四川省泸县第四中学2019-2020学年高二下学期第四学月考试数学（理）试题

四川省泸县第四中学2019-2020学年高二下学期第四学月考试数学（理）试题

‎2020年春四川省泸县第四中学高二第四学月考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．命题“，”的否定是 ‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎2．已知复数满足，则 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3．若“直线与圆相交”，“”；则是 ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．在某项测试中，测量结果与服从正态分布，若，则 A．0.4 B．0.8 C．0.6 D．0.21‎ ‎5．已知双曲线x2 =1上一点P与左焦点的连线的中点M恰好在y轴上，则|PF1｜等于 A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎6．若直线l：过点，当取最小值时直线l的斜率为 A．2 B． C． D．2‎ 7． 在二项式的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分 是由曲线和圆及轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为 A． B． C． D．‎ ‎8．2020年2月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播、微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男、女学生，发现有的男生喜欢网络课程，有的女生不喜欢网络课程，且有的把握但没有的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男、女学生总数量可能为 附：，其中.‎ k A．130 B．190 C．240 D．250‎ ‎9．已知P（x，y）是直线kx+y+3=0（k>0）上一动点，PA，PB 是圆C：+2y=0的两条切线，.A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是，则k的值为 A． B． C． D．‎ ‎10．已知抛物线y2=8x，点C 为抛物线的准线与x轴的交点，过点C做直线l交抛物线于A、B两点，则线段AB的垂直平分线在x轴上截距的取值范围是 A．（3，+） B．（6，+） C．[3.+） D．[6，+ ）‎ ‎11．如图，有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2，其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色，金色1、金色2是两种不同的颜色，要求红色不在两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案有 A．120种 B．240种 C．144种 D．288种 ‎12．已知函数在上恒不大于0，则的最大值为 A． B． C．0 D．1‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别，，p，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则p的值为_____．‎ ‎14．已知直线l：2x﹣y﹣1＝0与抛物线x2＝﹣4y交于A，B两点，则|AB|＝_____．‎ ‎15．若是函数的极值点，则在上的最小值为______.‎ ‎16．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形最大内角小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为.根据以上性质，函数的最小值为__________．‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．（12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（II）当时，求函数的最大值.‎ ‎18．（12分）全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平.某市的体育部门对某小区的4000人进行了“运动参与度”统计评分（满分100分），得到了如下的频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）求这4000人的“运动参与度”的平均得分（同一组中数据用该组区间中点作代表）；‎ ‎（II）由直方图可认为这4000人的“运动参与度”的得分服从正态分布，其中，分别取平均得分和方差，那么选取的4000人中“运动参与度”得分超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？