高二数学上学期期中试题 理（含解析） (2)

高二数学上学期期中试题 理（含解析） (2)

- 1 - / 14 【2019 最新】精选高二数学上学期期中试题 理（含解析） (2) 理科数学 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 中，角的对边分别为，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】在△ABC 中， ， ∴则 ， ∴由正弦定理可得： 故选 C 2. 等比数列中，若，，则（ ） A. 64 B. -64 C. 32 D. -32 【答案】A 【解析】数列是等比数列，，， - 2 - / 14 即 解得 那么 故选 A． 3. 已知等差数列中，公差，，，则（ ） A. 5 或 7 B. 3 或 5 C. 7 或-1 D. 3 或-1 【答案】D 【解析】在等差数列中，公差，，，得 ，解得 或 ． 故选 D． 4. 中，，，,则（ ） A. 15 B. 9 C. -15 D. -9 【答案】B - 3 - / 14 .................. 故选 B． 5. 已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 12 【答案】B 【解析】把 配方得 得到顶点坐标为 ，即 由 成等比数列，则 ， 故选 B． 6. 已知等差数列的公差为整数，首项为 13，从第五项开始为负，则等 于（ ） A. -4 B. -3 C. -2 D. -1 【答案】A 【解析】在等差数列中，由 ，得 ，得 ， ∵公差 为整数， ． 故选 A． 7. 已知中，角的对边分别为，已知，，若三角形有两解，则边的取值 范围是（ ） A. B. C. D. - 4 - / 14 【答案】C 【解析】 ，要使三角形有两解，就是要使以 为圆心，半径为 2 的圆与 有两个交点， 当时，圆与相切； 当时交于点，也就是只有一解，，即 由正弦定理以及 ．可得： 的取值范围是 故选 C． 8. 中，角的对边分别为，已知，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 当 时，的形状是等腰三角形， 当 时，即 ，那么 ，的形状是直角三角形． 故选 C． 【点睛】本题考查正弦定理和三角形内角和定理的运用．解题的关键 是得到一定要注意分类讨论． 9. 已知中，，则（ ） - 5 - / 14 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据正弦定理 化简已知等式得： ，又 为三角形的内角， 则 ． 故选 D 【点睛】此题考查了正弦定理，以及余弦定理的运用，熟练掌握定理 是解本题的关键． 10. 《九章算术》中有“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等， 问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、 乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得 依次成等差数列，问五人各得多少钱？”这个问题中，甲所得为（ ） A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱 【答案】B 【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,解得,又 ,则,故选 B. 11. 设为等差数列，，公差，则使前项和取得最大值时正整数等于（ ） A. 4 或 5 B. 5 或 6 C. 6 或 7 D. 8 或 9 【答案】B - 6 - / 14 【解析】设等差数列{an}的首项为公差为 解得 a 或（舍去） 则 ， 故使前项和取最大值的正整数是 5 或 6． 故选 B． 12. 已知锐角中，角的对边分别为，若，，则的面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵，， ∴由题 为锐角，可得 ∵由正弦定理可得 ，可得： ， 为锐角，可得 ， - 7 - / 14 可得 故选 C． 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 在中，角的对边分别为，若，则此三角形面积为__________． 【答案】 【解析】 ， 故 ， 故三角形面积 故答案为 14. 数列的首项，，则__________． 【答案】-61 【解析】由题数列的首项，，则当时。 是以-1 为首项以 2 为公比的等比数列， 故答案为-61． - 8 - / 14 15. 已知等差数列，前项和分别为和，若，则=__________． 【答案】 【解析】 故答案为 16. 如图半圆的半径为 1，为直径延长线上一点，且，为半圆上任意一 点，以为一边作等边三角形，则四边形面积最大值为___________. 