江苏省常州市“教学研究合作联盟”2019-2020学年高一上学期期中质量调研数学试题

江苏省常州市“教学研究合作联盟”2019-2020学年高一上学期期中质量调研数学试题

‎2019-2020学年江苏省常州市教学研究合作联盟高一（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 已知集合2，4，，6，，的子集个数为 A. 1 B. ‎2 ‎C. 4 D. 8‎ 2. 函数的定义域为 A. B. C. D. ‎ 3. 已知函数与分别由表给出，则 x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎9‎ x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ A. 4 B. ‎1 ‎C. 3 D. 9‎ 4. 己知函数，且的图象恒过定点A，则A的坐标为 A. B. C. D. ‎ 5. 函数的零点所在的大致区间是 A. B. C. D. ‎ 6. 函数的大致图象为 A. B. C. D. ‎ 7. 若幂函数的图象经过点，则 A. 9 B. C. 3 D. ‎ 8. 已知，，，则 A. B. C. D. ‎ 9. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则 A. B. C. D. 15‎ 10. ‎“弯弓射雕”描述的是游牧名族的豪迈气氛，当弓箭以每秒a米的速度从地面垂直向上射箭时，t秒时弓箭距离地面的高度为x米，可由确定，已知射箭3秒是弓箭距离地面的高度为‎135米，则可能达到的最大高度为 A. ‎135米 B. ‎160米 C. ‎175米 D. ‎‎180米 11. 已知函数的定义域为R，对于任意，都满足，且对于任意的a，，当时，都有，若，则实数x的取值范围是 A. ． B. C. ． D. ．‎ 1. 已知函数，，两者的定义域都是I，若对于任意，存在，使得，，且，则称，为“兄弟函数”，已知函数，是定义在区间上的“兄弟函数”那么函数在区间的最大值为 A. 3 B. C. D. 13‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 2. 若集合，，且，则实数m的取值范围为______．‎ 3. 已知函数在R上为偶函数，且，时，，则当时，______．‎ 4. 已知函数在上是单调递增函数，则实数a的取值范围是______．‎ 5. 已知，函数，若对于任意的，恒成立，则实数a的取值范围是______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 6. 已知，化简：； 求值：． ‎ 7. 设，，． 若，求； 若，求实数a的取值范围． ‎ 8. 已知函数是奇函数． 求实数m的值； 求证：函数在上是单调增函数． ‎ 9. 甲、乙两家鞋帽商场销售同一批品牌运动鞋，每双标价为800元甲、乙两商场销售方武如下：在甲商场买一双售价为780元，买两双每双售价为760元，依次类排，每多买一双则所买各双售价都再减少20元，但每双售价不能低于440元；乙商场一律按标价的销售． 分别写出在甲、乙两商场购买x双运动鞋所需费用的函数解析式和． 某单位需购买一批此类品牌运动鞋作为员工福利，问：去哪家商场购买花费较少？ ‎ 1. 已知函数． 当时，作出函数的图象； 是否存在实数a，使得函数在区间上有最小值8，若存在求出a的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ 2. 对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足； 在内是单调函数；当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”． 求证：是函数的一个“优美区间”． 求证：函数不存在“优美区间”． 已知函数有“优美区间”，当a变化时，求出的最大值． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】解：2，4，，6，， ， 的子集个数为个． 故选：C． 进行交集的运算即可求出，从而得出的元素个数为2，进而得出的子集个数为个． 本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，集合子集个数的计算公式，考查了计算能力，属于基础题． 2.【答案】B ‎ ‎【解析】解：由题意可知，， 解可得，，即函数的定义域为． 故选：B． 根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目 3.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由题意得： ， ． 故选：A． 推导出，从而，由此能求出结果． 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由得，此时， 即函数过定点， 故选：C． 根据指数函数的性质，令幂指数为0，进行求解即可求出定点坐标． 本题主要考查指数函数过点定点的性质，利用的性质是解决本题的关键．比较基础． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】解：函数是连续函数， ，， 根据零点存在定理，可得函数的零点所在的大致区间是 故选：B． 确定，，根据零点存在定理，可得结论． 本题考查零点存在定理，考查学生的计算能力，属于基础题． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】解：定义域，排除A，C； 当时，为减函数，故排除B， 故选：D ‎． 先由定义域，排除A，C；再根据时，为减函数，故排除B，选D． 本题考查了对函数图象，通过对函数性质的探究，排除不合题意的选项，可得出正确结果，属于中档题． 7.【答案】D ‎ ‎【解析】解：设幂函数， 其图象过点，则， ， 所以； 所以． 故选：D． 设出幂函数的解析式，把点的坐标代入求出的解析式，再计算的值． 本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题． 8.【答案】A ‎ ‎【解析】解：，， ，， ，， ， 故选：A． 利用对数函数和指数函数的单调性求出a，b，c的范围，从而比较出大小． 本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用． 9.【答案】C ‎ ‎【解析】解：是定义在R上的奇函数，且当时，， 则． 