2020高中数学 章末综合测评2 数列 新人教A版必修5

2020高中数学 章末综合测评2 数列 新人教A版必修5

章末综合测评(二)　数列 满分：150分　时间：120分钟 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知数列1，，，，3，，…，，…，则是这个数列的(　　)‎ A．第10项　　　　　　 B．第11项 C．第12项 D．第21项 B　[观察可知该数列的通项公式为an＝(事实上，根号内的数成等差数列，首项为1，公差为2)，令21＝2n－1，解得n＝11，故选B.]‎ ‎2．一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q＝(　　)‎ ‎【导学号：91432252】‎ A. B. C. D. C　[由题意知an＝an＋1＋an＋2＝anq＋anq2，即q2＋q－1＝0，解得q＝(负值舍去)，故选C.]‎ ‎3．等比数列{an}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于(　　)‎ A．8 B．－8‎ C．±8 D．以上选项都不对 A　[∵a2＋a6＝34，a2·a6＝64，∴a＝64，且a2>0，a6>0，∴a4＝a2q2>0(q为公比)，∴a4＝8.]‎ ‎4．《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按30天计)共织390尺．问：每天织多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，估算出每天多织的布约有(　　) ‎ ‎【导学号：91432253】‎ A．0.55尺 B．0.53尺 C．0.52尺 D．0.5尺 A　[设每天多织d尺，由题意a1＝5，{an}是等差数列，公差为d，所以S30＝30×5＋ d＝390，解得d≈0.55.]‎ ‎5．“远望嵬嵬塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几碗灯？”源自明代数学家吴敬所著的《九章詳註比纇算法大全》，通过计算得到的答案是(　　)‎ - 7 -‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ B　[由题意设尖头a盏灯，根据题意由上往下数第n层有2n－‎1a盏灯，所以一共有(1＋2＋4＋8＋16＋32＋64)a＝381盏灯，解得a＝3.]‎ ‎6．已知Sn是数列{an}的前n项和，log2Sn＝n(n＝1,2,3，…)，则数列{an}(　　) ‎ ‎【导学号：91432254】‎ A．是公比为2的等比数列 B．是公差为2的等差数列 C．是公比为的等比数列 D．既非等差数列，也非等比数列 D　[∵log2Sn＝n，∴Sn＝2n，则a1＝2.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.‎ ‎∵a1＝2不适合上式，∴{an}既非等差数列，也非等比数列．]‎ ‎7．已知等差数列{an}中，a1>0，前n项和是Sn，且S14＝S8，则当Sn取得最大值时，n为(　　)‎ A．8 B．9‎ C．10 D．11‎ D　[∵S14＝S8，∴a9＋a10＋a11＋a12＋a13＋a14＝3(a11＋a12)＝0.‎ ‎∵a1>0，∴d<0，∴a11>0，a12<0，∴n＝11.]‎ ‎8．已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则(　　)‎ ‎【导学号：91432255】‎ A．a1d>0，dS4>0 B．a1d<0，dS4<0‎ C．a1d>0，dS4<0 D．a1d<0，dS4>0‎ B　[依题意a＝a‎3a8，所以(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，解得a1＝－d，所以S4＝2(a1＋a4)＝2(a1＋a1＋3d)＝－d，所以a1d＝－d2<0，dS4＝－d2<0.]‎ ‎9．已知公差不为0的等差数列{an}的前23项的和等于前8项的和．若a8＋ak＝0，则k＝(　　)‎ A．22 B．23‎ C．24 D．25‎ C　[等差数列的前n项和Sn可看做关于n的二次函数(图象过原点)．由S23＝S8，得Sn的图象关于n＝对称，所以S15＝S16，即a16＝0，所以a8＋a24＝‎2a16＝0，所以k＝24.]‎ ‎10．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230.那么a3·a6·…·a30等于(　　)‎ - 7 -‎ ‎【导学号：91432256】‎ A．210 B．215‎ C．220 D．216‎ C　[法一：a1·a2·a3·…·a30＝aq(1＋2＋3＋…＋29)＝(aq145)3，a3·a6·a9·…·a30＝aq(2＋5＋8＋…＋29)＝aq155.‎ 所以a3·a6·a9·…·a30＝(a1·a2·a3·…·a30)q10＝(230)·210＝220.故选C.‎ 法二：a1·a4·a7·…·a28，a2·a5·a8·…·a29，a3·a6·a9·…·a30构成等比数列，公比为210.