2017-2018学年湖北省长阳县第一中学高二上学期期末考试数学理试题（Word版）

2017-2018学年湖北省长阳县第一中学高二上学期期末考试数学理试题（Word版）

长阳一中 2017-2018 学年度第一学期期末考试 高二数学（理科）试卷 考试时间 120 分钟 试卷总分 150 分 一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题，计 60 分） 1、10 名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为 a，中 位数为 b，众数为 c，则有( ) A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a 2、已知命题 p：∀x∈(1，+∞)，x3+16>8x，则命题 p 的否定为( ) A. p：∀x∈(1，+∞)，x3+16≤8x B. p：∀x∈(1，+∞)，x3+16<8x C. p：∃x0∈(1，+∞)， +16≤8x0 D. p：∃x0∈(1，+∞)， +16<8x0 3、如果在一次实验中，测得(x，y)的四组数值分别是 A(1 , 3)、B(2, 3.8)、C(3, 5.2)、D(4 , 6)，则 y 与 x 之间的回归直线方程是( ) A.y^＝x＋1.9 B.y^＝1.04x＋1.9 C.y^＝0.95x＋1.04 D.y^＝1.05x－0.9 4、设直线 l1：2x－my＝1，l2：(m－1)x－y＝1，则“m＝2”是“l1∥l2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5、 已知 是三条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题为真命题的是 （ ） A．若 ， ， ， ，则 B．若 ， ∥ ， ，则 C．若∥ ， ，则∥ D．若 ， ， ，则∥ 6、已知椭圆 ： 的左、右焦点为 、 ，离心率为 ，过 的直线交椭圆 于 、 B 两点，若 的周长为 ，则 的方程为（ ） A． B． C ． D． 7、执行右图的程序框图，为使输出 的值小于91，则输入的正整数 的最 小值为 A．5 B．4 C．3 D．2 8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A． B． C． D． 9、已知点 在抛物线 上，点 ， 为该抛物线的焦点，则 周长的最小值为 A.9 B．10 C. 11 D. 12 10、若关于 的方程 有且只有两个不同的实数根，则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 11、已知 A,B 是球 O 的球面上两点，∠AOB= ,C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则 球 O 的表面积为 A．36π B.64π C.144π D.256π 12、双曲线 的左、右焦点为 ， 是其右顶点，过 作 轴的垂线与双曲线的一个 交点为 是 的重心，若 ，则双曲线的离心率是（ ） A． B．2 C． D． 3 二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题，计 20 分） 13、某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有 30 名，高二年级有 40 名.现用分层抽样的方法从这 70 名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了 8 名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为 _______________. 14、如图， 是直三棱柱， 为直角，点 、 分别是 、 的中点，若 ,则 与 所成角的余弦值是_____________. 15、若双曲线 的一条渐近线与圆 至多有一 个公共点，则双曲线离心率的取值范围是_____________. 16、已知抛物线 （ ）的焦点为 ， 的顶点都在抛物线上，且满 足 ，则 ________． 三、解答题（共 6 大题，计 70 分） 17、 (本小题 10 分) 已知命题 方程 表示焦点在 轴上的椭圆， 命题 关于 的方程 无实根， 若“ ”为假命题，“ ”为真命题.求实数 的取值范围. 18、（本小题 12 分）求顶点在原点，焦点在 轴上，且截直线 所得的弦长为 的抛物线方程. 19、（本小题 12 分）20 名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中 a 的值； (2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数； (3)从成绩在[50,70)的学生中任选 2 人，求此 2 人的成绩都在[60,70)中的概率． 20、（本小题 12 分）已知圆(x-1)2+y2=25，直线 ax-y+5=0 与圆相交于不同的两点 A，B. (1)求实数 a 的取值范围. (2)若弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(-2，4)，求实数 a 的值. 21、（本小题 12 分）如图，已知长方形 中， ， ， 为 的中点．