数学理卷·2017届湖南省长沙市一中高三月考（五）（2017

数学理卷·2017届湖南省长沙市一中高三月考（五）（2017

湖南省长沙市一中 2017 届高三月考（五） 数学（理） 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z 满足 (3 4i)z 1 2i   ，则 z 的共轭复数是（ ） A. 1 2 5 5 i  B. 1 2 5 5 i  C. 1 2 5 5 i D. 1 2 5 5 i 2.已知集合 2{x | x 4x 3 0}A     ， {x | 2 1}xB   ，则 A B  （ ） A．[-3，-1] B． ( , 3] [ 1,0)   C． ( , 3) ( 1,0]   D． ( ,0) 3.下列命题中，为真命题的是（ ） A. 0x R  ,使得 0 0xe  B. 1sin 2(x k ,k Z)sinx x     C. 2,2xx R x   D.若命题 p ： 0x R  ，使得 2 0 0 1 0x x   ，则 p ： 0x R  ， 都有 2 1 0x x   4.在 ABC 中，“ A B C  ”是“ cos2 cos2B cos2CA   ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要 条件 5.如图是用模拟方法估计圆周率 值的程序框图， P 表示估计结果，则图中空白框内应填 入 A. 2000 MP  B. 4 2000 MP  C. 2000 NP  D. 4 2000 NP  6.将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中， mint 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线 nty ae .假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过 minm 甲桶中的水只有 4 a 升，则 m 的值为（ ） A.5 B.8 C.8 D.10 7.已知函数 sin(x ),x 0(x) cos(x ),x 0f        是偶函数，则下列结论可能成立的是（ ） A. ,4 4      B. 2 ,3 6     C. ,3 6     D. 5 2,6 3     8.如图，格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线画出的某多面体的三视图，则该多面 体外接球的表面积为（ ） A.8 B. 25 2  C.12 D. 41 4  9.已知 P 是 ABC 所在平面内一点， 2 0PB PC PA     .现将一粒黄豆随机撒在 ABC 内，则黄豆落在内的概率是（ ） A. 2 3 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 4 10.设实数 x ， y 满足 2 0, 2 5 0, 2 0, x y x y y           ，则 y xz x y   的取值范围是（ ） A. 8 3[ , ]3 2  B. 8 1[ , ]3 2   C. 1 3[ , ]2 2  D. 1 3[ , ]2 2 11.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为 1F ， 2F .这两条 曲线在第一象限的交点为 P ， 1 2PF F 是以 1PF 为底边的等腰三角形.若 1| | 10PF  ，记椭圆 与双曲线的离心率分别为 1e 、 2e ，则 1 2e e 的取值范围是（ ） A. 1( , )9  B. 1( , )5  C. 1( , )3  D. (0, ) 12.已知实数 , 0,(x) lg( x),x 0, xe xf      若关于 x 的方程 2 (x) f(x) t 0f    有三个不同的实 根，则t 的取值范围为（ ） A.( , 2]  B.[1, ) C. [ 2,1] D. ( , 2] [1, )   第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.设 2 0 10sinn xdx    ，则 3 1( )nx x  展开式中的常数项为 （用数字做答） 14.已知向量 a ，b 满足| a | 2 ， (b a) 3a    ，则向量b 在 a 方向上的投影为 . 15.若函数 1(x) (a 0,b 0)axf eb     的图象在 0x  处的切线与圆 2 2 1x y  相切，则 a b 的最大值是 . 16.数列{a }n 满足 1 1 3a  ，对任意 n N  ， 2 1n n na a a   ，则 2016 1 1 1n na  的整数部分 是 . 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 17. （本小题满分 12 分）如图，在 ABC 中，角 A ， B ,C 的对边分别为 a ，b ， c ， (sinC cos )a b C  . （1）求角 B 的大小； （2）若 2A  ， D 为 ABC 外一点， 2DB  ， 1DC  ,求四边形 ABCD 面积的最大值. 