2020年高中数学第四章问题探索——求作抛物线的切线

2020年高中数学第四章问题探索——求作抛物线的切线

‎4．1.2　问题探索——求作抛物线的切线 一、基础达标 ‎1．已知曲线y＝2x2上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于 ‎(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6＋6d＋2d2 D．6‎ 答案　B ‎2．已知曲线y＝x2－2上的一点P(1，－)，则过点P的切线的倾斜角为 ‎(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．135° D．165°‎ 答案　B ‎3．如果曲线y＝2x2＋x＋10的一条切线与直线y＝5x＋3平行，则切点坐标为 ‎(　　)‎ A．(－1，－8) B．(1,13)‎ C．(1,12)或(－1,8) D．(1,7)或(－1，－1)‎ 答案　B ‎4．曲线y＝在点P(3,1)处的切线斜率为 ‎(　　)‎ A．－ B．‎0 ‎‎ C. D．1‎ 答案　C 解析　 ‎＝＝.‎ 当Δx→0时，→.‎ ‎5．若曲线y＝x2＋1在曲线上某点处的斜率为2，则曲线上该切点的坐标为________．‎ 答案　(1,2)‎ ‎6．曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线方程为________．‎ 答案　2x－y＋1＝0‎ 3‎ 解析　＝Δx＋2，‎ 当Δx→0时，Δx＋2→2.‎ 所以曲线y＝x2＋2在点P(1,3)处的切线斜率为2，其方程为y－3＝2(x－1)．‎ 即为2x－y＋1＝0.‎ ‎7．抛物线y＝x2在点P处的切线与直线2x－y＋4＝0平行，求点P的坐标及切线方程．‎ 解　设点P(x0，y0)，‎ ＝＝d＋2x0，‎ d→0时，d＋2x0→2x0.‎ 抛物线在点P处的切线的斜率为2x0，‎ 由于切线平行于2x－y＋4＝0，∴2x0＝2，x0＝1，‎ 即P点坐标为(1,1)，‎ 切线方程为y－1＝2(x－1)，即为2x－y－1＝0.‎ 二、能力提升 ‎8．曲线y＝－在点(1，－1)处的切线方程为 ‎(　　)‎ A．y＝x－2 B．y＝x C．y＝x＋2 D．y＝－x－2‎ 答案　A 解析　＝＝，‎ 当Δx→0时，→1.‎ 曲线y＝－在点(1，－1)处的切线的斜率为1，切线方程为y＋1＝1×(x－1)，即y＝x－2.‎ ‎9．曲线f(x)＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率为________．‎ 答案　7‎ 解析　 ‎＝＝Δx＋7，‎ 当Δx→0时，Δx＋7→7，‎ 所以，f(x)在A处的切线的斜率为7.‎ 3‎ ‎10．曲线f(x)＝x2＋3x在点A处的切线的斜率为7，则A点坐标为________．‎ 答案　(2,10)‎ 解析　设A点坐标为(x0，x＋3x0)，‎ 则 ‎＝ ‎＝Δx＋(2x0＋3)，‎ 当Δx→0时，Δx＋(2x0＋3)→2x0＋3，‎ ‎∴2x0＋3＝7，∴x0＝2.‎ x＋3x0＝10.A点坐标为(2,10)．‎ ‎11．已知抛物线y＝x2＋1，求过点P(0,0)的曲线的切线方程．‎ 解　设抛物线过点P的切线的切点为Q(x0，x＋1)．‎ 则＝Δx＋2x0.‎ Δx→0时，Δx＋2x0→2x0.‎ ‎∴＝2x0，∴x0＝1或x0＝－1.‎ 即切点为(1,2)或(－1,2)．‎ 所以，过P(0,0)的切线方程为y＝2x或y＝－2x.即2x－y＝0或2x＋y＝0.‎ 三、探究与创新 ‎12．直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，求切点的坐标及a的值．‎ 解　设切点A(x0，y0)，‎ ‎＝ ‎＝3x－2x0＋(3x0－1)d＋d2→3x－2x0(d→0)．‎ 故曲线上点A处切线斜率为3x－2x0，∴3x－2x0＝1，‎ ‎∴x0＝1或x0＝－，代入C的方程得 或代入直线l，‎ 当时，a＝0(舍去)，当时，a＝，‎ 即切点坐标为(－，)，a＝.‎ 3‎