考点60+不等式的证明、柯西不等式-2019年领军高考数学（文）必刷题

考点60+不等式的证明、柯西不等式-2019年领军高考数学（文）必刷题

考点 60 不等式的证明、柯西不等式 1．已知函数 ． （1）解不等式 ； （2）设函数 的最小值为 c，实数 a，b 满足 ，求证： ． 【答案】（1） ；（2）见解析 2．已知函数 . （1）当 时，解不等式 ； （2）若 的解集为 ， ，求证： . 【答案】(1) ；(2)证明见解析. 3．已知函数 . (1)求不等式 的解集 ； (2)设 ，证明: . 【答案】(1) (2)见解析 【解析】 （1）当 时， 恒成立，所以 ； 当 时， ， 所以 ，综合可知，不等式 的解集为 . 4．设函数 ，（实数 ） （1）当 ，求不等式 的解集； （2）求证： . 【答案】（1） ；（2） 【解析】 （1）原不等式等价于 ， 当 时，可得 ，得 ； 当 时，可得 ，得 不成立； 当 时，可得 ，得 ； 综上所述，原不等式的解集为 5． 已知函数 ，关于 的不等式 的解集记为 . （1）求 ； （2）已知 ， ，求证： . 【答案】（1） （2）见解析 【解析】（1）由 ，得 ， 即 或 或 解得 或 ， 所以，集合 . （2）证明：∵ ， ，∴ ， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ . 6． 已知 ，且 ，证明： （1） ； （2） . 【答案】（1）见解析（2）见解析 7． 关于 的不等式 的解集为 . （1）求实数 的值； （2）若 ，且 ，求证： . 【答案】（1）1（2）见解析 【解析】 8．已知函数 ， . （1）解不等式 ； （2）设 ，求证： . 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【解析】 （1）由题意得原不等式为 ，等价于 或 或 ， 解得 或 或 ， 综上可得 ． ∴原不等式的解集为 ． （2） ， 当且仅当 时等号成立． 9．已知实数 x, y 满足 . （1）解关于 x 的不等式 ； （2）若 ，证明： 【答案】（1） ；（2）9 （2） 且 ， . 当且仅当 时，取“=”. 10．已知 ，且 . （1）若 恒成立，求 的取值范围； （2）证明： . 【答案】(1) ;(2)见解析. 当 时， ，解得 ，故 ； 综上， . （2） ， ， . 11．已知函数 . （1）解不等式 ； （2）若 对任意 恒成立，求证： . 【答案】(1) ；(2)证明见解析. 因为 对任意 恒成立， 所以 ， 又 ， 所以 ． 12． 已知 ，不等式 的解集是 . （1）求集合 ； （2）设 ，证明： . 【答案】（Ⅰ） . （Ⅱ）见解析. 13． 已知函数 . （1）求不等式   2f x  的解集； （2）记  f x 的最大值为 k ，证明：对任意的正数 a ， b ， c ，当 时，有 成立. 【答案】(1) 1 ,2    ;(2)见解析. 14． 已知实数 , ,a b c 满足 ，证明： （1） ； （2） . 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】（1）由 ，得 ， 所以 ， 即 . 因为 ，当且仅当b c 时，取等号， 所以 ， 所以 ， 15． 已知 ， ． （1）求 的最小值 （2）证明： ． 【答案】（1）3； （2）证明见解析． 【解析】（1）因为 ， ， 所以 ,即 ， 当且仅当 时等号成立，此时 取得最小值 3． （2） ． 16．已知函数 的图象的对称轴为 1x  . （1）求不等式 的解集； （2）若函数  f x 的最小值为 M ，正数 a ， b 满足 a b M  ，求证： 1 2 9 2 4a b   . 【答案】(1) (2)见解析 17．已知函数 的定义域为 R ； （1）求实数 m 的取值范围； （2）设实数t 为 m 的最大值，若实数 a ， b ， c 满足 ，求 的最 小值. 【答案】（1） 3m   ；（2） 3 5 18． 已知函数 的最小值为 m ． （1）求 m 的值； （2）若 0a  ， 0b  ， a b m  ，求证 1 4 9 4a b   ． 【答案】（1） 4m  （2）见解析 【解析】（1） ，取等号时， ，即 3 1x   ，故 m=4． （2）由（1）a+b=4，所以 ． 因为 ，取等号时， 4 a b b a  ，因为 a+b=4，所以 a= 4 3 ， 8 3b  ．故 1 4 9 4a b   ． 19． （1）已知函数 .若  0,3x 时，   4f x  ，求实数 a 的取值范围； （2）已知 , ,a b c R ，且 1a b c   ，求证： . 【答案】(1）[－7，7]（2）见解析 【解析】、（1）当  0,3x 时，   4f x  即 ，由此 在 0,3 上恒成立， 故得 7a   且 2 7a x  ．当  0,3x 时， 2 7x  的最小值为 7 ，所以 a 的取值范围是 7,7 ． （ 2 ） 因 为 ， 所 以 ， 所 以 ，故 . 20． 已知函数 f(x)=x+2,g(x)=2-2x, （Ⅰ）若 ，且 恒成立，求实数 的取值范围； （Ⅱ）若 ，求 的最大值． 【答案】(1) ;(2) . 21．已知函数 . （1）解不等式 ； （2）记函数 的最小值为 ，若 ， ，均为正实数，且 ，求 的最小值. 【答案】(1) （2） 22．选修 4-5：不等式选讲 （1）已知 ， 都是正实数，且 ，求 的最小值； （2） ， ，求 . 【答案】(1) ;(2)见解析. 【解析】（1）由柯西不等式得 ，当且仅当 时取等号； ∴ ，∴ 的最小值为 . （2） . 23． 已知函数 ． （Ⅰ）若 ，且 恒成立，求实数 的取值范围； （Ⅱ）若 ，求 的最大值． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 24． 已知函数 的最小值为 （ ， ，为正数）. （1）求 的最小值； （2）求证： . 【答案】（1）36；（2）见解析. 【解析】（1）∵ （当且仅当 时取等号）， 由题意，得 . 根据柯西不等式，可知 ， ∴ . ∴ 的最小值为 36. （2）∵ ， ， ， ∴ ， ∴ . 25．已知 a，b，c 均为正数，且 a＋b＋c＝1，则 的最大值为________． 【答案】