【数学】2019届一轮复习人教A版直线方程学案

【数学】2019届一轮复习人教A版直线方程学案

专题07 直线方程 ‎1．直线的倾斜角 ‎（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为．‎ ‎（2）范围：直线l倾斜角的范围是．‎ ‎2．斜率公式 ‎（1）若直线l的倾斜角90°，则斜率．‎ ‎（2）P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则直线l的斜率 ＝．‎ ‎3．直线方程的五种形式 方程 适用范围 ‎①点斜式：‎ 不包含直线 ‎②斜截式：‎ 不包含垂直于x轴的直线 ‎③两点式：‎ 不包含直线和直线 ‎④截距式：‎ 不包含垂直于坐标轴和过原点的直线 ‎⑤一般式：不全为 平面直角坐标系内的直线都适用 ‎【必记结论】常见的直线系方程：（1）过定点P(x0，y0)的直线系方程：A(x－x0)＋B(y－y0)＋C＝0(A2＋B2≠0)还可以表示为y－y0＝ (x－x0)，斜率不存在时可设为x＝x0．‎ ‎（2）平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)．‎ ‎（3）垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋C1＝0．‎ ‎（4）过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋‎ B2y＋C2)＝0(其中不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．‎ ‎4．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 与相交 与垂直 与平行 且 或 与重合 且 ‎5．两条直线的交点 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，‎ 与的交点坐标就是方程组的解．‎ ‎（1）方程组有唯一解与相交，交点坐标就是方程组的解；‎ ‎（2）方程组无解；‎ ‎（3）方程组有无数解与重合．‎ ‎6．距离问题 ‎（1）平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝．‎ ‎（2）点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．‎ ‎（3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝．‎ ‎7．对称问题 ‎（1）中心对称：点为点与的中点，中点坐标公式为．‎ ‎（2）轴对称：若点关于直线l的对称点为，则．‎ 直线经过点，两点（），那么l的倾斜角取值范围是________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由直线经过点，两点，则可利用斜率公式得．‎ 由，则倾斜角取值范围是．‎ ‎△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：‎ ‎（1）BC边所在直线的方程为________________；‎ ‎（2）BC边上中线AD所在直线的方程为________________；‎ ‎（3）BC边的垂直平分线DE的方程为________________．‎ ‎【答案】（1）；（2）2x－3y＋6＝0；（3）．‎ ‎【解析】（1）因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，‎ 由两点式得BC的方程为，即．‎ ‎（2）设BC边的中点D的坐标为(x，y)，则．‎ BC边的中线AD过点A(－3，0)，D(0，2)两点，‎ 由截距式得AD所在直线方程为，即2x－3y＋6＝0．‎ ‎（3）由（1）知，直线BC的斜率，则BC的垂直平分线DE的斜率 2＝2．‎ 由（2）知，点D的坐标为(0，2)．由点斜式得直线DE的方程为y－2=2(x－0)，即．‎ 若三点共线，则实数m=________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】由三点共线构造两条直线的斜率相等，问题便转化为解方程．‎ ‎【解析】由题意得，．‎ ‎∵三点共线，∴，∴，解得．‎ ‎（1）若直线与平行，则a=________________；‎ ‎（2）已知经过点和点的直线l1与经过点和点的直线互相垂直，则实数a的值为________________．‎ ‎【答案】（1）2或；（2）1或0．‎ ‎【解析】（1）因为两直线平行，所以有，即，解得或．‎ ‎（2）的斜率．‎ 当时，的斜率．‎ 因为所以，即，解得a=1．‎ 当a=0时，，这时直线为y轴，，，直线为x轴，显然．‎ 综上可知，实数a的值为1或0．