高中数学必修2全册同步检测：2-3-3

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‎2-3-3‎直线与平面垂直的性质 一、选择题 ‎1．如果直线l与平面α不垂直，那么在平面α内(　　)‎ A．不存在与l垂直的直线 B．存在一条与l垂直的直线 C．存在无数条与l垂直的直线 D．任意一条都与l垂直 ‎2．过一点和已知平面垂直的直线条数为(　　)‎ A．1条　　　　　　　　 B．2条 C．无数条 D．不能确定 ‎3．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面(　　)‎ A．有且只有一个 B．可能存在也可能不存在 C．有无数多个 D．一定不存在 ‎4．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是(　　)‎ A．平行　 　B．垂直　 　C．斜交　 　D．不能确定 ‎5．若a、b表示直线，α表示平面，‎ ‎①a⊥α，a⊥b，则b∥α；‎ ‎②a∥α，a⊥b，则b⊥α；‎ ‎③a∥α，b⊥α，则b⊥a；‎ ‎④a⊥α，b⊂α，则b⊥a.‎ 上述命题中正确的是(　　)‎ A．①②　 　B．②③　 　C．③④　 　D．②③④‎ ‎6．已知三条直线m、n、l，三个平面α、β、γ，下面四个命题中，正确的是(　　)‎ A.⇒α∥β　　　 B.⇒l⊥β C.⇒m∥n D.⇒α∥β ‎7．(2011－2012·杭州高二检测)如下图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的(　　)‎ A．AC⊥β B．AC⊥EF C．AC与BD在β内的射影在同一条直线上 D．AC与α、β所成的角相等 ‎8．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中真命题的是(　　)‎ ‎①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；‎ ‎②若a⊥α，a⊂β，则α⊥β；‎ ‎③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；‎ ‎④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n.‎ A．①和② B．②和③‎ C．③和④ D．①和④‎ ‎9．如下图所示，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，若E是A‎1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)‎ A．AC B．BD C．A1D D．A1D1‎ ‎10．如图，正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是(　　)‎ A．线段B‎1C B．线段BC1‎ C．BB1中点与CC1中点连成的线段 D．BC中点与B‎1C1中点连成的线段 二、填空题 ‎11．已知直线m⊂平面α，直线n⊂平面α，m∩n＝M，直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b⊥n，则直线a，b的位置关系是________．‎ ‎12．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________.‎ ‎13．如图，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，EF∥PA，则图中直角三角形的个数是________．‎ ‎14．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．‎ 三、解答题 ‎15．如下图，正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.‎ ‎[分析]　转化为证明EF⊥平面AB‎1C，BD1⊥平面AB‎1C.‎ ‎16．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于E，l⊥平面PCD.求证：l∥AE.‎ ‎[分析]　转化为证明AE⊥平面PCD，进而转化为证明AE垂直于平面PCD内的两条相交直线PD和CD.‎ ‎17．(2011－2012·吉林高一检测)如下图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC中点，求证：平面DMN∥平面ABC.‎ ‎18．如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点．‎ ‎(1)求证：MN⊥AB；‎ ‎(2)若PA＝AD，求证：MN⊥平面PCD.‎ 详解答案 ‎1[答案]　C ‎[解析]　若l⊂α，显然在α内存在无数条直线与l垂直；若l∥α，过l作平面β∩α＝l′，则l∥l′，‎ ‎∵在α内存在无数条直线与l′垂直，从而在α内存在无数条直线与l垂直；‎ 若l与α斜交，设交点为A，在l上任取一点P，‎ 过P作PQ⊥α，垂足为Q，在α内存在无数条直线与AQ垂直，从而存在无数条直线与直线PA(即l)垂直．‎ ‎2[答案]　A ‎[解析]　已知：平面α和一点P.‎ 求证：过点P与α垂直的直线只有一条．‎ 证明：不论点P在平面α外或平面α内，设PA⊥α，垂足为A(或P)．如果过点P还有一条直线PB⊥α，设PA、PB确定的平面为β，且α∩β＝a，于是在平面β内过点P有两条直线PA、PB垂直于交线a，这是不可能的．所以过点P与α垂直的直线只有一条．‎ ‎3[答案]　B ‎[解析]　当a⊥b时，有且只有一个．‎ 当a与b不垂直时，不存在．‎ ‎4[答案]　B ‎[解析]　设a，b为异面直线，a∥平面α，b∥α，直线l⊥a，l⊥b.‎ 过a作平面β∩α＝a′，则a∥a′，∴l⊥a′.