 因为已知等式的右边系数是 2，角是等比数列，公比为1 2 ，角满足 π 2n＋1 ，所以 2＋… 2＋ 2＝2cos π 2n＋1. (2)(2017 届云南曲靖一中月考)如图是一个三角形数阵： 1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 1 15 1 17 1 19 按照以上排列的规律，第 16 行从左到右的第 2 个数为____________． 答案 1 243 解析 前 15 行共有1515＋1 2 ＝120⇒所求为 a122＝ 1 2×122－1 ＝ 1 243. 思维升华 归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出 一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数 有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察—归纳—猜想—证明”，解题的关键在 于正确的归纳猜想． 跟踪演练 1 (1)(2017·贵州省贵阳市第一中学适应性考试)观察下列不等式： 1·2<3 2 ， 1·2＋ 2·3<4， 1·2＋ 2·3＋ 3·4<15 2 ， 1·2＋ 2·3＋ 3·4＋ 4·5<12， …， 照此规律，第 n 个不等式为________________________． 答案 1·2＋ 2·3＋ 3·4＋…＋ nn＋1b>0)外，过点 P0 作该椭圆的两条切线，切点分别为 P1， P2，则切点弦 P1P2 所在直线的方程为x0x a2 ＋y0y b2 ＝1.那么对于双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)，类 似地，可以得到切点弦所在直线的方程为__________________． 答案 x0x a2 －y0y b2 ＝1 解析 设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P0(x0，y0)，则过点 P1，P2 的切线的方程分别为x1x a2 －y1y b2 ＝1， x2x a2 －y2y b2 ＝1.因为 P0(x0，y0)在这两条切线上，所以x1x0 a2 －y1y0 b2 ＝1，x2x0 a2 －y2y0 b2 ＝1，这说明 P1(x1， y1)，P2(x2，y2)都在直线x0x a2 －y0y b2 ＝1 上，故切点弦 P1P2 所在直线的方程为x0x a2 －y0y b2 ＝1. 思维升华 类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共 同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等 比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才 能有方法上的类比． 跟踪演练 2 (1)(2017·哈尔滨师范大学附属中学模拟)平面上，点 A，C 为射线 PM 上的两点， 点 B，D 为射线 PN 上的两点，则有S△PAB S△PCD ＝PA·PB PC·PD ；空间中，点 A，C 为射线 PM 上的两点， 点 B，D 为射线 PN 上的两点，点 E，F 为射线 PL 上的两点，则有VP－ABE VP－CDF ＝________. 答案 PA·PB·PE PC·PD·PF 解析 由题设可得VP－ABE VP－CDF ＝VE－PAB VF－PCD ＝S△PABPE·sin θ S△PCDPF·sin θ ＝ PA·PBsin∠BPA·PE PC·PDsin∠DPC·PF ＝ PA·PB·PE PC·PD·PF (其中 θ是射线 PL 与平面 PAB 所成的角)． (2)已知双曲正弦函数 sh x＝ex－e－x 2 和双曲余弦函数 ch x＝ex＋e－x 2 与我们学过的正弦函数和 余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角公式，写出双曲正弦 或双曲余弦函数的一个类似的正确结论______________________________________． 答案 ch(x－y)＝ch xch y－sh xsh y(答案不唯一) 解析 ch xch y－sh xsh y ＝ex＋e－x 2 ·ey＋e－y 2 －ex－e－x 2 ·ey－e－y 2 ＝1 4(ex＋y＋ex－y＋e－x＋y＋e－x－y－ex＋y＋ex－y＋e－x＋y－e－x－y) ＝1 4(2ex－y＋2e－(x－y)) ＝ex－y＋e－x－y 2 ＝ch(x－y)， 同理可得 ch(x＋y)＝ch xch y＋sh xsh y， sh(x－y)＝sh xch y－ch xsh y， sh(x＋y)＝sh xch y＋ch xsh y. 热点三 直接证明和间接证明 直接证明的常用方法有综合法和分析法，综合法由因导果，而分析法则是执果索因，反证法 是反设结论导出矛盾的证明方法． 例 3 已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点( an，an＋1)(n∈N*)在函数 y＝x2＋1 的图象 上． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足 b1＝1， 1 2 na n nb b   ，求证：bn·bn＋21)，证明：方程 f(x)＝0 没有负根． 