‎ 设a3·a6·a9·…·a30＝x，则有a1·a2·a3·…·a30＝··x＝230.所以x3＝260，故a3·a6·a9·…·a30＝220.故选C.]‎ ‎11．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，则a10＝(　　)‎ A．15 B．19‎ C．21 D．30‎ B　[由S3＝a得‎3a2＝a，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比数列可得S＝S1·S4，又S1＝a2－d，S2＝‎2a2－d，S4＝‎4a2＋2d，故(‎2a2－d)2＝(a2－d)(‎4a2＋2d)，化简得3d2＝‎2a2d，又d≠0，∴a2＝3，d＝2，a1＝1，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴a10＝19.]‎ ‎12．设数列{an}满足an＋1＝－2an，a1＝1，数列{|an|}的前n项和为Sn，则S2 015＝(　　)‎ ‎【导学号：91432257】‎ A．22 015－1 B．22 016－2‎ C．22 014－1 D．1－22 015‎ A　[本题考查等比数列的定义与前n项和．‎ 法一：由an＋1＝－2an，可得＝－2，又a1＝1，所以an＝(－2)n－1，所以|an|＝|(－2)n－1|＝2n－1，所以S2 015＝＝22 015－1.故选A.‎ 法二：由an＋1＝－2an，可得＝－2，又a1＝1，所以an＝(－2)n－1，所以S2 015＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 015|＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 015)－(a2＋a4＋a6＋…＋a2 014)＝－＝(22 016－1＋2×22 014－2)＝22 015－1.故选A.]‎ 二、填空题(每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)‎ ‎13．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝‎4a3，a7＝－2，则a9＝________.‎ - 7 -‎ ‎－6　[S8＝＝4(a3＋a6)，由于S8＝‎4a3，所以a6＝0.又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6.]‎ ‎14．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝________.‎ ‎【导学号：91432258】‎ ‎768　[由an＋1＝3Sn，得Sn＋1－Sn＝3Sn，即Sn＋1＝4Sn，所以数列{Sn}是首项为1，公比为4的等比数列，所以Sn＝4n－1，所以a6＝S6－S5＝45－44＝3×44＝768.]‎ ‎15．已知公差不为零的正项等差数列{an}中，Sn为其前n项和，lg a1，lg a2，lg a4也成等差数列，若a5＝10，则S5＝________.‎ ‎【导学号：91432259】‎ ‎30　[设{an}的公差为d，则d≠0.‎ 由lg a1，lg a2，lg a4也成等差数列，‎ 得2lg a2＝lg a1＋lg a4，∴a＝a‎1a4，‎ 即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，d2＝a1d.‎ 又d≠0，故d＝a1，a5＝‎5a1＝10，d＝a1＝2，‎ S5＝‎5a1＋×d＝30.]‎ ‎16．已知等差数列{an}中，a3＝7，a6＝16，将此等差数列的各项排成如下三角形数阵(如图21所示)：‎ a1‎ a‎2　‎a3‎ a‎4　‎a‎5　‎a6‎ a‎7　‎a‎8　‎a‎9　‎a10‎ ‎…　…　…　…　…‎ 图21‎ 则此数阵中第20行从左到右的第10个数是________．‎ ‎598　[第1行有1项，第2行有2项，第3行有3项，故前19行共有19×1＋×1＝190(项)，第20行第10项为数列{an}中的第200项．又a3＝7，a6＝16，∴d＝＝＝3，∴an＝a3＋(n－3)·d＝7＋3(n－3)＝3n－2，∴a200＝3×200－2＝598.]‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(本小题满分10分)已知数列{an}为等差数列，且a3＝5，a7＝13.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}满足an＝log4bn，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【导学号：91432260】‎ - 7 -‎ ‎[解]　(1)设an＝a1＋(n－1)d，‎ 则解得a1＝1，d＝2.‎ 所以{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.‎ ‎(2)依题意得bn＝4an＝42n－1，‎ 因为＝＝16，‎ 所以{bn}是首项为b1＝41＝4，公比为16的等比数列，所以{bn}的前n项和Tn＝＝(16n－1)．