‎ 已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点P，且垂直于直线2x+3y+5=0，则直线l的方程为________________．‎ ‎【答案】3x-2y-4=0‎ ‎【解析】方法1：由，解得，即点P的坐标为(2，1)，‎ 因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直，所以直线l的斜率为，由点斜式得直线l的方程为3x-2y-4=0．‎ 方法2：由，解得，即点P的坐标为(2，1)，‎ 因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直，所以可设直线l的方程为3x-2y+c=0，‎ 把点P的坐标代入得3×2-2×1+c=0，解得c=-4．故直线l的方程为3x-2y-4=0．‎ 方法3：直线l的方程可设为2x-y-3+λ(4x-3y-5)=0(其中λ为常数)，即(2+4λ)x-(1+3λ)y-5λ-3=0，‎ 因为直线l与直线2x+3y+5=0垂直，所以·(-)=-1，解得λ=1．故直线l的方程为3x-2y-4=0．‎ ‎（1）若点A(2，3)，B(－4，5)到直线l的距离相等，且直线l过点P(－1，2)，则直线l 的方程为________________；‎ ‎（2）若直线m被两直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为，则直线m的倾斜角θ(θ为锐角)为________________．‎ ‎【答案】（1）x＋3y－5＝0或x＝－1；（2）15°或75°‎ ‎【解析】（1）方法1：当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝－1，点A，B到直线l的距离相等，符合题意．‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝ (x＋1)，即 x－y＋ ＋2＝0．‎ 由题意知，即|3 －1|＝|－3 －3|，解得 ＝．‎ ‎∴直线l的方程为y－2＝(x＋1)，即x＋3y－5＝0．‎ 综上，直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1．‎ 方法2：当AB∥l时，有 l＝ AB＝，直线l的方程为y－2＝(x＋1)，即x＋3y－5＝0．‎ 当l过AB的中点时，由AB的中点为(－1，4)，得直线l的方程为x＝－1．‎ 综上，直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1．‎ ‎（2）显然直线l1∥l2，直线l1，l2之间的距离，‎ 设直线m与l1，l2分别相交于点B，A，则|AB|=，‎ 过点A作直线l垂直于直线l1，垂足为C，则|AC|=d=，‎ 在中，sin∠ABC=，所以∠ABC=30°，‎ 又直线l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角为45°－30°=15°或45°+30°=75°，‎ 故直线m的倾斜角θ=15°或75°．‎ 已知直线l：3x-y+3=0，则 ‎（1）点P(4，5)关于直线l的对称点的坐标为________________；‎ ‎（2）直线x-y-2=0关于直线l对称的直线方程为________________．‎ ‎【答案】（1）(-2，7)；（2）7x+y+22=0．‎ ‎【解析】设P(x，y)关于直线l：3x-y+3=0的对称点为P'(x'，y')．‎ ‎∵ PP'· l=−1，∴·3=-1，　①‎ 又PP'的中点在直线3x-y+3=0上，∴3·-+3=0．　②‎ 联立①②，解得．‎ ‎（1）把x=4，y=5代入③④，得x'=-2，y'=7，∴P(4，5)关于直线l的对称点P'的坐标为(-2，7)．‎ ‎（2）用③④分别代换x-y-2=0中的x，y，得关于l对称的直线方程为，‎ 即7x+y+22=0．‎ 求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】方法1：对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，‎ 令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0．‎ 解方程组得两直线的交点为(2，－3)．‎ 将点(2，－3)代入已知直线方程左边，得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝4m－2－3m－9－m＋11＝0．‎ 这表明不论m为什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．‎ 方法2：以m为未知数，整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0．