18. （本小题满分 12 分）为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对 100 名 家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 55 名男性驾 驶员中，平均车速超过100 /km h 的有 40 人，不超过100 /km h 的有 15 人．在 45 名女性驾 驶员中，平均车速超过100 /km h 的有 20 人，不超过100 /km h 的有 25 人． （Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有 99.5%的把握认为平均车速超过100 /km h 的人与 性别有关． 平均车速超过 100 /km h 人数 平均车速不超过 100 /km h 人数 合计 男性驾驶员人数 女性驾驶员人数 合计 （Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 3 辆， 记这 3 辆车中驾驶员为男性且车速超过100 /km h 的车辆数为 X ，若每次抽取的结果是相互 独立的，求 X 的分布列和数学期望． 参考公式与数据：        2 2 n ad bc a b c d a c b d       ，其中 n a b c d    2 0P k （ ） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. （本小题满分 12 分）在等腰 Rt ABC 中， 90BAC   ，腰长为 2， D 、 E 分别是 边 AB 、BC 的中点，将 BDE 沿 DE 翻折，得到四棱锥 B ADEC ，且 F 为棱 BC 中点， 2BA  ． （Ⅰ）求证： EF  平面 BAC ； （Ⅱ）在线段 AD 上是否存在一点Q ，使得 / /AF 平面 BEQ ？若存在，求二面角 Q BE A  的余弦值，若不存在，请说明理由． 20. （本小题满分 12 分）如图，椭圆 2 2 1 2 2 1 0x yC a ba b  ： （ ＞ ＞ ）的离心率为 3 2 ， x 轴被曲 线 2 2C y x b ： 截得的线段长等于 1C 的长半轴长． （Ⅰ）求 1C 的方程； （Ⅱ）设 2C 与 y 轴的交点为 M ，过坐标原点O 的直线l 与 2C 相交于点 A 、B ，直线 MA ， MB 分别与 1C 相交于 D ， E ． （i）证明： MD ME ； （ii）记 MAB ， MDE 的面积分别是 1S ， 2S ．问：是否存在直线l ，使得 1 2 17 23 S S  ？ 若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 22f x mlnx x （ ） ， 2xg x e mlnx m R  （ ） （ ）， 2 0.693ln  ． （1）讨论 f x（ ）的单调性； （2）若 f x（ ）存在最大值 M ， g x（ ）存在最小值 N ，且 M N ，求证： 2m e ＞ ． 22. （本小题满分 12 分）已知直线 的参数方程为 31 2 13 2 x t y t        （t 为参数)，以坐标原 点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 4sin( )6    ． （1）求圆C 的直角坐标方程； （2）若 (x, y)P 是直线 与圆面 4sin( )6    的公共点，求 3u x y  的取值范围． 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选将 已知 (x) | 2x 3| ax 6f     （ a 是常数， a R ）. （1）当 1a  时，求不等式 (x) 0f  的解集； （2）如果函数 (x)y f 恰有两点不同的零点，求 a 的取值范围. 试卷答案 一、选择题 1-5: ABDCB 6-10: ACDBA 11、12：CA 二、填空题 13. 210 14. 1 2 15. 2 16.2 三、解答题 17.(1)在 ABC 中， (sinC cosC)a b  . 有sin sin (sinC cosC)A B  ， sin(B C) sinB(sinC cos )C   cos sinC sinBsinCB  ，sin 0C  ，则 cos sinB B 又 2A  ，则 ABC 为等腰直角三角形， 21 1 1 5 cos2 2 4 4ABCS BC BC BC D        , 又 1 sin sin2BDCS BD DC D D     ， 5 5cos sin 2 sin(D )4 4 4ABCDS D D        ， 当 3 4D  时，四边形 ABCD 的面积有最大值，最大值为 5 24  18.（Ⅰ） 平均车速超过 100 /km h 人数 19.平均车速不超 过100 /km h 人 数 合计 男性驾驶员人数 40 15 55 女性驾驶员人数 20 25 45 合计 60 40 100 因为  2 2 100 40 25 15 20 8.249 7.87960 40 55 45         ＞ ， 所以有 99.5%的把握认为平均车速超过100 /km h 与性别有关．