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文档介绍
浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题 含解析
浙江省嘉兴市第一中学、湖州中学2019-2020学年第一学期高二期中联考数学试题 一、选择题(本大题共10小题,共40.0分) 1. 若直线经过A(1,0),B(4,)两点,则直线AB的倾斜角为( ) A. B. C. D. 2. 如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系一定是( ) A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. 垂直相交 3. 如图,扇形OAB的圆心角为90°,半径为1,则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积为( ) A. B. C. D. 4. 已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A. 若,,则 B. 若,,则 C. 若,,且,,则 D. 若,,且,则 5. 如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中直线AB与CD的位置关系为( ) A. 相交 B. 平行 C. 异面而且垂直 D. 异面但不垂直 6. 已知圆O1:x2+y2=1与圆O2:(x-3)2+(x+4)2=16,则圆O1与圆O2的位置关系为( ) A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 相离 7. 若实数x,y满足x2+y2-2x-2y+1=0,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 8. 已知点P是直线l:3x+4y-7=0上的动点,过点P引圆C:(x+1)2+y2=r2(r>0)的两条切线PM,PN,M,N为切点,当∠MPN的最大值为时,则r的值为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9. 对于直角坐标平面内任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),定义它们之间的一种“新距离”:||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|.给出下列三个命题: ①若点C在线段AB上.则∥AC∥+∥BC∥=∥AB∥; ②在△ABC中,若∠C=90°,则∥AC∥2+∥BC∥2=∥AB∥2; ③在△ABC中,∥AC∥+∥BC∥>∥AB∥. 其中的真命题为( ) A. B. C. D. 1. 如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,线段AD,BD的中点分别为E,F.现将△ABD沿对角线BD翻折,使二面角A-BD-C的在大小为120°,则异面直线图BE与CF所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共7小题,共36.0分) 2. 在直观图(如图)中,四边形为O′A′B′C′菱形且边长为2cm,则在xOy坐标系中,四边形ABCO周长为______cm,面积为______cm2. 3. 如图所示为某几何体的三视图,则该几何体最长棱的长度为______,体积为______. 4. 直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-4k+m=0的两根,若l1⊥l2,则m=______;若l1∥l2,则m=______. 5. 如果平面直角坐标系中的两点A(a-1,a+1),B(a,a)关于直线L对称,那么直线L的 方程为______. 6. 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N,E,F分别是A1B1,AD,B1C1,C1D1的中点,则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为______,CE和该截面所成角的正弦值为______. 7. 已知实数x、y满足x2+(y-2)2=1,则的取值范围是______. 8. 四面体A-BCD的四个顶点都在球O的球面上,AB⊥平面BCD,△BCD是等边三角形.若侧面△ABD的面积为1,则球O的表面积的最小值为______. 三、解答题(本大题共5小题,共74.0分) 9. 已知圆台侧面的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍. (1)求圆台两底面的半径; (2 )如图,点B为下底面圆周上的点,且∠AOB=120°,求A'B与平面AOO'A'所成角的正弦值. 1. 如图,在三棱锥P-ABC中,E,F分别为AC,BC的中点. (1)求证:EF∥平面PAB; (2)若平面PAC⊥平面ABC,且PA=PC,∠ABC=90°,求证:平面PEF⊥平面PBC. 