证明 (1)要证 1 a＋b ＋ 1 b＋c ＝ 3 a＋b＋c ， 即证a＋b＋c a＋b ＋a＋b＋c b＋c ＝3， 也就是 c a＋b ＋ a b＋c ＝1， 只需证 c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 需证 c2＋a2＝ac＋b2， 又△ABC 三个内角 A，B，C 成等差数列，故 B＝60°， 由余弦定理，得 b2＝c2＋a2－2accos 60°， 即 b2＝c2＋a2－ac， 故 c2＋a2＝ac＋b2 成立． 于是原等式成立． (2)假设 x0 是 f(x)＝0 的负根， 则 x0<0，且 x0≠－1， 0 0 0 2 ,1 x xa x    所以 0 0 0 20 1 0 1,1 x xa x       解得1 20，则第 n 个不等式为 ________________． 押题依据 根据 n 个等式或不等式归纳猜想一般规律的式子是近几年的高考热点，相对而 言，归纳推理在高考中出现的机率较大． 答案 x＋nn xn ≥n＋1 解析 已知所给不等式的左边第一个式子都是 x，不同之处在于第二个式子，当 n＝1 时， 为1 x ；当 n＝2 时，为4 x2 ；当 n＝3 时，为27 x3 ；…… 显然式子中的分子与分母是对应的，分母为 xn，分子是 nn， 所以不等式左边的式子为 x＋nn xn ， 显然不等式右边的式子为 n＋1， 所以第 n 个不等式为 x＋nn xn ≥n＋1. 3．设数列{an}是公比为 q 的等比数列，Sn 是它的前 n 项和，证明：数列{Sn}不是等比数列． 押题依据 反证法是一种重要的证明方法，直接证明不易证明时常采用反证法． 证明 假设{Sn}是等比数列，则 S22＝S1S3，即 a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)．因为 a1≠0，所以 (1＋q)2＝1＋q＋q2，即 q＝0，这与 q≠0 矛盾， 故{Sn}不是等比数列． A 组 专题通关 1．(2017 届辽宁葫芦岛普通高中月考)下面四个推理，不属于演绎推理的是( ) A．因为函数 y＝sin x(x∈R)的值域为[－1,1]，2x－1∈R，所以 y＝sin(2x－1)(x∈R)的值域也 为[－1,1] B．昆虫都是 6 条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有 6 条腿 C．在平面中，对于三条不同的直线 a，b，c，若 a∥b，b∥c 则 a∥c，将此结论放到空间中 也是如此 D．如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的 身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多， 于是，他得出了凶手身高六尺多的结论 答案 C 解析 C 中的推理属于合情推理中的类比推理，A，B，D 中的推理都是演绎推理． 2．(2017 届三湘名校教育联盟联考)下面结论正确的是( ) ①一个数列的前三项是 1,2,3，那么这个数列的通项公式 an＝n(n∈N*)； ②由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理； ③在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适； ④“所有 3 的倍数都是 9 的倍数，某数 m 是 3 的倍数，则 m 一定是 9 的倍数”，这是三段 论推理，但其结论是错误的． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 答案 D 解析 ①所给条件无法确定整个数列满足通项公式．例如第四项是否为 4，①错误； ②由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，是合情推理，②正确； ③类比时，平面中的三角形与空间中的三棱锥作为类比对象较为合适， ③错误； ④所给命题满足三段论推理，但其结论却是错误的，④正确．故选 D. 3．设 a，b，c∈(－∞，0)，则 a＋1 b ，b＋1 c ，c＋1 a( ) A．都不大于－2 B．都不小于－2 C．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2 答案 C 解析 假设 a＋1 b ，b＋1 c ，c＋1 a 都大于－2， 即 a＋1 b>－2，b＋1 c>－2，c＋1 a>－2， 将三式相加，得 a＋1 b ＋b＋1 c ＋c＋1 a>－6， 又因为 a＋1 a ≤－2，b＋1 b ≤－2，c＋1 c ≤－2， 所以 a＋1 b ＋b＋1 c ＋c＋1 a ≤－6， 所以假设不成立，故选 C. 4．(2017 届河南省郑州、平顶山、濮阳市二模)平面内凸四边形有 2 条对角线，凸五边形有 5 条对角线，以此类推，凸 13 边形的对角线条数为( ) A．42 B．65 C．143 D．169 答案 B 解析 由题设可知当 n＝4 时，对角线的条数 f(4)＝2＝3－1＝4－14－2 2 －1；当 n＝5 时， 对角线的条数 f(5)＝5＝6－1＝5－15－2 2 －1；可以归纳：对角线的条数与边数的函数关系 f(n)＝n－1n－2 2 －1. 当 n＝13 时，对角线的条数 f(13)＝13－113－2 2 －1＝65，故选 B. 5．