‎ 由于m取值的任意性，所以，解得x＝2，y＝－3．‎ 所以所给的直线不论m取什么实数，都经过定点(2，－3)．‎ ‎1．若直线与直线互相垂直，则实数________________．‎ ‎2．斜率为2的直线经过(3，5)，(a，7)，(－1，b)三点，则a＋b＝________________．‎ ‎3．过点(2，1)且与直线x+2y-1=0平行的直线方程为________________．‎ ‎4．直线的斜率为2，，直线l2过点，且与y轴交于点P，则P点坐标为________________．‎ ‎5．若两条直线2x−my＋4=0和2mx＋3y−6=0的交点在第二象限，则m的取值范围是________________．‎ ‎6．已知直线l与直线l1：3x−y＋3=0和l2：3x−y−1=0的距离相等，则直线l的方程是________________．‎ ‎7．若，，（）三点共线，则________________．‎ ‎8．已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为________________．‎ ‎9．已知l1，l2是分别经过A(2，1)，B(0，2)两点的两条平行直线，当l1，l2之间的距离最大时，直线l1的方程是________________．‎ ‎10．已知双曲线C：-y2=1与直线l：x+ y+4=0，若直线l与双曲线C的一条渐近线平行，则 =________________，双曲线C的右焦点到直线l的距离是________________．‎ ‎11．已知直线．‎ ‎（1）若，则实数的值为________________；‎ ‎（2）当时，则直线与之间的距离为________________．‎ ‎12．如图，已知直线l1：y=－2x+4与直线l2：y= x+b（ ≠0）在第一象限交于点M．若直线l2与x轴的交点为A（－2，0），则 的取值范围是________________．‎ ‎13．设直线l的方程为．‎ ‎（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为________________；‎ ‎（2）若直线l不经过第二象限，则实数a的取值范围为________________．‎ ‎14．直线a：2x+y-4=0关于直线l：3x+4y-1=0对称的直线b的方程为________________．‎ ‎15．已知直线，直线．‎ ‎（1）直线与直线的交点的坐标为________________；‎ ‎（2）过点的直线与轴的非负半轴交于点，与轴交于点，且（为坐标原点），则直线的斜率________________．‎ ‎16．已知直线l： x－y＋1＋2 ＝0( ∈R)．‎ ‎（1）直线l过定点________________；‎ ‎（2）若直线l不经过第四象限，则 的取值范围为________________．‎ ‎1．【2018江苏】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________________．‎ ‎2．【2017江苏】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为8．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标．‎ ‎1．【答案】‎ ‎【解析】由题得，，解得．‎ ‎2．【答案】1‎ ‎【解析】根据题意，得，解得，故a＋b＝1．‎ ‎3．【答案】x+2y-4=0‎ ‎【解析】方法1：由题意，知所求直线的斜率为-，故所求直线的方程为y-1=-(x-2)，即x+2y-4=0．‎ 方法2：设所求直线方程为x+2y+c=0，又直线经过点(2，1)，故c=-4，则所求方程为x+2y-4=0．‎ ‎4．【答案】‎ ‎【解析】∵ 1=2，，∴ 2=2．设，则，∴y=3，即．‎ ‎5．【答案】‎ ‎【解析】解出两直线的交点为，‎ 由交点在第二象限，得，解得．‎ ‎6．【答案】3x−y＋1=0‎ ‎【解析】方法1：由题意可设l的方程为3x−y＋c=0（且），‎ 于是有，即|c−3|=|c＋1|，解得c=1，则直线l的方程为3x−y＋1=0．‎ 方法2：由题意知l必介于l1与l2中间，且与直线l1，l2平行，故设l的方程为3x−y＋c=0（且 ‎），‎ 于是有，则直线l的方程为3x−y＋1=0．‎ ‎7．【答案】‎ ‎【解析】因为，（），所以直线BC为，且直线BC过点，‎ 所以，即．‎ ‎【名师点睛】本题三点共线转化为抓住点B，点C的特征，写出直线BC的方程，又点A在直线BC上，很容易得解．‎ ‎8．【答案】‎ ‎【解析】由题意，知，得所以．‎ ‎9．【答案】2x-y-3=0‎ ‎【解析】由平面几何知识，得当l1⊥AB时，l1，l2之间的距离最大．∵A(2，1)，B(0，2)，∴ AB=-=2．‎ 则直线l1的方程是y-1=2(x-2)，即2x-y-3=0．‎ ‎10．