2. 已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过M点的圆的切线方程; (2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值; (3)若直线ax-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为,求a的值. 3. 如图(1),边长为2的正方形ABEF中,D,C分别为EF,AF上的点,且ED=CF,现沿DC把△CDF剪切、拼接成如图(2)的图形,再将△BEC,△CDF,△ABD沿BC,CD,BD折起,使EFA三点重合于点A'. (1)求证:BA'⊥CD; (2)求二面角B-CD-A'的正切值的最小值. 1. 如图,圆C与x轴相切于点T(2,0),与y轴的正半轴相交于A,B两点(A在B的上方),且AB=3. (1)求圆C的方程; (2)直线BT上是否存在点P满足PA2+PB2+PT2=12,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由; (3)如果圆C上存在E,F两点,使得射线AB平分∠EAF,求证:直线EF的斜率为定值. 答案和解析 1.【答案】A 【解析】解:若直线经过两点,则直线的斜率等于=. 设直线的倾斜角等于θ,则有tanθ=. 再由 0≤θ<π可得θ=,即θ=30°, 故选:A. 先根据直线的斜率公式求出斜率,再根据倾斜角和斜率的关系,以及倾斜角的取值范围,求出倾斜角的值. 本题主要考查直线的斜率公式,倾斜角和斜率的关系,以及倾斜角的取值范围,已知三角函数值求角的大小,属于基础题. 2.【答案】C 【解析】解:在两个平面内分别有一条直线, 这两条直线互相平行, 当两个平面相交时,在这两个平面内存在直线,使得这两条直线互相平行. 当两个平面平行时,在这两个平面内存在直线,使得这两条直线互相平行. 故这两个平面有可能相交或平行. ∴这两个平面的位置关系是相交或平行. 故选:C. 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 本题考查两个平面的位置关系的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养. 3.【答案】C 【解析】解:如图,扇形OAB的圆心角为90°,半径为1, 则该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体是半径为1的半球体, ∴该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积: S==3π. 故选:C. 该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体是半径为1的半球体,由此能求出该扇形绕OB所在直线旋转一周得到的几何体的表面积. 本题考查几何体的表面积的求法,考查旋转体、球的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 4.【答案】D 【解析】解:由m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,知: 在A中,若m∥α,n∥α,则m与n相交、平行或异面,故A错误; 在B中,若α⊥γ,β⊥γ,则α与β相交或平行,故B错误; 在C中,若m∥α,n∥α,且m⊂β,n⊂β,则α与β相交或平行,故C错误; 在D中,若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n,故D 正确. 故选:D. 在A中,m与n相交、平行或异面;在B中,α与β相交或平行;在C中,α与β相交或平行;在D中,由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n. 本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,是中档题. 5.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查立体几何中的空间中直线与直线的位置关系,考查异面直线的概念,异面直线所成角的概念及求法,以及由正方体的平面展开图可以画出它对应的直观图,属于基础题. 根据该正方体的平面展开图画出对应的直观图,即可判断AB,CD的位置关系,并求得所成的角. 【解答】 解:由该正方体的平面展开图画出它的直观图为: 可以看出AB与CD异面; 如图,设该正方体一顶点为E,连接CE,DE,则AB∥CE; ∴∠DCE为异面直线AB,CD的夹角,并且该角为60°; ∴AB,CD异面但不垂直. 故选D. 6.【答案】A 【解析】解:圆O1的圆心为O(0,0),半径等于1,圆O2的圆心为(3,-4),半径等于4, 它们的圆心距等于=5,等于半径之和, 故两个圆相外切, 故选:A. 先求出两个圆的圆心和半径,再根据它们的圆心距等于半径之和,可得两圆相外切. 本题主要考查圆的标准方程,圆和圆的位置关系的判定方法,属于中档题. 7.