2018-2019学年福建省师大附中高二上学期期中考试数学（理）试题（平行班） Word版
福建师大附中2018-2019学年上学期期中考试
高二（理科平行班）数学试卷
时间：
120分钟
满分：
150分
试卷说明：
（1）本卷共三大题，22小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。
（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1.若a＜b＜0，则
A．＜
B．0＜＜1
C．＞
D．ab＞b2
2.从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为
A．480
B．481
C．482
D．483
3.袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球.设事件P表示“取出的都是黑球”；事件Q表示“取出的都是白球”；事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”．则下列结论正确的是
A．P与R是互斥事件
B．Q与R是互斥事件，但不是对立事件
C．P与Q是对立事件
D．Q与R是对立事件
4.已知A，B两名同学在5次数学考试中的成绩统计如茎叶图所示，若A，B两人的平均成绩分别是xA，xB，观察茎叶图，下列结论正确的是
A．xA
xB，B比A成绩稳定
C．xAxB，A比B成绩稳定
5.中国古代数学著作“算法统宗”中有这样一个问题：“三百七十八里关,初步使步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为
A．里
B．里
C．里
D．里
6.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a3＋a9＝27－a6，则S11＝
A．18
B．99
C．198
D．297
7.若两个正实数x,y满足,且恒成立,则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
8.执行如图所示的程序框图，若输出的S＝88，则判断框内应填入的条件是
A．k＞4?
B．k＞5?
C．k＞6?
D．k＞7?
9.若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为
A．
B．
C．
D．
10.已知x,y满足约束条件，若的最大值为2，则m的值为
A．4
B．5
C．8
D．9
11.某个泊位仅供甲乙两艘轮船停靠，甲乙两艘轮船都要在此泊位停靠6小时.若他们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率
A．
B．
C．
D．
12.在中，是边上一点，，，则
A．
B．
C．
D．
Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：每小题5分,共20分.
13.设满足约束条件，则的最大值为 .
14. 下列说法正确的是 . （写出所有正确说法的序号）
①如果命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题；
②命题“”的否定是“”.
③命题“若，则”的否命题是：“若，则”
④特称命题 “，使”是真命题.
15.已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则b+c的最大值是 .
16.在中，角的对边分别为且 ，若三角形有两解，则的取值范围为 .
三、解答题:6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18．（12分）
一次测试中，为了了解学生的学习情况，从中抽取了个学生的成绩（满分为100分）进行统计.按照[50,60)，[60,70)， [70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出得分在[50,60)， [90,100]的数据）.
(1)求样本容量和频率分布直方图中的值；
(2)现从在[80,90)和[90,100]的两组的成绩中随机抽取2个，求它们属于同一组的概率.
19.（12分）在中，，，点在上，且，．
(1)求；
(2)求，的长．
20．（12分）已知数列满足.
(1)设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
21．（12分）2018年3月5日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税.某人计划于2018年5月购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如下表：
月份
2017.12
2018.01
2018.02
2018.03
2018.04
月份编号t
1
2
3
4
5
销量（万辆）
0.5
0.6
1
1.4
1.7
(1)经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量y（万辆）与月份编号t之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程，并预测2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量；
(2)2018年6月12日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程（新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程）对购车补贴进行新一轮调整.已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：
补贴金额预期值区间（万元）
[1,2)
[2,3)
[3,4)
[4,5)
[5,6)
[6,7]
频数
20
60
60
30
20
10
求这200位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期值的样本方差及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1）.
参考公式及数据：
①回归方程，其中；②.
22．（12分）
数列的前项和为，．
(1)求出数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.
福建师大附中2018-2019学年上学期期中考试高二（理科平行班）数学评分标准
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
D
A
C
B
A
B
D
B
C
B
二、填空题：
13. 3 14. ①②③ 15. 16.
三、解答题:
17.解：由得
∴，即………………………………………………3分
由得
∴，即 ………………………………………………3分
∵是的必要不充分条件
∴是的必要不充分条件
∴………………………………………………8分
∴，解得.………………………………………………10分
18.解：（1）由题意可知，样本容量，，
．………………6分
（2）成绩在[80,90)的共有4个，设这4个成绩分别为；成绩在[90,100]共有2个，设这2个成绩分别为.现从在[80,90)和[90,100]的两组的成绩中随机抽取2个，基本事件有：
共有15个.
同属同一组的共有7个，所以属于同一成绩组的概率为.…………………12分
19.解：（1）∵，且，∴，
∴，………………………………………………2分
由得，
………………………………………………6分
（Ⅱ）在中，由正弦定理得，
………………………………………………………………………………………………9分
在中，由余弦定理得
∴．…………………………………………………………………………12分
20. (1)∵bn+1－bn＝－＝－＝－＝2…4分
∴数列{bn}是等差数列．∵a1＝1，∴b1＝2，因此bn＝2＋(n－1)×2＝2n，…………6分
由bn＝得an＝.…………………………………………………………7分
(2)由cn＝，an＝得cn＝，……………………………………………………8分
∴……………………………………………………10分
∴Tn.………………………………12分
21.解：（1）易知，
……………………………………………………2分
，………5分
则关于的线性回归方程为，
当时，，
即2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量约为2万辆……………………6分.
（2）（i）根据题意，这200位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心里预期值的平均值，样本方差及中位数的估计值分别为：
，…………8分
……………………………………………10分
中位数的估计值为.……………………………………12分
22.解：（），①，
∴当时，，得，……………………………………………1分
当时②，
①-②得：，即，………………………………………2分
∴，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴，
∴． ………………………………………………………………4分
（）由题意，，……………………5分
∴，
，
两式相减得
．………………………………………………………………8分
（3）
∵对任意的,不等式恒成立
∴对任意的,不等式恒成立………………………………………9分
设
则
当1≤n≤5时，cn+1-cn>0，即cn+1>cn
当n≥6时cn+1-cn<0，即cn+1
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