北京市延庆区2020届高三3月模拟考试数学试题

北京市延庆区2020届高三3月模拟考试数学试题

‎2020北京延庆区高三一模 ‎ 数 学 2020.3‎ 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。‎ 第一部分（选择题，共40分）‎ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎1. 已知复数是正实数，则实数的值为 A. B. C. D. ‎ ‎2. 已知向量若与方向相同，则等于 A. B. C. D. ‎ ‎3. 下列函数中最小正周期为的函数是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是 A. B. C. D. ‎ ‎5.某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为, ，则它的表面积为 A. 8 B. 12 ‎ C. D. 20‎ ‎6. 的展开式中，的系数是 A. 160 B. 80 ‎ C. 50 D. 10‎ ‎7. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎8. 已知直线，平面，那么“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎9.某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为万支和万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和，那么至少经过多少年后，产品的年产量会超过产品的年产量（取）‎ A. 6年 B. 7年 C. 8年 D. 9年 ‎10. 已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于两点，且则的面积为 A. B. C. D. ‎ 第二部分（非选择题，共110分）‎ 二、填空题共5小题，每小题 5 分，共 25 分。 ‎ ‎11. 已知集合,且则的取值范围是 ‎ ‎12. 经过点且与圆相切的直线的方程是 ‎ ‎13. 已知函数则 ‎ ‎14. 某网店统计连续三天出售商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4 种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有 种；这三天售出的商品至少有 种.‎ ‎15. 在中，是边的中点.若，则的长等于 ；若，则的面积等于 .‎ 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎16.（本小题14分）‎ 如图，四棱锥的底面是正方形，是的中点，平面，是棱上的一点，平面.‎ ‎（Ⅰ）求证：是的中点；‎ ‎（Ⅱ）求证：和所成角等于 ‎ ‎17.（本小题14分）‎ 已知数列是等差数列，是的前项和，， .‎ ‎（Ⅰ）判断是否是数列中的项，并说明理由； ‎ ‎（Ⅱ）求的最值.‎ 从 ①，②，③中任选一个，补充在上面的问题中并作答.‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。‎ ‎18. （本小题14分）‎ 三个班共有名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）：‎ 班 班 班 ‎（Ⅰ）试估计班的学生人数；‎ ‎（Ⅱ）从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；‎ ‎（Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从B班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率.‎ ‎19. （本小题14分）‎ 已知函数其中 ‎（Ⅰ）当时，求曲线在原点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若函数在上存在最大值和最小值，求a的取值范围.‎ ‎20.（本小题15分）‎ 已知椭圆的左焦点为且经过点分别是的右顶点和上顶点，过原点的直线与交于两点（点在第一象限），且与线段交于点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求直线的方程；‎ ‎（Ⅲ）若的面积是的面积的倍，求直线的方程.‎ ‎21.（本小题14分）‎ 在数列中，若且则称为“数列”。设为“数列”，记的前项和为 ‎（Ⅰ）若，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值；‎ ‎（Ⅲ）证明：中总有一项为或.