【答案】±　3‎ ‎【解析】由题意得，双曲线C：-y2=1的右焦点为F(2，0)，其渐近线方程为y=±x．又直线l：x+ y+4=0与双曲线C的一条渐近线平行，所以 =±，所以直线l的方程为x±y+4=0，所以双曲线C的右焦点到直线l的距离d==3．‎ ‎11．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由知，解得；‎ ‎（2）当时，有，解得，‎ ‎，即，‎ 距离为=．‎ ‎【名师 点睛】本题考查直线与直线之间的位置关系．解答本题时要注意（1）利用直线垂直，结合斜率之间的关系，建立方程，求解实数的值；（2）利用直线平行，确定参数的值，利用平行直线之间的距离公式，求值计算．‎ ‎12．【答案】‎ ‎【解析】因为直线l2与x轴的交点为A（－2，0），所以，即，将其与联立可得，由题设，解得，故 的取值范围是．‎ ‎【名师点睛】解答本题的关键是借助题设中提供的图象及函数的解析式联立方程组求出交点坐标，借助点的位置建立不等式组，通过解不等式组使得问题获解．‎ ‎13．【答案】（1）3x＋y=0或x＋y＋2=0；（2）(−∞，−1]．‎ ‎【解析】（1）当直线l过原点时，直线l在x轴和y轴上的截距均为零，显然相等，‎ 此时a=2，直线l的方程为3x＋y=0；‎ 当时，截距存在且不为0，∴，‎ 即a＋1=1，∴a=0，此时方程为x＋y＋2=0．‎ ‎（2）将直线l的方程变形为y=−(a＋1)x＋a−2．‎ 依题意有或，解得a<−1，或a=−1．‎ 综上得a≤−1，即a的取值范围是(−∞，−1]．‎ ‎14．【答案】2x+11y+16=0‎ ‎【解析】方法1：由得直线a与直线l的交点P(3，-2)．‎ 在直线a：2x+y-4=0上找一点A(2，0)．‎ 设点A关于直线l的对称点B的坐标为(x0，y0)，则 解得所以B(，-)．‎ 由两点式，得直线b的方程为，即2x+11y+16=0．‎ 方法2：设直线b上的动点P(x，y)关于直线l：3x+4y-1=0的对称点为Q(x0，y0)，‎ 则有解得 又Q(x0，y0)在直线a：2x+y-4=0上，则2×+-4=0，‎ 化简得2x+11y+16=0．故所求直线b的方程为2x+11y+16=0．‎ 方法3：设直线b上的动点为P(x，y)，直线a上的点为Q(x0，4-2x0)，且P，Q两点关于直线l：3x+4y-1=0对称，则有消去x0得2x+11y+16=0或2x+y-4=0(舍去)．‎ 故所求直线b的方程为2x+11y+16=0．‎ ‎15．【答案】（1）；（2）或．‎ ‎【解析】（1）联立两条直线方程：，解得，‎ 所以直线与直线的交点的坐标为．‎ ‎（2）设直线AB的方程为．‎ 令得，因此．令得，因此，‎ 或，所以，解得或．‎ ‎16．【答案】（1）(－2，1)；（2）[0，＋∞)．‎ ‎【解析】（1）方法1：直线l的方程可化为y＝ (x＋2)＋1，‎ 故无论 取何值，直线l总过定点(－2，1)．‎ 方法2：设直线l过定点(x0，y0)，则 x0－y0＋1＋2 ＝0对任意 ∈R恒成立，‎ 即(x0＋2) －y0＋1＝0恒成立，所以x0＋2＝0，－y0＋1＝0，解得x0＝－2，y0＝1，‎ 故直线l总过定点(－2，1)．‎ ‎（2）直线l的方程为y＝ x＋2 ＋1，则直线l在y轴上的截距为2 ＋1，‎ 要使直线l不经过第四象限，则解得 ≥0．故 的取值范围为[0，＋∞)．‎ ‎1．【答案】2‎ ‎【分析】先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率．‎ ‎【解析】因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为 所以，因此 ‎【名师点睛】双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a．‎ ‎2．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【分析】（1）由条件可得，，解方程组可得，则；‎ ‎（2）设，根据点斜式写出直线及的方程，解方程组得交点坐标，代入椭圆方程化简得或，与联立，求解可得点的坐标．‎ ‎【解析】（1）设椭圆的半焦距为c．‎ 因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，，‎ 解得，于是，‎ 因此椭圆E的标准方程是．‎ ‎（2）由（1）知，，．‎ 设，因为为第一象限的点，故．‎ 当时，与相交于，与题设不符．‎ 当时，直线的斜率为，直线的斜率为．‎ 因为，，所以直线的斜率为，直线的斜率为，‎ 从而直线的方程：，①‎ 直线的方程：．②‎ 由①②，解得，所以．‎ 因为点在椭圆上，由对称性可得，即或．‎ 又在椭圆E上，故．‎ 由，解得；，无解．‎ 因此点P的坐标为．‎ ‎____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________‎