高中数学人教版选修1-2：考前过关训练（二）word版含答案

高中数学人教版选修1-2：考前过关训练（二）word版含答案

温馨提示： 此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 考前过关训练(二) 推理与证明 (30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.若有一段演绎推理:“大前提:对任意实数 a,都有 =a.小前提:已知 a=-2 为实数, 结论: =-2.这个结论显然是错误的,这是因为 ( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 【解析】选 A.因为 n 为偶数时,若 有意义,则 a≥0.故大前提错误. 2.(2016·济宁高二检测)如果命题 P(n)对 n=k 成立,则它对 n=k+1 也成立,现已知 P(n)对 n=4 不成立,则下列结论正确的是 ( ) A.P(n)对 n∈N*成立 B.P(n)对 n>4 且 n∈N*成立 C.P(n)对 n=5 成立 D.P(n)对 n=3 不成立 【解析】选 D.因为 P(n)对 n=4 不成立,所以 A 错误.无法判断 n>4 时,P(n)是否成立. 假设 P(n)对 n=3 成立,则根据推理关系,得 P(n)对 n=4 成立,与条件 P(n)对 n=4 不成立矛盾. 所以假设不成立. 3.证明命题:“f(x)=ex+ 在(0,+∞)上是增函数”,现给出的证法如下: 因为 f(x)=ex+ ,所以 f′(x)=ex- . 这因为 x>0,所以 ex>1,0< <1,所以 ex- >0,即 f′(x)>0, 所以 f(x)在(0,+∞)上是增函数,此处使用的证明方法是 ( ) A.综合法 B.分析法 C.反证法 D.以上都不是 【解析】选 A.本证明是从已知条件出发用已知定理证得结论,是综合法. 4.已知 c>1,a= - ,b= - ,则正确的结论是 ( ) A.a>b B.a1,所以 a>0,b>0, 又 a= - = , b= - = , 因为 + > + 所以 < 所以 ab>0)上斜率为 1 的弦的中点在直线 + =0 上, 类比上述结论可推出:双曲线 - =1(a>0,b>0)上斜率为 1 的弦中点在直线________上. 【解析】结合椭圆、双曲线方程结构特征可知,斜率为 1 的弦中点应在直线 - =0 上. 答案: - =0 8.对奇数列 1,3,5,7,9,…,进行如下分组:第一组含一个数{1};第二组含两个数{3,5};第三 组含三个数{7,9,11};第四组含四个数{13,15,17,19};…试观察猜想每组内各数之和 f(n)(n∈N*)与组的编号数 n 的关系式为____________. 【解析】由于 1=13,3+5=8=23,7+9+11=27=33,13+15+17+19=64=43,…,猜想第 n 组内各数之和 f(n)与组的编号数 n 的关系式为 f(n)=n3. 答案:f(n)=n3 9.(2016·天津高二检测)如图所示是一个有 n 层(n≥2,n∈N*)的六边形点阵,它的中心是一 个点,算作第 1 层,第 2 层每边有 2 个点,第 3 层每边有 3 个点,…,第 n 层每边有 n 个点,则这 个点阵共有________个点. 【解析】设第 n 层共有 an 个点,结合图形可知 a1=1,a2=6,…,an+1=an+6(n≥2, n ∈ N*), 则 an=6+(n-2) × 6=6n-6(n ≥ 2,n ∈ N*), 前 n 层 所 有 点 数 之 和 为 Sn=1+ =3n2-3n+1,故这个点阵共有 3n2-3n+1 个点. 答案:3n2-3n+1 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.已知 a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证:a>0,b>0,c>0. 【证明】假设 a,b,c 中至少有一个不大于 0,不妨设 a≤0,若 a<0,则由 abc>0,得 bc<0,由 a+b+c>0 得,b+c>-a>0, 所以 ab+bc+ac=a(b+c)+bc<0,这与已知 ab+bc+ac>0 矛盾. 又若 a=0,则 abc=0 与 abc>0 矛盾. “a≤0”不成立,所以 a>0,同理可证 b>0,c>0. 11.(2016·安庆高二检测)设 f(x)= ,g(x)= (其中 a>0,且 a≠1). (1)5=2+3 请你推测 g(5)能否用 f(2),f(3),g(2),g(3)来表示. (2)如果(1)中获得了一个结论,请你推测能否将其推广. 【解析】(1)由 f(3)g(2)+g(3)f(2)= · + · = , 又 g(5)= , 因此 g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2). (2)由 g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2), 即 g(2+3)=f(3)g(2)+g(3)f(2), 于是推测 g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y). 证明:因为 f(x)= ,g(x)= (大前提). 所以 g(x+y)= ,g(y)= , f(y)= ,(小前提及结论) 所以 f(x)g(y)+g(x)f(y)= · + · = =g(x+y). 【补偿训练】1.如图(1),在三角形 ABC 中,AB⊥AC,若 AD⊥BC,则 AB2=BD·BC; 若类比该命题,如图(2),三棱锥 A-BCD 中, AD⊥面 ABC,若 A 点在三角形 BCD 所在平面内的射 影为 M,则有什么结论?命题是否是真命题. 图(1) 图(2) 【解析】命题是:三棱锥 A-BCD 中,AD⊥面 ABC,若 A 点在三角形 BCD 所在平面内的射影为 M, 则有 =S△BCM·S△BCD,是一个真命题. 证明如下: 在图中,连接 DM,并延长交 BC 于点 E,连接 AE,BM,CM,则有 DE⊥BC. 因为 AD⊥平面 ABC,所以 AD⊥AE. 又 AM⊥DE, 所以 AE2=EM·ED. 于是 = = · =S△BCM·S△BCD. 2.(2016 · 肥 城 高 二 检 测 ) 已 知 数 列 {an} 的 通 项 公 式 为 an= (n ∈ N*),f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an).试通过计算 f(1),f(2),f(3)的值,推测出 f(n)的值. 【解析】因为 an= , f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an), 所以 f(1)=1-a1=1- = , f(2)=(1-a1)(1-a2)=f(1)· = × = , f(3)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)=f(2) = × = , 由此猜测 f(n)= . 关闭 Word 文档返回原板块