(2017 届江西师范大学附属中学月考)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、 乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是 丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核 实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可 判断罪犯是( ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案 B 解析 ∵乙、丁两人的观点一致，∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假．若乙、丁两人说 的是真话，则甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出 乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，矛盾，∴乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真 话．由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯． 6．(2017 届湖南长沙长郡中学模拟)设函数 f(x)＝ x 2x＋2 ，观察： f1(x)＝f(x)＝ x 2x＋2 ， f2(x)＝f(f1(x))＝ x 6x＋4 ， f3(x)＝f(f2(x))＝ x 14x＋8 ， f4(x)＝f(f3(x))＝ x 30x＋16 ， …， 根据以上事实，当 n∈N*时，由归纳推理可得 fn(1)＝________. 答案 1 3·2n－2 解析 通过条件归纳推理可知 fn(x)＝ x 2n＋1－2x＋2n ， ∴fn(1)＝ 1 2n＋1－2＋2n ＝ 1 3·2n－2. 7．(2017·江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学联考)观察以下三个不等式： ①(12＋22＋32)(32＋42＋52)≥(1×3＋2×4＋3×5)2； ②(72＋92＋102)(62＋82＋112) ≥(7×6＋9×8＋10×11)2； ③(202＋302＋2 0172)(992＋902＋2 0162) ≥(20×99＋30×90＋2 017×2 016)2 若 2x＋y＋z＝－7，x，y，z∈R 时，则(x＋1)2＋(y＋2)2＋(z＋1)2 的最小值为________． 答案 2 3 解析 [(x＋1)2＋(y＋2)2＋(z＋1)2](22＋12＋12)≥(2x＋2＋y＋2＋z＋1)2＝4，故(x＋1)2＋(y ＋2)2＋(z＋1)2≥4 6 ＝2 3. 8．(2017 届山东省枣庄市第三中学二调)对于大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下 方式的“分裂”，23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，仿此，若 m3 的“分裂 数”中有一个是 39，则 m 的值为________． 答案 6 解析 依据题设中所提供的等式很容易发现其规律： 53＝21＋23＋25＋27＋29,63＝31＋33＋35＋37＋39＋41，所以 m＝6. 9．如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数，那么对于区间 D 内的任意 x1，x2，…，xn，都有 fx1＋fx2＋…＋fxn n ≤f x1＋x2＋…＋xn n .若 y＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A＋sin B＋sin C 的最大值是________． 答案 3 3 2 解析 由题意知，凸函数满足 fx1＋fx2＋…＋fxn n ≤f x1＋x2＋…＋xn n ， 又 y＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数， 则 sin A＋sin B＋sin C≤3sinA＋B＋C 3 ＝3sinπ 3 ＝3 3 2 . 10．已知 a，b，m 为非零实数，且 a2＋b2＋2－m＝0， 1 a2 ＋ 4 b2 ＋1－2m＝0. (1)求证： 1 a2 ＋ 4 b2 ≥ 9 a2＋b2 ； (2)求证：m≥7 2. 证明 (1)(分析法)要证 1 a2 ＋ 4 b2 ≥ 9 a2＋b2 成立， 只需证 1 a2 ＋ 4 b2 (a2＋b2)≥9， 即证 1＋4＋b2 a2 ＋4a2 b2 ≥9， 即证b2 a2 ＋4a2 b2 ≥4. 根据基本不等式，有b2 a2 ＋4a2 b2 ≥2 b2 a2·4a2 b2 ＝4 成立， 当且仅当 b2＝2a2 时“＝”成立． 所以原不等式成立． (2)(综合法)因为 a2＋b2＝m－2， 1 a2 ＋ 4 b2 ＝2m－1， 由(1)知(m－2)(2m－1)≥9，即 2m2－5m－7≥0， 解得 m≤－1 或 m≥7 2.又因为 a2＋b2＝m－2>0. 所以 m>2，故 m≤－1 舍去，所以 m≥7 2. B 组 能力提高 11．(2017·北京市海淀区期末)已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一 轴穿过它们的圆心)，两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个 区域，小圆盘上所写的实数分别记为 x1，x2，x3，x4，大圆盘上所写的实 数分别记为 y1，y2，y3，y4，如图所示．