‎ ‎（III）如果用这4000人得分的情况来估计全市所有人的得分情况，现从全市随机抽取4人，记“运动参与度”的得分不超过84.81分的人数为，求.（精确到0.001）‎ 附：①，；②，则，；③.‎ ‎19．（12分）在三棱锥P﹣ABC中，AB＝1，BC＝2，AC，PC，PA，PB，E是线段BC的中点．‎ ‎（Ⅰ）求点C到平面APE的距离d；‎ ‎（II）求二面角P﹣EA﹣B的余弦值．‎ ‎20．（12分）已知圆A：（x+1）2+y2＝16，圆C过点B（1，0）且与圆A相切，设圆心C的轨迹为曲线E．‎ ‎（Ⅰ）求曲线E的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点B作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与E交于M，N两点，直线l2与圆A交于P，Q两点，求的取值范围．‎ ‎21．（12分）已知，．‎ Ⅰ讨论的单调性；‎ Ⅱ当时，恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系中，曲线（是参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程：.‎ ‎（I）写出曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；‎ ‎（II）设，直线与曲线交于、两点，求的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数.‎ ‎（I）解不等式；‎ ‎（II）若不等式的解集包含，求实数的取值范围.‎ ‎2020年春四川省泸县第四中学高二第四学月考试 理科数学参考答案 ‎1．B 2．A 3．B 4．B 5．C 6．A 7．B 8．B 9．A 10．B 11．D 12．A ‎13． 14．20 15． 16．‎ ‎17．解：（1） ‎ 当时，，或；当时，． ‎ ‎∴的单调增区间为，；单调减区间为．‎ ‎（2）分析可知的递增区间是，，递减区间是，‎ 当时，；当时，．‎ 由于，所以当时，．‎ ‎18（1）由题意知：‎ 中间值 ‎45‎ ‎55‎ ‎65‎ ‎75‎ ‎85‎ ‎95‎ 概率 ‎0.1‎ ‎0.15‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.15‎ ‎0.1‎ ‎∴，‎ ‎∴这4000人“运动参与度”得分的平均成绩为70.5分． ‎ ‎（2）依题意服从正态分布，其中，，，‎ ‎∴服从正态分布， ‎ 而， ‎ ‎∴．‎ ‎∴这4000人中“运动参与度”得分超过84.81分的人数估计为人人．‎ ‎（3）全市所有人的“运动参与度”得分不超过84.81分的概率．‎ 而，∴．‎ ‎19．∵AB2+BC2＝AC2，PC2+BC2＝PB2，PA2+AB2＝PB2，‎ ‎∴，‎ 过点P作PO⊥平面ABC，垂足为O，易得OP＝1，且BC⊥OC，BA⊥OA，‎ ‎∴四边形ABCO为矩形，‎ ‎（1）以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则C（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），P（0，0，1），‎ ‎，‎ 设平面APE的法向量为，则，‎ 令x＝1，则，∴；‎ ‎（2）由（1）知平面APE的法向量为，取平面ABE的一个法向量，‎ 且二面角P﹣EA﹣B为钝角，设其为θ，故．‎ ‎20．（Ⅰ）圆A：（x+1）2+y2＝16的圆心A（﹣1，0），半径r＝4，如图，‎ 由图可知，|CA|+|CB|＝r＝4，∴圆心C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且c＝1，2a＝4，a＝2．‎ ‎∴b．则曲线E的方程为；‎ ‎（Ⅱ）如图，当l1⊥x轴，l2⊥y轴时，；当l1⊥y轴，l2⊥x轴时，；‎ 当两直线斜率存在且不为0时，设l1：y＝k（x﹣1），则l2：y．‎ 联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 则，，‎ ‎∴|MN|•|x1﹣x2|‎ ‎ ．‎ 圆心A到直线x+ky﹣1＝0的距离d，则|PQ|＝2．‎ ‎∴．‎ ‎∵k2+1＞1，∴，则，∴∈（），‎ 综上，的取值范围为[]．‎ ‎21（1）的定义域是，，‎ 当时，，在递增，‎ 当时，在上，，递减，‎ 在上，，递增，综上，当时，在递增，‎ 时，在递减，在递增；‎ Ⅱ恒成立，即恒成立，‎ 设，则，‎ ‎，的单调性和相同，‎ 当时，在递增，，‎ 故在递增，，‎ 当时，在递减，在递增，‎ 当时，，在递增，‎ ‎，故是增函数，故，‎ 当时，在区间上，递减，故，‎ 故递减，故，不合题意，综上，a的范围是．‎ ‎22．解：（1）曲线的普通方程是，直线的直角坐标方程为．　　　　　‎ ‎（2）直线经过点，且倾斜角是∴直线的参数方程是（是参数） ‎ 设，对应的参数分别为，‎ 将直线的参数方程代入，整理得，∴‎ ‎∴由参数的几何意义可知：．‎ ‎23．（1）即 ‎①当时，原不等式化为，即，解得，∴；‎ ‎②当时，原不等式化为，即，解得，∴.‎ ‎③当时，原不等式化为，即，解得，∴‎ ‎∴不等式的解集为或.‎ ‎（2）不等式可化为 问题转化为在上恒成立，又，得 ‎∴，∴.‎