‎ ‎18．(本小题满分12分)等差数列{an}中，前三项分别为x,2x,5x－4，前n项和为Sn，且Sk＝2 550.‎ ‎(1)求x和k的值；‎ ‎(2)求T＝＋＋＋…＋的值．‎ ‎[解]　(1)由4x＝x＋5x－4，得x＝2，‎ 所以an＝2n，Sn＝n(n＋1)，所以k(k＋1)＝2 550，得k＝50.‎ ‎(2)因为Sn＝n(n＋1)，‎ 所以＝＝－，‎ 所以T＝＋＋…＋ ‎＝1－＝.‎ ‎19．(本小题满分12分)已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．‎ ‎(1)求通项an及Sn；‎ ‎(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn.‎ ‎【导学号：91432261】‎ ‎[解]　(1)因为{an}是首项为a1＝19，公差为d＝－2的等差数列，‎ 所以an＝19－2(n－1)＝－2n＋21，‎ Sn＝19n＋·(－2)＝－n2＋20n.‎ ‎(2)由题意得bn－an＝3n－1，所以bn＝3n－1－2n＋21，则Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3n－1)＝－n2＋20n＋.‎ ‎20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝1，并且an＋1＝f(an)．‎ - 7 -‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝an，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎[解]　(1)由题意得an＋1＝，∴＝＝1＋，即－＝1，∴数列是一个等差数列，公差为1，首项为＝1，‎ 从而＝n，∴an＝.‎ ‎(2)由(1)得bn＝an＝＝－， ‎ ‎∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝1－＝.‎ ‎21．(本小题满分12分)已知数列{an}的通项公式为an＝3n－1，在等差数列{bn}中，bn>0，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列．‎ ‎(1)求数列{anbn}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.‎ ‎【导学号：91432262】‎ ‎[解]　(1)∵an＝3n－1，∴a1＝1，a2＝3，a3＝9.‎ ‎∵在等差数列{bn}中，b1＋b2＋b3＝15，∴3b2＝15，则b2＝5.设等差数列{bn}的公差为d，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，‎ ‎∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2.‎ ‎∵bn>0，∴d＝－10应舍去，∴d＝2，∴b1＝3，∴bn＝2n＋1.‎ 故anbn＝(2n＋1)·3n－1.‎ ‎(2)由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1　①，‎ ‎3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n　②，‎ ‎①－②，得－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)3n ‎＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3n ‎＝3＋2×－(2n＋1)3n ‎＝3n－(2n＋1)3n ‎＝－2n·3n.‎ ‎∴Tn＝n·3n.‎ ‎22．(本小题满分12分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．‎ - 7 -‎ ‎(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；‎ ‎(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．‎ ‎[解]　(1)由题意得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4 500－d，‎ an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.‎ ‎(2)由(1)得an＝an－1－d＝－d ‎＝2·an－2－d－d＝…‎ ‎＝n－‎1a1－d.‎ 整理得an＝n－1(3 000－d)－2d＝n－1·(3 000－3d)＋2d.‎ 由题意知am＝4 000，所以m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000，‎ 解得d＝＝.‎ 故该企业每年上缴资金d的值为万元时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．‎ - 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