…（6 分） （Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取 1 辆，驾驶 员为男性且车速超过100 /km h 的车辆的概率为 40 2 100 5  ． X 可取值是 0，1，2，3， 23 5X B     ～ ， ，有：   0 3 0 3 32 270 5 1255P X C             ，   1 2 1 3 32 541 5 1255P X C             ，   2 1 2 3 32 362 5 1255P X C             ，   3 0 3 3 2 12 3 83 5 55P X C               ， 分布列为 X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 125 8 125   27 54 36 80 1 2 3 65125 125 125 125E X          ．…（12 分） 19.（Ⅰ）证明：取 AB 中点 H ，连结 DH 、 HF ， 因为在等腰 Rt ABC 中， 90BAC   ， 2AB AC  ，D 、E 分别是边 AB 、BC 的中 点，所以 1AD BD  ， 又因为翻折后 2AB  ，所以翻折后 AD BD ，且 ADB 为等腰直角三角形，所以 DH AB ， 因为翻折后 DE AD ， DE BD ，且 AD BD D  ， DE  平面 ADB ，因为 / /DE AC ， AC  平面 ADB ， AC DH  ，又 AB AC A  ， DH  平面 ABC ， 又 / /HF AC ， / /DE AC ，且 12HF AC DE  ， DEFH 是平行四边形， / /EF DH ， EF  平面 ABC ； …（3 分） （Ⅱ）以 D 为原点建立如图所示空间直角坐标系 D xyz ．则 01 0A（ ，，）， 0 01B（ ，，）， 1 0 0E（，，）， 21 0C（ ，，）， 1 11 2 2F      ，， ， 设 0, 0 0 1Q t t （ ，）（ ）， 则     1 10 1 1 0 1 2 2BQ t EQ t AF             ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设平面 BQE 的法向量为 ( )n x y z ， ， ，则由 0n BQ   ，且 0n EQ   ，得 0 0 yt z x ty      ， 取 1y  ，则  1,n t t ， ， 要使 / /AF 平面 BEQ ，则须   1 1 1 11, 1 02 2 2 2n AF t t t t           ， ， ， ， 所以 1 3t  ，即线段 AD 上存在一点 10 ,03Q     ， ，使得 / /AF 平面 BEQ ，…（9 分） 设平面 BAE 的法向量为 1 1 1 1( )n x y z ， ， ，则由 1 0n AB   ，且 1 0n AE   ，得 1 1 1 1 0 0 y z x y       ， 取 1 1y  ，则  1 111n  ，， ， 1 2 1 11 5 5 333 3 3311 3339 cos n        ＜ ,n ＞ ， 因为二面角Q BE A  为锐二面角，所以其余弦值为 5 33 33 ， 即线段 AD 上存在一点 Q （点Q 是线段 AD 上的靠近点 D 的一个三等分点）， 使得 / /AF 平面 BEQ ，此时二面角Q BE A  的余弦值为 5 33 33 …（12 分） 20.（Ⅰ）由题得 2 2 31 2 c be a a     ，从而 2a b ，又 2 b a ，解得 2a  ， 1b  ， 故 1C 的方程分别为 2 2 14 x y  ． （Ⅱ）（i）由题得，直线l 的斜率存在，设为 k ，则直线l 的方程为 y kx ， 由 2 y kx y x b     得 2 1 0x kx   ． 设 1 1A x y（ ， ）， 2 2B x y（ ， ），则 1x ， 2x 是上述方程的两个实根， 于是 1 2x x k  ， 1 2 1x x   ，又点 M 的坐标为 0 1（ ， ）， 所以 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 +2 (kx 1)(kx 1) (x x ) 1• 1MA MB y y k x x kk k x x x x x x            ． 故 MA MB ，即 MD ME ． （ii）设直线 MA 的斜率为 1k ，则直线 MA 的方程为 1 1y k x  ． 由 1 2 1 1 y k x y x      ，解得 0 1 x y     或 1 2 1 1 x k y k     ． 则点 A 的坐标为 2 1 1 1k k （ ， ）． 又直线 MB 的斜率为 1 1 k  ，同理可得点 B 的坐标为 2 1 1 1 1 k k （ ， -1）． 