‎ 同理过b作平面γ∩α＝b′，则l⊥b′，‎ ‎∵a，b异面，∴a′与b′相交，∴l⊥α.‎ ‎5[答案]　C ‎[解析]　①b∥α或b⊂α　②b⊥α或b∥α或b⊂α　③、④正确，‎ ‎∴选C.‎ ‎6[答案]　D ‎[解析]　对于A，α与β可以平行，也可以相交；对于B，l与β可以垂直，也可以斜交或平行；对于C，m与n可以平行，可以相交，也可以异面．‎ ‎7[答案]　D ‎8[答案]　B ‎[解析]　①中，直线m垂直于平面α内的一条直线n，则直线m与平面α不一定垂直，所以①不是真命题；②是平面与平面垂直的判定定理，所以②是真命题．‎ ‎9[答案]　B ‎[解析]　易得BD⊥面ACC‎1A1，又CE⊂面ACC‎1A1，‎ ‎∴CE⊥BD.‎ ‎10[答案]　A ‎[解析]　∵DD1⊥平面ABCD，∴D1D⊥AC，‎ 又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1，‎ ‎∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B‎1C.‎ 又∵B‎1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB‎1C.‎ 而AP⊥BD1，∴AP⊂平面AB‎1C.‎ 又P∈平面BB‎1C1C，∴P点轨迹为平面AB‎1C与平面BB‎1C1C的交线B‎1C.故选A.‎ ‎11[答案]　平行 ‎[解析]　由于直线a垂直于平面α内的两条相交直线m，n，则a⊥α.同理，b⊥α，则a∥b.‎ ‎12[答案]　6‎ ‎[解析]　∵AF⊥平面AC，DE⊥平面AC，∴AF∥DE.‎ 又∵AF＝DE，∴四边形ADEF是平行四边形．‎ ‎∴EF＝AD＝6.‎ ‎13[答案]　6‎ ‎[解析]　由PA⊥平面ABC，得PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，‎ 又∵BC⊥AC，AC∩PA＝A，‎ ‎∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.‎ ‎∵EF∥PA，PA⊥平面ABC，‎ ‎∴EF⊥平面ABC，‎ ‎∴EF⊥BE，EF⊥EC.‎ ‎∴△PAB，△PAC，△ABC，△PBC，△EFC，△BEF均为直角三角形．‎ ‎14[答案]　4‎ ‎[解析]　如图设AB中点为M，分别过A、M、B向α作垂线，垂足为A1、M1、B1，则由线面垂直的性质可知．‎ AA1∥MM1∥BB1，‎ 四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，‎ BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.‎ ‎15[证明]　连接AB1，B‎1C，BD，B1D1，如图所示．‎ ‎∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，‎ ‎∴DD1⊥AC.‎ 又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，‎ ‎∴AC⊥平面BDD1B1.‎ ‎∴AC⊥BD1，‎ 同理BD1⊥B‎1C，又AC∩B‎1C＝C，‎ ‎∴BD1⊥平面AB‎1C.‎ ‎∵EF⊥A1D，且A1D∥B‎1C，‎ ‎∴EF⊥B‎1C.又∵EF⊥AC，AC∩B‎1C＝C，‎ ‎∴EF⊥平面AB‎1C.∴EF∥BD1.‎ ‎[点评]　当题中垂直条件很多，但又需证两直线的平行关系时，就要考虑直线与平面垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．‎ ‎16[证明]　∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥CD.‎ 又四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，‎ ‎∴CD⊥平面PAD.‎ 又AE⊂平面PAD，∴AE⊥DC.‎ 又AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.‎ 又l⊥平面PCD，∴l∥AE.‎ ‎17[证明]　∵M、N分别是EA与EC的中点，‎ ‎∴MN∥AC，‎ AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，‎ ‎∴MN∥平面ABC，‎ ‎∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，‎ ‎∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，‎ ‎∵N为EC中点，EC＝2BD，‎ ‎∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，‎ ‎∴DN∥BC，又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，‎ ‎∴DN∥平面ABC，‎ 又∵MN∩DN＝N，且MN、⊂平面DMN，DN⊂平面DMN，‎ ‎∴平面DMN∥平面ABC.‎ ‎18[证明]　(1)取CD的中点E，连接EM、EN，‎ 则CD⊥EM，且EN∥PD.‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，‎ 又AD⊥DC，PA∩AD＝A，‎ ‎∴CD⊥平面PAD，‎ ‎∴CD⊥PD，从而CD⊥EN.‎ 又EM∩EN＝E，∴CD⊥平面MNE.‎ 因此，MN⊥CD，而CD∥AB，‎ 故MN⊥AB.‎ ‎(2)在Rt△PAD中有PA＝AD，‎ 取PD的中点K，连接AK，KN，‎ 则KN=DC=AM，且AK⊥PD.‎ ‎∴四边形AMNK为平行四边形，从而MN∥AK.‎ 因此MN⊥PD.由(1)知MN⊥DC，又PD∩DC＝D，‎ ‎∴MN⊥平面PCD. ‎