数学文卷·2017届广东省深圳市高三上学期第一次三校联考（2017

数学文卷·2017届广东省深圳市高三上学期第一次三校联考（2017

绝密★启封并使用完毕前 深圳市 2017 届高三年级第一次三校联考数学（文科）试卷 命题人：赵伟 苏宁 刘佳辉 审题人：叶雪云 考试时长：120 分钟 卷面总分：150 分 注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效．选择题作答必须用 2B 铅笔， 修改时用橡皮擦干净．解答题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答题不 得超出答题框． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. 已知集合 ，则 ( ) A. B. C. D. 2. 是 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 复数 的共轭复数为( ) A． B． C． D． 4. 对于函数 （ ），选取 的一组 值计算 、 ，所得出的正确结果可能是( ) A． 和 B． 和 C． 和 D． 和 5. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( ) A． B． C． D． 6. 将函数 的图象向左平移 个周期后，所得图 象对应的函数为( ) A． B． C． D． 7. 已知当 时， ；当 时， 且 .若对任意 ，都有 成立，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 8. 已知 是第一象限角，满足 ，则 ( ) A. B. C. D. 9. 已知 ，则 在定义域上的最小值为( ) A. B. C. D. 10. 若 满足约束条件 则 的最小值为( ) A. B. C. D. 11. 设函数 的图象如右图， 则 满足 ( ) A． B． C． D． 12. 若 是 定 义 在 上 的 单 调 函 数 ， 且 对 任 意 ，则方程 的解所在区间是( ) A． B． C． D． 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22~24 题 为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 已知平面向量 且 ，则 . 14. 曲线 (其中 为自然对数的底数)在点 处的切线方程是_________. 15. 设当 时，函数 取得最大值，则 . 16. 若 定 义 在 上 的 函 数 满 足 且 ， 则 不 等 式 (其中 为自然对数的底数)的解集为_________. 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ． (Ⅰ) 求 ； (Ⅱ) 若 ，求 的面积． 18. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 前 项和为 ，且 （ ）． (Ⅰ) 求 ， ； (Ⅱ) 若 ，求数列 前 项和 . 19. (本小题满分 12 分) 某气象站观测点记录的连续 天里， 指数 与当天的空气水平可见度 （单位 ） 的情况如下表 ： 哈尔滨市某月（以 天计）的 指数频数分布如下表 ： 频数 (Ⅰ) 设 ，根据表 的数据，求出 关于 的回归方程； (参考公式： 其中 ) (Ⅱ) 小张开了一家洗衣店，经统计，当 不高于 时，洗衣店平均每天亏损约 元,当 在 至 时，洗衣店平均每天收入约 元，当 大于 时，洗衣店平 均每天收入约 元，根据表 估计小张的洗衣店该月份平均每天的收入. 20. (本小题满分 12 分) 已知定义在 上的奇函数 满足 . (Ⅰ) 若函数 有 个零点，求实数 的取值范围； (Ⅱ) 求 的解集. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 . (Ⅰ) 讨论 的单调性； (Ⅱ) 若对于 ， 恒成立，求实数 的取值范围. 请考生在 22~24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图， 是圆 的直径，弦 ， 的延长线相交于点 ， 垂直 的延长线于点 . (Ⅰ) 求证： ； (Ⅱ) 若 ， ， .求 的长． 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. 设曲线 （ 为参数）；直线 . (Ⅰ) 写出曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程； (Ⅱ) 求曲线 上的点到直线 的最大距离. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 ． (Ⅰ) 求不等式 的解集； (Ⅱ) 若 ， 恒成立，求实数 的取值范围． 2017 届高三年级第一次三校联考数学（文科）试卷 参考答案与评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B C D D A C C B C D C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分． 13. ． 14. . 15. . 16. ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分） 解：（1） ， ………………2 分 又 ， …………………4 分 ， ． …………………6 分 （2）由余弦定理 得 即： ， …………………10 分 …………………12 分 18．（本小题满分 12 分） 解：（1）∵ ∴ ， ， …………2 分 又∵ 等差数列，∴ ， ； …………3 分 ； ， ……4 分 ∴ ……………………5 分 （2） ……………………6 分 …………① ……………………7 分 ……② ……………………8 分 ①-②得 ……………………9 分 ……………………10 分 ……………………11 分 ……………………12 分 19．（本小题满分 12 分） 解：（1） …………………2 分 ； …………………6 分 所以 关于 的回归方程是 ………………………7 分 （2）根据表 知： 天中有 天每天亏损约 元，有 天每天收入约 元，有 天 每 天 收 入 约 元 ， 故 该 月 份 平 均 每 天 的 收 入 约 为 （元）……………12 分 20．（本小题满分 12 分） 解：(1)因为 是定义在 上的奇函数，且 ， 则 . ………2 分 从而可得函数 与 的图象分别如下图所示. ………4 分 因为函数 有 个零点， 则题设可等价转化为函数 与函数 的图象有 个交点. ……………5 分 由右上图可知， 或 ， ………6 分 即:当 或 时，函数 有 个零点. …………7 分 (2)令 得， 或 ， …………8 分 因为 是定义在 上的奇函数，当 时，解得 或 …………9 分 结合左上图可知， ， …………10 分 即： . ……………11 分 所以所求解集为 . ……………12 分 21．（本小题满分 12 分） 解：(1) 函数 的定义域为 . 因为 ， …………1 分 所以：（i）当 时， 对 恒成立， 所以 在 上单调递增； …………2 分 （ii）当 时，令 或 （舍）. …………3 分 当 时， ；当 时， . 所以 在 上单调递增； 在 上单调递减. ……4 分 (2)令 则依题意， 对 恒成立. …………5 分 由于 ，所以由（1）可知： 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递增；在 上单调递减.此时， 在 处取得最大值. …………6 分 若 ，因为 ，显然与题设相矛盾； …………7 分 若 ，则题设等价于 （），……8 分 不妨设 ，则 . 所以（）式等价转化为 （ ）. …………9 分 记 ，则 . 因为 ，所以 在 上单调递增. …………10 分 所以 , …………11 分 即： ，解得， . 所以所求的实数 的取值范围为 . …………12 分 请考生在第 22~24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 解：(1)证明：连接 ， . ………………………1 分 因为 是圆 的直径．所以 ， 故 ， ， ， 四点共圆，所以 . ………………… 4 分 (2)在 和 中， ， 所以 ∽ ，故 . ……………6 分 在 中， . 设 ，又 ， ， 所以 ，则 ， 所以 ，解得 . 所以 的长为 . ………………………10 分 23．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 解： (1)将 转化普通方程为： ………………………2 分 将 转化为直角坐标方程为： ………………………4 分 (2)在 上任取一点 ，则点 到直线的距离为 = ………………………8 分 因为 所以当 的最大值为 . ………………………10 分 24．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式证明选讲 解：（1） ………………………2 分 当 当 当 综上所述 ．………………………6 分 （2）易得 ，若 ， 恒成立， 则只需 ………………………8 分 ， 综上所述 ．………………………10 分