将小圆盘逆时针旋转 i (i＝1,2,3,4) 次，每次转动 90°，记 Ti (i＝1,2,3,4)为转动 i 次后各区域内两数乘积之和， 例如 T1＝x1y2＋x2y3＋x3y4＋x4y1.若 x1＋x2＋x3＋x4<0，y1＋y2＋y3＋y4<0，则以下结论正确的是 ( ) A．T1，T2，T3，T4 中至少有一个为正数 B．T1，T2，T3，T4 中至少有一个为负数 C．T1，T2，T3，T4 中至多有一个为正数 D．T1，T2，T3，T4 中至多有一个为负数 答案 A 解析 根据题意可知，(x1＋x2＋x3＋x4)(y1＋y2＋y3＋y4)>0，又(x1＋x2＋x3＋x4)(y1＋y2＋y3＋y4) ＝T1＋T2＋T3＋T4>0，所以可知 T1，T2，T3，T4 中至少有一个为正数，故选 A. 12．(2017 届陕西省黄陵中学月考)有限与无限转化是数学中一种重要思想方法，如在《九章 算式》方田章源田术(刘徽注)中：“割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣．”说 明“割圆术”是一种无限与有限的转化过程，再如 2＋ 2＋ 2＋…中“…”即代表无限 次重复，但原式却是个定值 x，这可以通过方程 2＋x＝x 确定出来 x＝2，类似地可以把循 环小数化为分数，把 0.36 ·· 化为分数的结果为__________． 答案 4 11 解析 设 0.36 ·· ＝x，则 x＝0.36＋ x 100 ，x＝ 4 11. 13．埃及数学中有一个独特现象：除2 3 用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干 个单分数和的形式．例如2 5 ＝1 3 ＋ 1 15 ，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给 5 个人， 如果每人1 2 ，不够，每人1 3 ，余1 3 ，再将这1 3 分成 5 份，每人得 1 15 ，这样每人分得1 3 ＋ 1 15.形如2 n(n ＝5,7,9,11…)的分数的分解：2 5 ＝1 3 ＋ 1 15 ，2 7 ＝1 4 ＋ 1 28 ，2 9 ＝1 5 ＋ 1 45 ，按此规律，2 11 ＝________；2 n ＝________(n＝5,7,9,11)． 答案 1 6 ＋ 1 66 1 n＋1 2 ＋ 1 nn＋1 2 解析 2 7 ＝1 4 ＋ 1 28 ，表示两个面包分给 7 个人，每人1 3 ，不够，每人1 4 ，余1 4 ，再将这1 4 分成 7 份，每人得 1 28 ，其中 4＝7＋1 2 ，28＝7×7＋1 2 ；2 9 ＝1 5 ＋ 1 45 ，表示两个面包分给 9 个人，每人1 4 ， 不够，每人1 5 ，余1 5 ，再将这1 5 分成 9 份，每人得 1 45 ，其中，5＝9＋1 2 ，45＝9×9＋1 2 .按此规律， 2 11 表示两个面包分给 11 个人，每人1 5 ，不够，每人1 6 ，余1 6 ，再将这1 6 分成 11 份，每人得 1 66 ， 所以 2 11 ＝1 6 ＋ 1 66 ，其中，6＝11＋1 2 ,66＝11×11＋1 2 ，2 n ＝ 1 n＋1 2 ＋ 1 nn＋1 2 . 14．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°； ②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°； ③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°； ④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 方法一 (1)选择②式，计算如下： sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15° ＝1－1 2sin 30°＝1－1 4 ＝3 4. (2)三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝3 4. 证明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2 －sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin2α＋3 4cos2α＋ 3 2 sin αcos α＋1 4sin2α－ 3 2 sin αcos α－1 2sin2α＝3 4sin2α＋3 4cos2α＝3 4. 方法二 (1)同方法一． (2)三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝3 4. 证明如下： sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α 2 ＋1＋cos60°－2α 2 －sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝1 2 －1 2cos 2α＋1 2 ＋1 2(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－ 3 2 sin αcos α－1 2sin2α ＝1 2 －1 2cos 2α＋1 2 ＋1 4cos 2α＋ 3 4 sin 2α－ 3 4 sin 2α－1 4(1－cos 2α) ＝1－1 4cos 2α－1 4 ＋1 4cos 2α＝3 4.