2010年数学试题分类汇编四川卷

2010年数学试题分类汇编四川卷

‎2010年数学试题分类汇编四川卷 一、选择题 ‎1、函数的图像关于直线对称的充要条件是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2、.设集合A={3，5，6，8}，集合B={4，5， 7，8}，则A∩B等于 ‎(A){3，4，5，6，7，8} (B){3，6} (C) {4，7} (D){5，8}‎ ‎3、下列四个图像所表示的函数，在点处连续的是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎4、2log510＋log50.25＝‎ ‎（A）0 （B）1 （C） 2 （D）4‎ ‎5、函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－ ‎ ‎ 于是－＝‎1 Þ m＝－2‎ ‎6、函数y=log2x的图象大致是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ 二、填空题 ‎7、（本小题满分14分）‎ 设（且），g(x)是f(x)的反函数.‎ ‎（Ⅰ）设关于的方程求在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当a＝e（e为自然对数的底数）时，证明：；‎ ‎（Ⅲ）当0＜a≤时，试比较与4的大小，并说明理由.‎ 本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考察化归、分类整合等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力.‎ 三、选择题 ‎8、（2010四川文数）（12）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点、，那么、两点间的球面距离是 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎9、（2010四川理数）（11）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，‎ 是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ 四、解答题 ‎10、（本小题满分12分）‎ 已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；‎ ‎（Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥M－OBC的体积. ‎ 五、填空题 ‎11、已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切。则圆C的方程为 。‎ ‎12、直线与圆相交于A、B两点，则 .‎ 六、选择题 ‎13、一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是 ‎（A）12,24,15,9 （B）9,12,12,7 （C）8,15,12,5 （D）8,16,10,6‎ 七、填空题 ‎14、（本小题满分12分）‎ 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。‎ ‎（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；‎ ‎（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.‎ 八、解答题 ‎15、（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明两角和的余弦公式；‎ ‎ 由推导两角和的正弦公式.‎ ‎（Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求cosC.‎ 本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力。‎ ‎16、（本小题共13分）‎ ‎ 已知函数。‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值和最小值。‎ 九、选择题 ‎17、设点是线段的中点，点在直线外，， ，则 ‎（A）8 （B）4 （C）2 （D）1‎ ‎18、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则 ‎（A）8 （B）4 （C） 2 （D）1‎ ‎19、（2010四川文数）（9）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是 ‎（A）36 （B）32 （C）28 （D）24‎ ‎20、（2010四川理数）（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 ‎（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144 ‎ 算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个 ‎21、某加工厂用某原料由车间加工出产品，由乙车间加工出产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克产品，每千克产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克产品，每千克产品获利50元.甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为 y ‎0‎ x ‎70‎ ‎48‎ ‎80‎ ‎70‎ ‎(15,55)‎ ‎（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 ‎（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 ‎（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 ‎（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 ‎22、设，则的最小值是 ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎23、某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出‎7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出‎4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为y ‎0‎ x ‎70‎ ‎48‎ ‎80‎ ‎70‎ ‎(15,55)‎ ‎（A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 ‎（B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 ‎（C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 ‎（D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 ‎24、设，则的最 小值是 ‎（A）2 （B）4 （C） （D）5‎ ‎25、椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎26、椭圆的右焦点为F，其右准线与轴的交点为．