2019-2020学年河北省正定县第一中学高二上学期第一次月考数学试题 Word版

2019-2020学年河北省正定县第一中学高二上学期第一次月考数学试题 Word版

‎2019-2020学年河北省正定县第一中学高二上学期第一次月考数学试题 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1、圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是 (　　)‎ A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2 ‎ C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1‎ ‎2、若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（ ）‎ A．11 B．‎5 C． 9 D．‎ ‎3、抛物线y＝2x2的焦点坐标是(　　)‎ A． B． C． D． ‎4、点B(4,－2)与圆 x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)‎ A．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4‎ C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 ‎ ‎5、若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是( )‎ A．10 B．‎9 C．5 D．‎ ‎6、已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　)‎ A．圆 B．双曲线 C．椭圆 D．半椭圆 ‎7、已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆 ＋＝1有公共焦点．则C的方程为 (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎8、已知点是椭圆上的点，设点，的坐标分别为， 直线，的斜率之积是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎9、已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10、若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b)与圆x2＋y2＝1的关 系为 (　　)‎ A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．以上都有可能 ‎11、已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为(　　)‎ A．x2＝y B．x2＝6y C．x2＝3y D．x2＝3y ‎12、已知椭圆C：＋＝1的一个顶点为A(2，0)，直线y＝kx－k与椭圆C交于不同的两点M，N，当△AMN的面积为时，则k的值为 ( )‎ A． B． C． D． ‎ 第II卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13、已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为 F1(－4，0)，则m= .‎ ‎14、已知的顶点坐标分别是，则外接圆的方程 为 . ‎ ‎15、如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面‎2米，水面宽‎4米，水上升‎1米后，水面宽 米．‎ ‎16、如图，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝30°，AC，BC边上的高分别为BD，‎ AE，以A，B为焦点，且过D，E的椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1+e2的值为____________．‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17、（本小题满分10分）‎ 已知直线y＝ax＋4及圆C：.‎ ‎(1)若直线y＝ax＋4与圆C相切，求a的值；‎ ‎(2)若直线y＝ax＋4与圆C相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值．‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ 已知双曲线x2－y2＝6，左、右焦点分别为F1，F2.‎ ‎(1)求双曲线的离心率、渐近线方程、右焦点F2到渐近线的距离；‎ ‎(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：．‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点.‎ ‎(1)求它的标准方程；‎ ‎(2)直线：，椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？ ‎ 最小距离是多少？‎ ‎20、（本小题满分12分）‎ 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点.‎ ‎(1)求抛物线的标准方程；‎ ‎(2)设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点，．求直线的方程.‎ ‎21、（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，点、，设圆的半径为1，圆心在直线上.‎ ‎(1)若圆心也在直线上，求圆的标准方程；‎ ‎(2)若圆上存在点，使.‎ ‎（i）求点的轨迹方程；‎ ‎（ii）求圆心的横坐标的取值范围．‎ ‎22、（本小题满分12分）‎ 已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为F(1，0).‎ ‎(1)求椭圆E的标准方程；‎ ‎(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OM⊥ON，‎ 求直线l的方程.‎ 高二数学第一次月考试题答案 一、选择题 ‎1、解：因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选B．‎ ‎2、解：由双曲线定义得，即，解得，‎ 故选C．‎ ‎3、解：由抛物线的标准方程为x2＝y，可知＝，所以焦点坐标是.‎ 故选C.‎ ‎4、解：设圆上任一点坐标为(x0，y0)，则x＋y＝4，连线的中点坐标为(x，y)，‎ 则即代入x＋y＝4得(x－2)2＋(y＋1)2＝1．故选D．‎ ‎5、解：由题意可知焦点F的坐标为(1，0)，则准线方程为x＝-1，设M(xM，yM)，‎ 则xM＋1＝10，所以xM＝9，即M到y轴的距离是9. 