将 沿 折起，使得平面 ⊥平面 ． (Ⅰ)求证： ； (Ⅱ)若点 是线段 上的一动点，问点 在何位置时，二面角 的余弦值为 ． 22、（本小题 12 分）已知椭圆 （ ）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三 角形，直线 与以椭圆 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切. （1）求椭圆 的方程； （2）过点 的直线与椭圆 相交于不同的两点 和 ，若椭圆 上存在点 满足 （其 中 为坐标原点），求实数的取值范围. 长阳一中 2017-2018 学年度第一学期期末考试 高二数学（理科）试卷 一、 选择题 D C B A B A DCCD CD 二、 填空题 13、6 14、 15、(1,2] 16、 0 三、 解答题 17、 ∵方程 表示焦点在 轴上的椭圆. ∴ ， 解得： ， ∴若命题 为真命题，求实数 的取值范围是 ； 若关于 的方程 无实根，则判别式 ， 即 ，得 ， 若 “ ”为假命题，“ ”为真命题，则 、 为一个真命题，一个假命题， 若 真 假，则 ，此时无解， 若 假 真，则 ，得 . 综上，实数 的取值范围是 . --------10 18、（详细过程略） 或 （写一种得 8 分） 19、[解析] (1)∵组距为 10，∴(2a＋3a＋6a＋7a＋2a)×10＝200a＝1， ∴a＝ 1 200＝0.005. -----------4 (2)落在[50,60)中的频率为 2a×10＝20a＝0.1， ∴落在[50,60)中的人数为 2. 落在[60, 70)中的学生人数为 3a×10×20＝3×0.005×10×20＝3. --------4 (3)设落在[50,60)中的 2 人成绩为 A1，A2，落在[60,70)中的 3 人为 B1，B2，B3. 则从[50,70)中选 2 人共有 10 种选法，Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2， B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)} 其 中 2 人 都 在 [60,70) 中 的 基 本 事 件 有 3 个 ： (B1 ， B2) ， (B1 ， B3) ， (B2 ， B3) ， 故 所 求 概 率 p ＝ 3 10 . -----------4 20、 【解析】(1)把直线 ax-y+5=0 代入圆的方程， 消去 y 整理，得(a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0， 由于直线 ax-y+5=0 交圆于 A，B 两点， 故Δ=4(5a-1)2-4(a2+1)>0， 即 12a2-5a>0，解得 a> 或 a<0， 所以实数 a 的取值范围是(-∞，0)∪ . ------- 6 (2)由于直线 l 为弦 AB 的垂直平分线，且直线 AB 的斜率为 a，则直线 l 的斜率为-， 直线 l 的方程为 y=- (x+2)+4，即 x+ay+2-4a=0， 由于 l 垂直平分弦 AB，故圆心 M(1，0)必在 l 上， 所以 1+0+2-4a=0，解得 a=， 由于∈ ，所以 a=符合题意. ------12 21、（1）证明：∵长方形 ABCD 中，AB= ，AD= ，M 为 DC 的中点， ∴AM=BM=2，∴BM⊥AM. ∵平面 ADM⊥平面 ABCM，平面 ADM∩平面 ABCM=AM， BM ⊂ 平面 ABCM ∴BM⊥平面 ADM ∵AD ⊂ 平面 ADM ∴AD⊥BM； …6 分 （2）建立如图所示的直角坐标系，设 ， 则平面 AMD 的一个法向量 ， ，设平面 AME 的一个法向量为 取 y=1，得 所以 ，………………9 分 因为 ，求得 ， 所以 E 为 BD 的中点． ……12 分 22．解：（Ⅰ）由题意，以椭圆 C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方 程为 ， ∴圆心到直线 的距离 （*）--------------------1 分 ∵椭圆 C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， ∴ , ， 代入（*）式得 ， ∴ ， 故所求椭圆方程为 ………………………………4 分 （Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为 ，设 ， 将直线方程代入椭圆方程得： ， ∴ ，解得 ． 设 , ，则 ， -----------6 分 ∴ 由 ，得 当 时，直线为 轴，则椭圆上任意一点 P 满足 ，符合题意； 当 时， ∴ ， ．--------------------------------9 分 将上式代入椭圆方程得： ， 整理得： = 是 的递增函数，由 知， ，所以 ， 综上可得 ． -----------------------------------12 分