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是 ‎（A）（0，] （B）（0，] （C）[，1） （D）[，1）‎ ‎27、抛物线的焦点到准线的距离是 ‎(A) 1 (B)2 (C)4 (D)8‎ ‎28、i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝‎ ‎（A）－1 （B）1 （C） （D）‎ 十、填空题 ‎29、‎ 甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和 。‎ ‎30、某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答)‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、A 解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为 x＝－‎ 于是－＝‎1 Þ m＝－2‎ ‎2、D 解析：集合A与集合B中的公共元素为5,8‎ ‎3、D 解析：由图象及函数连续的性质知，D正确.‎ ‎4、C 解析：2log510＋log50.25‎ ‎＝log5100＋log50.25‎ ‎＝log525‎ ‎＝2‎ ‎5、A ‎6、C 解析：本题考查对数函数的图象和基本性质.‎ 二、填空题 ‎7、解：(1)由题意，得ax＝＞0‎ 故g(x)＝，x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞)‎ 由得 t＝(x-1)2(7-x)，x∈[2,6]‎ 则t'=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5)‎ 列表如下：‎ x ‎2‎ ‎(2,5)‎ ‎5‎ ‎(5,6)‎ ‎6‎ t'‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ t ‎5‎ ‎↗‎ 极大值32‎ ‎↘‎ ‎25‎ 所以t最小值＝5，t最大值＝32‎ 所以t的取值范围为[5,32]……………………………………………………5分 ‎(2) ‎ ‎ ＝ln()‎ ‎ ＝－ln 令u(z)＝－lnz2－＝－2lnz＋z－，z＞0‎ 则u'(z)＝－＝(1－)2≥0‎ 所以u(z)在(0,＋∞)上是增函数 又因为＞1＞0，所以u()＞u(1)＝0‎ 即ln＞0‎ 即………………………………………………………………9分 ‎(3)设a＝，则p≥1，1＜f(1)＝≤3‎ 当n＝1时，|f(1)－1|＝≤2＜4‎ 当n≥2时 设k≥2,k∈N *时，则f(k)＝‎ ‎ ＝1＋‎ 所以1＜f(k)≤1＋‎ 从而n－1＜≤n-1+＝n+1-＜n＋1‎ 所以n＜＜f(1)＋n＋1≤n＋4‎ 综上所述，总有|－n|＜4‎ 三、选择题 ‎8、A 解析：由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝‎ cos∠BAC＝‎ 连结OM，则△OAM为等腰三角形 AM＝2AOcos∠BAC＝，同理AN＝，且MN∥CD 而AC＝R,CD＝R 故MN：CD＝AN:AC Þ MN＝，‎ 连结OM、ON，有OM＝ON＝R 于是cos∠MON＝‎ 所以M、N两点间的球面距离是 ‎9、A 解析：由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝ ‎ cos∠BAC＝‎ 连结OM，则△OAM为等腰三角形 AM＝2AOcos∠BAC＝，同理AN＝，且MN∥CD ‎ 而AC＝R,CD＝R 故MN：CD＝AN:AC ‎ Þ MN＝，‎ 连结OM、ON，有OM＝ON＝R 于是cos∠MON＝‎ 所以M、N两点间的球面距离是 ‎ 四、解答题 ‎10、本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。‎ 解法一：（1）连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK 因为M是棱AA’的中点，点O是BD’的中点 所以AM 所以MO 由AA’⊥AK，得MO⊥AA’‎ 因为AK⊥BD,AK⊥BB’，所以AK⊥平面BDD’B’‎ 所以AK⊥BD’‎ 所以MO⊥BD’‎ 又因为OM是异面直线AA’和BD’都相交 故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线 ‎（2）取BB’中点N，连结MN，则MN⊥平面BCC’B’‎ 过点N作NH⊥BC’于H，连结MH 则由三垂线定理得BC’⊥MH 从而,∠MHN为二面角M-BC’-B’的平面角 MN=1,NH=Bnsin45°=‎ 在Rt△MNH中，tan∠MHN=‎ 故二面角M-BC’-B’的大小为arctan2‎ ‎(3)易知，S△OBC=S△OA’D’，且△OBC和△OA’D’都在平面BCD’A’内 点O到平面MA’D’距离h＝‎ VM-OBC=VM-OA’D’=VO-MA’D’=S△MA’D’h=‎ 解法二：‎ 以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz 则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1)‎ ‎(1)因为点M是棱AA’的中点,点O是BD’的中点 所以M(1,0, ),O(,,)‎ ‎,=(0,0,1),=(-1,-1,1) ‎ ‎=0, +0=0‎ 所以OM⊥AA’,OM⊥BD’‎ 又因为OM与异面直线AA’和BD’都相交 故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线.………………………………4分 ‎(2)设平面BMC'的一个法向量为=(x,y,z)‎ ‎=(0,-1,), ＝(－1,0,1)‎ ‎ 即 取z＝2,则x＝2,y＝1，从而=(2,1,2) ‎ 取平面BC'B'的一个法向量为＝(0,1,0)‎ cos 由图可知，二面角M-BC'-B'的平面角为锐角 故二面角M-BC'-B'的大小为arccos………………………………………………9分 ‎(3)易知，S△OBC＝S△BCD'A'＝‎ 设平面OBC的一个法向量为＝(x1,y1,z1) ‎ ‎＝(－1,－1,1), ＝(－1,0,0)‎ ‎ 即 取z1＝1,得y1＝1，从而＝(0,1,1)‎ 点M到平面OBC的距离d＝‎ VM－OBC＝…………………………………………12分 五、填空题 ‎11、‎ 本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。