故选：C． 由，结合已知代入即可求解． 本题主要考查了利用奇函数定义求解函数值，属于基础试题． 10.【答案】D ‎ ‎【解析】解由题意可知，，当，， 代入可得， 解可得，，， 根据二次函数的性质可知，开口向下，对称轴， 故当时，函数取得最大值180． 故选：D． 把，，代入已知函数可求a，然后根据二次函数的性质即可求解． 本题主要考查了二次函数的最值的求解，属于基础试题． 11.【答案】D ‎ ‎【解析】解：根据题意，函数的定义域为R，对于任意，都满足，即函数为偶函数， 对于任意的a ‎，，当时，都有，即在区间上为减函数， 又由为偶函数，则在上增函数， 故， 解可得：或， 即不等式的解集为； 故选：D． 根据题意，分析可得为偶函数且在上增函数，进而分析可得，解可得x的取值范围，即可得答案． 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数不等式的解法，属于基础题． 12.【答案】C ‎ ‎【解析】解：， 当且仅当，即时，等号成立． 在处取得最小值3； 又与是定义在区间上的“兄弟函数”， 在处取得最小值3； ． 函数在区间的最大值为． 故选：C． 化简由基本不等式可判断在处取得最小值3；从而可知在处取得最小值3，再由二次函数的顶点式写出，从而求函数的最大值． 本题考查函数的最值，考查新定义，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由题意可知， 且， 即． 故答案为：． 由题意可知，然后结合集合的包含关系即可求解． 本题主要考查了集合的包含关系的应用，属于基础试题． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：设则， 在R上为偶函数，且，时，， ， 故答案为：． 先设则，根据在R上为偶函数，且，时，，代入即可求解． 本题考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，属于基础题． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：当时，在上是单调递增函数，符合题意， 当时，结合二次函数的性质可知，， 解可得，， 综上可得，a的范围为． 故答案为． 对a的值是否为0进行分类讨论，分别结合一次函数与二次函数的单调性即可求解． 本题主要考查了函数单调性的应用，体现了分类讨论思想的应用． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：时，，化为：，，． 时，， 化为：， ，． 综上可得：． 实数a的取值范围是． 故答案为：． 根据分段函数，通过分离参数，利用二次函数的单调性即可得出实数a的取值范围． 本题考查了函数的单调性、分段函数的性质、分离参数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17.【答案】解：， ， ； ， ， ． ‎ ‎【解析】结合已知及根式的几何意义即可化简求值， 结合对数的运算性质及对数恒等式即可进行化简． 本题考查的知识点是指对数的运算性质，熟练掌握指数与对数的运算性质是解答对数化简求值类问题的关键． 18.【答案】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ‎ ‎【解析】由，可求，然后求解A，结合集合的基本运算可求， 由，可得，结合集合的包含关系即可求解． 本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 19.【答案】解：法一：解：定义域为， 是奇函数， 对于定义域内的任意x恒成立． ， ， ， ， 该式对于定义域中的任意x 都成立，即， 法二：定义域为， 是奇函数， ， ，解得， 检验：当时，，定义域为关于原点对称， ， 是奇函数， 证明：在内任取，，， ， ，，， ， 在上单递增． ‎ ‎【解析】法一：根据奇函数的性质可知恒成立，代入即可求解m； 法二：由是奇函数，可知，代入可求m． 根据单调性的定义即可判断在区间上的单调性并证明． 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据定义法是解决本题的关键． 20.【答案】解：由可得当且时，去甲商场购买的单价为元， 当且时，去甲商场购买的单价为440元．去乙商场购买单价一直为元． ， 当且时，； 当且时， 由解得且； 由解得； 由解得且， 综上：当且时，； 当时，； 当且时，． 答：， 若单位购买少于10双，去乙商场花费较少，若购买10双，则去两家商场花费相同，若购买超过10双，则去甲商场花费较少． ‎ ‎【解析】当且时，去甲商场购买的单价为元，当且时，去甲商场购买的单价为440元．去乙商场购买单价一直为元．然后列出函数的解析式； 通过当且时，；当且时，推出当且时，；当时，；当且时，得到结论． 本题考查实际问题的处理方法，分段函数的应用没看出分析问题解决问题的能力，是中档题． 21.【答案】解：当时， ‎ 假设存在实数a，使得函数在区间上有最小值8，，．   当时，， 对称轴方程为，，，在上单调递增， ，，．   当时，，不可能有最小值舍去，   当时， ， 对称轴方程为， ，， 当即时，，，， 又，舍去． 当即时，， ，． 综上：或． ‎ ‎【解析】去掉绝对值符号，化简函数为分段函数，然后画出函数的图象即可． 假设存在实数a，使得函数在区间上有最小值8，．   当时，求解，推出．   当时，说明不可能有最小值舍去，   当时，当时，没有a满足题意；当时，，可求出． 本题考查函数与方程的综合应用，考查分类讨论思想的应用，函数的最值的求法，考查数形结合以及计算能力，是难题． 22.【答案】解：在区间上单调增． 又，，值域为， 区间是的一个“优美区间”． 设是已知函数定义域的子集． ，，或，， 函数在上单调递减． 若是已知函数的“优美区间”，则， 由得：，， ，，． 代入等式不成立，函数不存在优美区间． 设是已知函数定义域的子集． ，，或，， 函数在上单调递增． 若是已知函数的“优美区间”，则， 、n是方程，即的两个同号且不等的实数根． ， ，n同号，只须， 即或， ， 当时，取最大值． ‎ ‎【解析】通过在区间上单调增．利用新定义判断即可． 利用新定义是已知函数的“优美区间”，推出，转化求解即可． 设是已知函数定义域的子集，通过是已知函数的“优美区间”，则，说明m、n 是方程的两个同号且不等的实数根．转化求解取最大值． 本题考查新定义的应用，函数椭圆方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题． ‎