【答案】B 【解析】解:令=t,即tx-y-2t+4=0,表示一条直线;又方程x2+y2-2x-2y+1=0可化为(x-1)2+(y-1)2=1,表示圆心为(1,1),半径1的圆; 由题意直线与圆有公共点,∴圆心(1,1)到直线tx-y-2t+4=0的距离d=≤1, ∴t≥,即的取值范围为[,+∞). 故选B. 已知等式变形后得到圆方程,找出圆心与半径,求出圆心(1,1)到直线tx-y-2t+4=0 的距离d=≤1, 即可得出所求式子的范围. 此题考查了直线与圆的位置关系,利用了数形结合的思想,熟练运用数形结合思想是解本题的关键. 8.【答案】D 【解析】解:因为点P在直线l:3x+4y-7=0上,连接PC,当PC⊥l时,∠MPN最大, 由题意知,此时∠MPN=,所以∠CPM=,所以|PC|=2r,又因为C到l的距离d=2,所以r=1, 故选:D. 因为点P在直线l:3x+4y-7=0上,连接PC,当PC⊥l时,∠MPN最大,再利用点到直线的距离公式可得. 本题考查了直线与圆的位置关系,属中档题. 9.【答案】C 【解析】解:①若点C在线段AB上,设点C(x0,y0),那么x0在x1,x2之间.y0在y1,y2之间, ∴||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||,故①正确; ②平方后不能消除x0,y0,命题不成立,故②不正确; ③在△ABC中,||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|≥|x0-x1+y0-y1+x2-x0+y2-y0|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||,故③不正确. 故选:C. 首先分析题目任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),定义它们之间的一种“距离”:||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|, 对于①若点C在线段AB上,设C点坐标为(x0,y0)然后代入验证显然|AC||+||CB||=||AB||成立.成立故正确. 对于②在△ABC中,若∠C=90°,则||AC||2+||CB||2=||AB||2;是几何距离而非题目定义的距离,明显不成立, 对于③在△ABC中,用坐标表示||AC||+||CB||然后根据绝对值不等式可得到大于等于||AB||.不成立,故可得到答案. 本题主要考查新定义的问题,对于此类型的题目需要认真分析题目的定义再求解,切记不可脱离题目要求.属于中档题目. 10.【答案】C 【解析】解:如图,取ED中点M连接FM,AF,设菱形ABCD的边长为4,因为∠BAD=60°,∴AF⊥BD,CF⊥BD,则∠MFC(或补角)为BE与CF所成角. ∴AF=BE=CF=2, 在△AFC中,∠AFC=120°,可得AC=2×=6, 在△ACD中,cos∠ADC=. 在△DMC中,CD==3. 在△MFC中,cos∠MFC==. 故选:C. 取ED中点M连接FM,AF,设菱形ABCD的边长为4,可得∠MFC(或补角)为BE 与CF所成角.在△MFC中,cos∠MFC=即可. 本题考查了空间线线角的求法,考查了计算能力,属于中档题. 11.【答案】12 8 【解析】解:在直观图中,四边形为O′A′B′C′菱形且边长为2cm, ∴由斜二测法的规则得: 在xOy坐标系中,四边形ABCO是矩形, 其中OA=2cm,OC=4cm, ∴四边形ABCO的周长为:2×(2+4) =12(cm), 面积为S=2×4=8(cm2). 故答案为:12,8. 由斜二测法的规则得:在xOy坐标系中,四边形ABCO是矩形,其中OA=2cm,OC=4cm,由此能求出四边形ABCO的周长和面积. 本题考查四边形的周长和面积的求法,考查斜二测法等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题. 12.【答案】 【解析】解:由三视图还原原几何体如图, 该几何体为四棱锥,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD, 且PA=AB=2, 则该几何体最长棱的长度为; 体积为V=. 故答案为:;. 由三视图还原原几何体,该几何体为四棱锥,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=2,则四棱锥的最长棱长与体积可求. 本题考查由三视图求面积、体积,关键是由三视图还原原几何体,是中档题. 13.【答案】-2 2 【解析】解:直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-4k+m=0的两根, ∴k1+k2=2,k1k2=. ①若l1⊥l2,∴k1k2==-1,解得m=-2. ②若l1∥l2,则k1=k2,又k1+k2=2,k1k2=. 联立解得m=2. 故答案为:-2,2. 直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-4k+m=0的两根,利用根与系数的关系可得:k1+k2=2,k1k2=.