于是 2 2 1 1 1 1 2 1 ` 1 11 1 1 1| MA || MB| 1 | k | 1+ | |2 2 2 | k | kS k k k         ． 由 1 2 2 1 4 4 0 y k x x y       得 2 2 1 11 4 8 0k x k x  （ ） ． 解得 0 1 x y     或， 1 2 1 2 1 2 1 8 1 4 4 1 1 4 kx k ky k       ，则点 D 的坐标为 2 1 1 2 2 1 1 8 4 1( , )1 4 1 4 k k k k    ． 又直线 ME 的斜率为 1 1 k  ．同理可得点 E 的坐标为 2 1 1 2 2 1 1 8 4( , )4 4 k k k k     ． 于是 2 1 1 2 2 2 1 1 321 | MD || ME | =2 (1 4 )(k 4)S k    （1+k ）|k| ． 故 21 1 2 2 1 1 4 17(4 17)64 32 S kS k     ，解得 2 1 4k  或 2 1 1 4k  ． 又由点 A ， B 的坐标得， 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 k kk k kk k      ．所以 3 2k   ． 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程为 3 2y x 和 3 2y x  ． 21.（1）由题意 0x＞ ， 22 2m xf x x  （ ） ， 0m  时， 0f x（ ）＜ ， f x（ ）在 0  （ ， ）递减， 0m＞ 时，可知， f x（ ）在 0 m（ ， ）单调递增，在 m  （ ， ）单调递减； （2）证明： 2xxe mg x x  （ ） ， 0m  时， 0g x（ ）＞ ， g x（ ）在 0  （ ， ）单调递增，无最小值， 由（1）得 f x（ ）无最大值，故 0m＞ ， 令 2xu x xe m （ ） ， 0x xu x e xe  （ ） ＞ ， 0 2 0u m （ ） ＜ ， 22 2 1 0mu m m e （ ） （ ）＞ ， 故唯一存在 0 0 2x m（ ， ），使得 0 0u x （ ） ，即 0 0 2 xx em  ， 由（1）得： M f m mlnm m  （ ） ，且 0 0 02xN g x e mlnx  （ ） ， 由题设 M N ，即 0 02xmlnm m e mlnx   ，将 0 0 2 xx em  代入上式有： 0 0 0 0 00 0 0 0 0ln 2( )lnx2 2 2 2 x x x x xx e x e x e x ee   ， 化简得： 2 0 0 0 0 3 2 1 1 02 2 2 x xx lnx ln    （ ） （）， 构造函数 23 2 1 12 2 2 x xh x xlnx ln    （ ） （ ） ， 3 11 2 12 2h x lnx x ln     （ ） （ ） （ ）， 而 h x（ ）递增， 11 4 2 02h ln  （） （ ）＞ ， 当 0x＞ ， 1 9 5 2 08 8h ln  （ ） ＜ ， 则唯一存在 1 18t （ ，），使得 0h t （ ） ， 则当 0x t（ ， ）， 0h x（ ）＜ ， h x（ ）单调递减， x t  （ ， ）， 0h x（ ）＞ ， h x（ ）单调递增， 又 11 2 1 02h ln  （） ＜ ， 当 (0,1]x 时， 23(x) ln (ln 2 1) 12 2 2 x xh x x     3 ln 2ln (x 1) 1 02 2 2 x xx x      ， 而 (2) 3ln 2 2 (ln 2 1) 1 2ln 2 0h        ， 故 (x) 0h  只会在 (1, ) 有解， 故不等式（）的解 0 1x  ，所以 0 0 2 2 xx e em   . 22.（1）因为圆C 的极坐标方程为 4sin( )6    所以 2 3 14 ( sin cos )2 2      所以圆C 的普通方程 2 2 2 2 3 0x y x y    （2）由圆C 的方程 2 2 2 2 3 0x y x y    ，可得 2 2(x 1) (y 3) 4    所以圆C 的圆心是 ( 1, 3) ，半径是 2 将 31 2 13 2 x t y t        代入 3u x y  得u t  又直线l 过 ( 1, 3)C  ，圆C 的半径是 2，所以 2 2t   即 3u x y  的取值范围是[ 2,2] 23.（1）当 1a  时， 33 9, 2(x) | 2x 3| x 6 33 , 2 x x f x x            ， 则原不等式等价于 3 2 3 9 0 x x      或 3 2 3 0 x x      ， 解得 3x  或 3x   ， 则原不等式的解集为{x | x 3 3}x  或 ； （2）由 (x) 0f  ，得| 2x 3| ax 6    ， 令 | 2x 3|y   ， 6y ax   做出它们的图象， 可以知道，当 2 2a   时，这两个不同的图像有两个不同的交点， 所以函数 (x)y f 恰有两个不同的零点时， a 的取值范围是 ( 2,2) .