故选B.‎ ‎6、解：点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|，又AM是圆的半径，所以 ‎|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|＝4，由椭圆定义知P的轨迹是椭圆．故 选C.‎ ‎7、解：因为双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则＝．①又因为椭圆＋＝1与双曲线有公共焦点，易知c＝3，则a2＋b2＝c2＝9．②由① ② 解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为－＝1，故选A．‎ ‎8、解：由题支可知为定值，故可取上顶点，‎ 故选B.‎ ‎9、解：，得，故选A.‎ ‎10、解：<1，所以a2＋b2>1，所以P(a，b)在圆外．故选A．‎ ‎11、解：设M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ 由消去y得x2-2ax＋‎2a＝0，所以＝＝3，即a＝3，‎ 因此所求的抛物线的方程为x2＝3y.故选D.（或用点差法也可）‎ ‎12、解：由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0．‎ 设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 所以|MN|＝＝，‎ 又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝，由＝，解得k＝±1故选A．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13、解：由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3．‎ ‎14、解：由题意可知点是圆的一条直径的两个端点，故圆心坐标 为，半径，所以外接圆的标准方程为.‎ ‎（或外接圆的一般方程为）都对. (注意方法的多样化)‎ ‎15、解：建立直角坐标系，使拱桥的顶点的坐标为，‎ 设抛物线的方程为，与抛物线的交点为、，‎ 根据题意知，则有，所以，‎ 所以抛物线的解析式为，水位上升‎1米，则，此时有 或所以此时水面宽为米．故填.‎ ‎16、解：不妨设BD＝AE＝1，则AD＝BE＝，AB＝2.令椭圆长轴长为‎2a，双 曲线实轴长为‎2a′，焦距为‎2c，则‎2c＝2，‎2a＝1＋，‎2a′＝-1，所以e1+e2‎ ‎＝2.故填2.‎ 三、解答题 ‎17、解：(1)圆心C(1，2)，半径r＝2，………………………………………...2分 ‎ 由题意得＝2，解得a＝0或a＝ ；…………………………….5分 ‎(2)因为圆心到直线axy＋4＝0的距离为，……………………….7分 所以＋＝4，解得a＝……………………………..10分 ‎（注意方法的多样化）‎ ‎18、解：(1)由x2－y2＝6得，‎ 可知a＝b＝，c＝2，所以，，………………………...2分 渐近线方程为…………………………………………….4分 右焦点F2(2，0)，到直线的距离为………..6分 ‎(2)证明：由(1)可知，a＝b＝，所以c＝2，‎ 所以F1(－2，0)，F2(2，0)，‎ ＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，‎ 所·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，…………………..9分 因为点M(3，m)在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2－3＝0，‎ 所以·＝0………………………………………………12分 ‎(或利用证明)‎ ‎19、解：（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).‎ 由椭圆的定义知……3分 所以.又因为，所以.‎ 因此，所求椭圆的标准方程为；…………………………….6分 ‎（注：用待定系数法也可）‎ ‎（2）设直线平行于直线，则直线的方程可以写成.‎ 由得………………………………….9分 令判别式，得.‎ 解得或.当时，直线与椭圆的交点到直线的距离最近，‎ 此时直线的方程为.‎ 直线与直线间的距离，所以，最小距离是……12分 ‎20、解：（1）因为抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，‎ 并且经过点，所以，可设它的标准方程为.‎ 因为点在抛物线上，所以，即.‎ 因此，所求抛物线的标准方程是…………………………….4分 ‎（2）由题意得，的方程为．………………….5分 设，由，得．‎ ‎，故．………………………8分 所以．……………….10分 由题设知，解得（舍去），．‎ 因此直线的方程为．…………………………………………..12分 ‎21、解：（1）由题意设点，…………………………………… 2分 又点也在直线上，‎ 所以，解得 所以圆的标准方程为；…………………………….4分 ‎（注：圆心也可以通过求两条直线的交点得到）‎ ‎（2）（i）设，由，‎ 得化简得：‎ 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆；…………………8分 ‎（ii）点的轨迹可记为圆，又因为点在圆上，‎ 所以圆与圆的关系为相交或相切，…………………………...10分 所以，其中，‎ 所以，‎ 解得…………………………………………12分 ‎22、解：(1)由题意可得 解得a＝，b＝1，‎ 所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1………………………………..4分 ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ ‎①当MN垂直于x轴时，直线l的方程为x＝1，不符合题意………5分 ‎②当MN不垂直于x轴时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．‎ 联立 消去y整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，显然Δ＞0，‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝.................................................7分 所以y1y2＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝................................................9分 因为OM⊥ON，所以＝0，‎ 所以x1x2＋y1y2＝＝0，所以k＝±，‎ 即直线l的方程为y＝±(x－1)…………………………………………12分