再利用根据相互垂直、平行与斜率之间的关系即可得出. 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、相互垂直及平行与斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 14.【答案】x-y+1=0 【解析】解:∵kAB==-1,线段AB的中点为,两点A(a-1,a+1),B(a,a)关于直线L对称, ∴kL=1,其准线方程为:y-=x-, 化为:x-y+1=0. 故答案为:x-y+1=0. 利用垂直平分线的性质即可得出. 本题考查了垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 15.【答案】2 【解析】解:取A1D1中点G,BC中点P,CD中点H,连结GM、GN、MN、PE、PH、PF, ∵MG∥EF,NG∥EP,MG∩NG=G,EF∩EP=E, ∴平面MNG∥平面PEFH, ∴过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面为PEFH, ∵PE=2,EF==,四边形PEFH是矩形, ∴过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为: S矩形PEFH=2. 以D1为原点,D1A1为x轴,D1C1为y轴,D1D为z轴,建立空间直角坐标系, E(1,2,0),F(0,1,0),H(0,1,2),C(0,2,2), =(-1,0,2),=(-1,-1,0),=(-1,-1,2), 设平面EFHP的法向量=(x,y,z), 则,取x=1,得=(1,-1,0), 设CE和该截面所成角为θ, 则sinθ===. ∴CE和该截面所成角的正弦值为. 故答案为:2,. 取A1D1中点G,BC中点P,CD中点H,连结GM、GN、MN、PE、PH、PF,推导出平面MNG∥平面PEFH,过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面为PEFH,由此能求出过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积;以D1为原点,D1A1为x 轴,D1C1为y轴,D1D为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出CE和该截面所成角的正弦值. 本题考查截面面积的求法,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题. 16.【答案】[0,] 【解析】解:P(x,y)为圆x2+(y-2)2=1上的任意一点,则P到直线x+y=0的距离PM==x+, ∴==sin∠POM, 设圆x2+(y-2)2=1与直线y=kx相切,则=1,解得k=±, ∴∠POM的最小值为0°,最大值为60°, ∴0≤sin∠POM≤, 故答案为:[0,]. 构造直线x+=0,过圆上一点P作直线的垂线PM,则==sin∠POM,求出∠POM的范围即可得到答案. 本题考查了直线与圆的位置关系,属难题. 17.【答案】 【解析】解:取CD的中点E,连结AE,BE,∵在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD, 设△BCD是边长为a的等边三角形.AB•BD=2,即AB=, ∴Rt△ABC≌Rt△ABD,△ACD是等腰三角形, △BCD的中心为G,作OG∥AB交AB的中垂线HO于O,O为外接球的中心, BE=,BG=, R==.(当且仅当a2=时取等号). 四面体ABCD外接球O的表面积为S=4πR2=4π×=. 故答案为: 取CD的中点E,连结AE,BE,作出外接球的球心,设△BCD是边长为a的等边三角形,可得AB= △BCD的中心为G,作OG∥AB交AB的中垂线HO于O,O为外接球的中心, R==.(当且仅当a2=时取等号),即可求出表面积最小值. 本题考查球的内接体知识,考查空间想象能力,确定球的切线与半径是解题的关键. 18.【答案】解:(1)如图所示,设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r,且∠ASO=30°. 在Rt△SO′A′中,=sin30°,∴SA′=2r . 在Rt△SOA中,,∴SA=4r. ∴SA-SA′=AA′,即4r-2r=2a,r=a. 故圆台上底面半径为a,下底面半径为2a. (2)过点B作BH⊥AO于点H,连接A′H, ∵O′O⊥面AOB,∴O′O⊥BH,∴BH⊥面AOO′A′, ∴∠BA′H为A′B与平面AOO′A′所成的角, ∵∠AOB=120°,OB=2a,∴OH=a,BH=,A′H=,A′B=a, ∴sin∠BA′H==, ∴A'B与平面AOO'A'所成角的正弦值为. 【解析】(1)设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r,且∠ASO=30°.推导出SA′=2r.SA=4r.从而r=a.