高中数学人教a版选修1-1学业分层测评5全称量词与存在量词（3课时）word版含解析

高中数学人教a版选修1-1学业分层测评5全称量词与存在量词（3课时）word版含解析

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．下列命题是“∀x∈R，x2＞3”的表述方法的是( ) A．有一个 x∈R，使得 x2＞3 B．对有些 x∈R，使得 x2＞3 C．任选一个 x∈R，使得 x2＞3 D．至少有一个 x∈R，使得 x2＞3 【答案】 C 2．下列四个命题中，既是全称命题又是真命题的是( ) A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数 x，使 x2＞0 C．任意无理数的平方必是无理数 D．存在一个负数 x，使1 x ＞2 【解析】 只有 A，C 两个选项中的命题是全称命题，且 A 显然 为真命题．因为 2是无理数，而( 2)2＝2 不是无理数，所以 C 为假 命题． 【答案】 A 3．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被 2 整除；②有的 菱形是正方形；③存在实数 x，x＞0；④对于任意实数 x,2x＋1 是奇 数．下列说法正确的是( ) A．四个命题都是真命题 B．①②是全称命题 C．②③是特称命题 D．四个命题中有两个是假命题 【答案】 C 4．(2014·湖南高考)设命题 p：∀x∈R，x2＋1>0，则¬p 为( ) A．∃x0∈R，x20＋1>0 B．∃x0∈R，x20＋1≤0 C．∃x0∈R，x20＋1<0 D．∀x∈R，x2＋1≤0 【解析】 根据全称命题的否定为特称命题知 B 正确． 【答案】 B 5．下列四个命题： p1：∃x∈(0，＋∞)， 1 2 x＜ 1 3 x； p2：∃x∈(0,1)，log1 2 x＞log1 3 x； p3：∀x∈(0，＋∞)， 1 2 x＞log1 2 x； p4：∀x∈ 0，1 3 ， 1 2 x＜log1 3 x. 其中的真命题是( ) A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 【解析】 取 x＝1 2 ， 则 log1 2 x＝1，log1 3 x＝log32＜1，p2 正确． 当 x∈ 0，1 3 时， 1 2 x＜1，而 log1 3 x＞1，p4 正确． 【答案】 D 二、填空题 6．(2016·大同二诊)已知命题 p：“∃x0∈R，sin x0>1”，则¬p 为________． 【解析】 根据特称命题的否定为全称命题，并结合不等式符号 的变化即可得出¬p 为∀x∈R，sin x≤1. 【答案】 ∀x∈R，sin x≤1 7．若∀x∈R，f(x)＝(a2－1)x 是单调减函数，则 a 的取值范围是 ________． 【解析】 由题意知，00， 即 a2<2， a2>1， 解得 － 21 或 a<－1， ∴1n B．∀n∈N*，f(n)∉N*或 f(n)>n C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且 f(n0)>n0 D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或 f(n0)>n0 【解析】 写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定 结论，注意把“且”改为“或”． 【答案】 D 2．(2015·合肥二模)已知命题 p：∀x∈R,2x<3x，命题 q：∃x0∈R， x30＝1－x20，则下列命题中为真命题的是( ) A．p∧q B．p∧(¬q) C．(¬p)∧q D．(¬p)∧(¬q) 【解析】 对于命题 p，当 x＝0 时，20＝30＝1，所以命题 p 为 假命题，¬p 为真命题；对于命题 q，作出函数 y＝x3 与 y＝1－x2 的图 象，可知它们在(0,1)上有一个交点，所以命题 q 为真命题，所以(¬p) ∧q 为真命题，故选 C. 【答案】 C 3．(2016·西城期末)已知命题 p：∃x0∈R，ax20＋x0＋1 2 ≤0.若命题 p 是假命题，则实数 a 的取值范围是________． 【解析】 因为命题 p 是假命题，所以¬p 为真命题，即∀x∈R， ax2＋x＋1 2>0 恒成立．当 a＝0 时，x>－1 2 ，不满足题意；当 a≠0 时， 要使不等式恒成立，则有 a>0， Δ<0， 即 a>0， 1－4×1 2 ×a<0， 解得 a>0， a>1 2 ， 所以 a>1 2 ，即实 数 a 的取值范围是 1 2 ，＋∞ . 【答案】 1 2 ，＋∞ 4．(2016·日照高二检测)已知 p：∀x∈R,2x>m(x2＋1)，q：∃x0 ∈R，x20＋2x0－m－1＝0，且 p∧q 为真，求实数 m 的取值范围. 【导学号：26160024】 【解】 2x>m(x2＋1)可化为 mx2－2x＋m<0. 若 p：∀x∈R,2x>m(x2＋1)为真， 则 mx2－2x＋m<0 对任意的 x∈R 恒成立． 当 m＝0 时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立； 当 m≠0 时，有 m<0，Δ＝4－4m2<0，所以 m<－1. 若 q：∃x0∈R，x20＋2x0－m－1＝0 为真， 则方程 x20＋2x0－m－1＝0 有实根， 所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以 m≥－2. 又 p∧q 为真，故 p，q 均为真命题． 所以 m<－1 且 m≥－2，所以－2≤m<－1.