【答案】 【解析】设，在中，由余弦定理得： ， 所以四边形的面积为： ， ， ∴当 ，即 即时，四边形 面积取得最大值，最大为 故答案为：． 【点睛】本题考查了余弦定理以及三角函数的化简和求最大值问题． - 9 - / 14 其中利用余弦定理得到是解题的关键. 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.） 17. 在中，角的对边分别为，且满足. （1）求角； （2）若的面积，，求边. 【答案】(1)；(2)7. 【解析】试题分析：（1）根据 ．利用二倍角和诱导公式化简可得角． （2）根据 ，即可求解边的值． 试题解析：（1）∵解得或， ∵， ∴，∴. （2）∵，即， ∴，∴ ，解得. 18. 已知等比数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，若不等式，对一切恒成立，求实数的取值范 围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】试题分析：1）根据是等比数列，可得 *．可得，即可求解数 列的通项公式； - 10 - / 14 （2）根据等比数列的前项和公式求解 n，由于，分离参数，即可求解 实数的取值范围． 试题解析：（1）设等比数列公比为，∵，， ∴，，∴，∴，∴， ∴. （2）由（1）知，∴，即 对一切恒成立. 令，则随的增大而增大. ∴， ∴，∴实数的取值范围是. 【点睛】本题考查等比数列通项公式和前 n 项和的求解，其中根据分 离参数的表达式以及结合单调性求解范围是解决本题的关键． 19. 在等差数列中，，，其前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和，并证明. 【答案】（1）；（2），证明见解析. 【解析】试题分析：（1）设等差数列的首项为，公差为，由已知列出 关于首项和公差的方程组，求得，，代入等差数列的通项公式求解； （2）求出，可得，利用裂项相消法求和后即可证明． 试题解析：（1）设等差数列的公差为，则由及等差数列的通项公式， - 11 - / 14 得，又，解得，， 则； （2）由（1）知， 即 ， 则 . 所以. 20. 在锐角中，分别为角的对边，且. （1）确定角的大小； （2）当时，求周长的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】试题分析：（1）由正弦定理化简已知可求，结合范围 ，求得 ，结合范围 ，即可得解 的值． （2）根据正弦定理可得．，结合是锐角三角形，可求得周长的最大值 . 试题解析：（1）由及正弦定理得，. ∵，∴. ∵是锐角三角形，∴. （2）∵， ∴ . ∵是锐角三角形，∴， - 12 - / 14 故， 所以周长的最大值是. 21. 轮船从某港口将一些物品送到正航行的轮船上，在轮船出发时，轮 船位于港口北偏西且与相距 20 海里的处，并正以 30 海里的航速沿正 东方向匀速行驶，假设轮船沿直线方向以海里/小时的航速匀速行驶， 经过小时与轮船相遇. （1）若使相遇时轮船航距最短，则轮船的航行速度大小应为多少？ （2）假设轮船的最高航速只能达到 30 海里/小时，则轮船以多大速度 及什么航行方向才能在最短时间与轮船相遇，并说明理由. 【答案】（1）轮船以海里/小时的速度航行，相遇时轮船航距最短；（2 ）航向为北偏东，航速为 30 海里/小时，轮船能在最短时间与轮船相 遇. 【解析】试题分析：（1）设两轮船在处相遇，在 中，利用余弦定理得 出关于 t 的函数，从而得出的最小值及其对应的，得出速度； （2）利用余弦定理计算航行时间，得出 距离，从而得出 的度数，得 出航行方案． 试题解析：（1）设相遇时轮船航行的距离为海里，则 . ∴当时，，， 即轮船以海里/小时的速度航行，相遇时轮船航距最短. （2）设轮船与轮船在处相遇，则 ， - 13 - / 14 即. ∵， ∴，即，解得，又时， ∴时，最小且为，此时中， ∴航向为北偏东，航速为 30 海里/小时， 轮船能在最短时间与轮船相遇. 22. 已知数列及，且,. （1）求的值； （2）求数列的通项公式； （3）求证:. 【答案】（1），，；（2）；（3）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由已知条件利用函数的性质能求出 的值． （2）由已知条件推导出，由此能求出数列的通项公式． （3）由利用错位相减法能证明. 试题解析：（1）由已知，所以. ，所以. ，所以. （2）令，则，① ，② - 14 - / 14 两式相减，得 ， 所以,即， 又也满足上式， 所以数列的通项公式为. （3）， 所以，③ ，④ ①-②得 ， 所以. 又，∴，故. 又， 所以是递增数列，故. 所以. 【点睛】本题考查数列的前 3 项及通项公式的求法，考查不等式的证 明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．