由此能求出圆台上底面半径和下底面半径. (2)过点B作BH⊥AO于点H,连接A′H,推导出O′O⊥BH,BH⊥面AOO′A′,从而∠BA′H为A′B与平面AOO′A′所成的角,由此能求出A'B与平面AOO'A'所成角的正弦值. 本题考查圆台两底面的半径、线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题. 19.【答案】证明:(1)∵E,F分别是AC,BC的中点,∴EF∥AB. 又EF⊄平面PAB, AB⊂平面PAB, ∴EF∥平面PAB. (2)在三角形PAC中,∵PA=PC,E为AC中点, ∴PE⊥AC. ∵平面PAC⊥平面ABC, 平面PAC∩平面ABC=AC, ∴PE⊥平面ABC. ∴PE⊥BC. 又EF∥AB,∠ABC=90°, ∴EF⊥BC, 又EF∩PE=E, ∴BC⊥平面PEF. ∴平面PEF⊥平面PBC. 【解析】本题考查直线与平面平行的判定定理,平面与平面垂直的性质定理,考查空间想象能力,逻辑推理能力. (1)利用E,F分别是AC,BC的中点,说明EF∥AB,通过直线与平面平行的判定定理直接证明EF∥平面PAB. (2)证明PE⊥AC,利用平面与平面垂直的判定定理证明PE⊥平面ABC,通过证明PE⊥BC.EF⊥BC,EF∩PE=E,证明BC⊥平面PEF,然后推出平面PEF⊥平面PBC. 20.【答案】解:(1)∵点M(3,1)到圆心(1,2)的距离d==>2=圆半径r, ∴点M在圆(x-1)2+(y-2)2=4外, ∴当x=3时满足与M相切, 当斜率存在时设为y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0, 由,∴k=. ∴所求的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.(5分) (2)由ax-y+4=0与圆相切, 知=2,(7分) 解得a=0或a=.(9 分) (3)圆心到直线的距离d=,(10分) 又l=2,r=2, ∴由r2=d2+()2,解得a=-.(12分) 【解析】(1)点M(3,1)在圆(x-1)2+(y-2)2=4外,故当x=3时满足与M相切,由此能求出切线方程. (2)由ax-y+4=0与圆相切知=2,由此能求出a. (3)圆心到直线的距离d=,l=2,r=2,由r2=d2+()2,能求出a. 本题考查圆的切线方程的求法和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意点到直线的距离、两点间距离等知识点的合理运用. 21.【答案】解:(1)证明:折叠前,BE⊥EC,BA⊥AD, 折叠后BA'⊥A'C,BA'⊥A'D 又A'C∩A'D=A',所以BA'⊥平面A'CD, 因此BA'⊥CD. (2)作A′E⊥CD交CD于点E,连结BE. ∵BA'⊥CD. ∴∠A'EB为二面角B-CD-A'的平面角. 令A'C=a,A'D=b,a+b=2 易得图3中,CA′⊥A′D ∴ ∴二面角B-CD-A'的正切值的最小值为2. 【解析】(1)可得折叠后BA'⊥A'C,BA'⊥A'D,即可证明BA'⊥CD. (2)作A′E⊥CD交CD于点E,连结BE.可得∠A'EB为二面角B-CD-A'的平面角.令A'C=a,A'D=b,a+b=2,易得图3中,tanθ=2,利用a+b=2即可求解. 本题考查了空间线线垂直判定,二面角的大小求解,考查了计算能力,属于中档题, 22.【答案】解:(1)由题知,圆心C到直线AB的距离为2,则圆C的半径为r==. 因为圆C与x轴相切于点T(2,0),所以圆心C的坐标为C(2,), 故圆C的方程为. (2)因为圆C的方程为,所以A(0,4),B(0,1). 设P(x,y),则由PA2+PB2+PC2=12得 x2+(y-1)2+x2+(y-4)2+(x-2)2+y2=12, 化简得, 所以点P在以()为圆心,为半径的圆上, 又因为B(0,1),T(2,0),所以得直线BT的方程为x+2y-2=0. 圆心()到直线x+2y-2=0的距离d=, 即直线x+2y-2=0与圆相离, 所以直线BT上不存在点P满足PA2+PB2+PC2=12. (3)因为圆C上存在E、F两点,使得射线AB平分∠EAF, 所以∠EAB=∠FAB,得到直线AE斜率和直线AF斜率互为相反数. 设直线AE斜率为k且k≠0,则直线AE的方程为y=kx+4,联立得 , 消去x化简得(k2+1)x2+(3k-4)x=0, 解得x=0或x=, 所以E(), 用-k替换点E坐标中的k得F(), 由k≠0得xE≠xF, 则kEF== , 所以直线EF的斜率为定值. 【解析】(1)由圆心C到直线AB的距离为2,则圆C的半径为r==.因为圆C与x轴相切于点T(2,0),所以圆心C的坐标为C(2,),继而写出方程即可; (2)用反证法,假设P点存在,根据已知推出矛盾即可; (3)因为圆C上存在E、F两点,使得射线AB平分∠EAF,所以∠EAB=∠FAB,得到直线AE斜率和直线AF斜率互为相反数.设直线AE斜率为k且k≠0,则直线AE的方程为y=kx+4,联立得,解得E点坐标,根据对称写出F点坐标,继而可得EF的斜率. 本题考查了直线与圆的关系,涉及了直线的斜率公式,点到直线的距离公式,对称知识等,属于综合性题目,难度中等. 查看更多