‎ 令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0,与x轴的交点为（-1.0）‎ 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以圆C的方程为 ‎【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。‎ ‎12、解析：方法一、圆心为(0,0)，半径为2‎ 圆心到直线的距离为d＝‎ 故 ‎ 得|AB|＝2 答案：2 六、选择题 ‎13、D 解析：因为 ‎ 故各层中依次抽取的人数分别是，，，‎ 七、填空题 ‎14、解：（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么 P(A)=P(B)=P(C)=‎ P()=P(A)P()P()=‎ 答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为……………………………………6分 ‎（2）ξ的可能值为0,1,2,3‎ P(ξ=k)=(k=0,1,2,3)‎ 所以中奖人数ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P Eξ=0×+1×+2×+3×=………………………………………………12分 八、解答题 ‎15、解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4. ‎ 则P1(1,0),P2(cosα,sinα)‎ P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β)) ‎ 由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得 ‎[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2‎ 展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)‎ ‎∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………4分 ‎②由①易得cos(－α)＝sinα,sin(－α)＝cosα sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]‎ ‎ ＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)‎ ‎ ＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………6分 ‎(2)由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c 则S＝bcsinA＝‎ ‎＝bccosA＝3＞0‎ ‎∴A∈(0, ),cosA＝3sinA 又sin‎2A＋cos‎2A＝1，∴sinA＝,cosA＝‎ 由题意，cosB＝,得sinB＝‎ ‎∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝ ‎ 故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－…………………………12分 ‎16、解：（I）‎ ‎ （II）‎ ‎ =‎ ‎ =,‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以，当时，取最大值6；当时，取最小值 九、选择题 ‎17、C 解析：由＝16，得|BC|＝4‎ ‎＝4‎ 而 故2‎ ‎18、C ‎ 解析：由＝16，得|BC|＝4 ‎ ‎＝4‎ 而 故2‎ ‎19、A 解析：如果5在两端，则1、2有三个位置可选，排法为2×＝24种 ‎ 如果5不在两端，则1、2只有两个位置可选，3×＝12种 ‎ 共计12＋24＝36种 ‎20、C 解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法 ‎ ①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，3＝24个 ‎②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共3＝12个 ‎21、B 解析：解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱 则 目标函数z＝280x＋300y 结合图象可得：当x＝15,y＝55时z最大 本题也可以将答案逐项代入检验.‎ ‎22、D ‎＝‎ ‎＝‎ ‎≥2＋2＝4‎ 当且仅当ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立 如取a＝,b＝满足条件.‎ ‎23、B ‎ 解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱 则 目标函数z＝280x＋300y 结合图象可得：当x＝15,y＝55时z最大 本题也可以将答案逐项代入检验.‎ ‎24、B 解析：‎ ‎＝ ‎ ‎＝‎ ‎≥0＋2＋2＝4‎ 当且仅当a－‎5c＝0,ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立 如取a＝,b＝,c＝满足条件.‎ ‎25、D 解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，‎ 即F点到P点与A点的距离相等 而|FA|＝ ‎ ‎ |PF|∈[a－c,a＋c]‎ 于是∈[a－c,a＋c]‎ 即ac－c2≤b2≤ac＋c2‎ ‎∴‎ Þ ‎ 又e∈(0,1)‎ 故e∈‎ ‎26、D 解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，‎ 即F点到P点与A点的距离相等 而|FA|＝‎ ‎ |PF|∈[a－c,a＋c]‎ 于是∈[a－c,a＋c]‎ 即ac－c2≤b2≤ac＋c2‎ ‎∴‎ Þ 又e∈(0,1)‎ 故e∈‎ ‎27、C 解析：由y2＝2px＝8x知p＝4‎ ‎ 又交点到准线的距离就是p ‎28、A 解析：由复数性质知：i2＝－1‎ 故i＋i2＋i3＝i＋(－1)＋(－i)＝－1‎ 答案：A 十、填空题 ‎29、24，23‎ ‎【解析】本题主要考查茎叶图的应用，属于容易题。‎ 甲加工零件个数的平均数为 乙加工零件个数的平均数为 ‎【温馨提示】茎叶图中共同的数字是数字的十位，这事解决本题的突破口。‎ ‎30、A ‎【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.‎ ‎【解析1】:可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有种不同的选法.所以不同的选法共有+种.‎ ‎【解析2】: ‎