‎ ‎2020北京延庆区高三一模数学 参考答案 一、选择题: （每小题4分，共10小题，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. C 2．D． 3．D 4．C 5. B ‎ ‎6．B 7．A 8. C 9. B 10. A ‎ 二、填空题: （每小题5分，共5小题，共25分）‎ ‎11．； 12. ； 13．； ‎ ‎14．； 15．.‎ ‎10. 考察知识：双曲线的定义和性质（对称性、渐近线、离心率），平行四边形的定义和性质（相邻内角互补），三角形的性质（余弦定理、面积公式）.‎ ‎15. 在中，，在中，，‎ 相除得：，‎ 所以，‎ 所以.‎ 三、解答题：（共6小题，共85分. 解答应写出文字说明、演算步骤.）‎ ‎16.（Ⅰ）联结，设与交于，联结， …………1分 因为 平面，‎ 平面平面=,‎ 所以 …………4分 因为 是正方形，‎ 所以 是的中点 所以 是的中点 …………6分 ‎（Ⅱ）（法一）因为 平面，‎ 所以 …………7分 因为 是正方形，‎ 所以 ‎ 因为 ‎ 所以 平面 …………10分 所以 ‎ 因为 ‎ 因为 ‎ 所以 平面 …………13分 因为 平面 所以 ‎ 所以 与成角. …………14分 ‎（法二）连接，‎ 因为 平面，‎ 所以 ， . ………7分 因为 是正方形，‎ 所以 .‎ 所以 两两垂直.‎ 以分别为、、建立空间直角坐标系.………8分 则，，，， ………9分 ‎，, ………10分 ‎ （………1分）‎ ‎ ………13分 所以所以 与成角. ………14分 ‎17. 解：选① （Ⅰ）因为，‎ 所以 …………2分 所以 …………4分 所以 ‎ …………6分 令 ，则 此方程无正整数解 所以不是数列中的项. …………8分 不能只看结果；‎ 某一步骤出错，即使后面步骤都对，给分不能超过全部分数的一半；‎ 只有结果，正确给1分. ‎ ‎（Ⅱ）（法一）令， 即 ，解得： ‎ 当时，当时， …………11分 当时，的最小值为.…13分 无最大值 …………14分 只给出最小值-26，未说明n=4扣1分.‎ 无最大值 …1分 ‎（Ⅱ）（法二），‎ ‎ …………11分 当时，的最小值为.…13分 无最大值 …………14分 选② （Ⅰ），‎ ‎ …………2分 ‎ …………4分 ‎ …………6分 令 ，则 解得 是数列中的第512项. …………8分 ‎（Ⅱ）令， 即 ，解得：‎ 当时，‎ 当时，当时， …………11分 当或时，的最小值为 ‎. …………13分 无最大值 …………14分 选③ （Ⅰ），‎ ‎ …………2分 ‎ …………4分 ‎ …………6分 令 ，则（舍去）‎ 不是数列中的项. …………8分 ‎（Ⅱ）令， 即 ，解得：‎ 当时，‎ 当时，当时， …………11分 当或时，的最大值为 ‎. …………13分 无最小值. …………14分 ‎18．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自班的学生有名．根据分层抽样 方法，班的学生人数估计为． …………3分 只有结果36扣1分 ‎（Ⅱ）设从选出的20名学生中任选1人，共有20种选法，…………4分 设此人一周上网时长超过15小时为事件D,‎ 其中D包含的选法有3+2+4=9种， …………6分 ‎. …………7分 由此估计从120名学生中任选1名，该生一周上网时长超过15小时的 概率为. ……………8分 只有结果而无必要的文字说明和运算步骤，扣2分.‎ ‎（Ⅲ）设从班抽出的6名学生中随机选取2人，其中恰有人一周上网超过15小时为事件,从班抽出的7名学生中随机选取1人，此人一周上网超过15小时为事件 则所求事件的概率为：‎ ‎. ……………14分 ‎（Ⅲ）另解：从A班的6人中随机选2人，有种选法，从B班的7人中随机选1人，有种选法，‎ 故选法总数为：种 ……………10分 设事件“此3人中恰有2人一周上网时长超过15小时”为，‎ 则中包含以下情况：‎ ‎（1）从A班选出的2人超15小时，而B班选出的1人不超15小时，‎ ‎（2）从A班选出的2人中恰有1人超15小时，而B班选出的1人 超15小时， ……………11分 所以. ……………14分 只有，而无文字说明，扣1分 有设或答，有，给3分 ‎19．（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）解：.‎ 切线的斜率；‎ 曲线在原点处的切线方程为：. ……………5分 ‎（Ⅱ）‎ ‎ ……………7分 ‎（1）当 ‎ 则 ‎ ……………9分 ‎0‎ ‎（0，）‎ ‎（）‎ ‎0‎ 递增 递减 法1： ……………10分 在恒成立，‎ ‎. ‎ ‎ ……………13分 所以的取值范围为. ……………14分 法2：； ……………10分 当时，，， ‎ ‎；‎ 即时，；‎ 时，‎ ‎，‎ 所以的取值范围为. ……………14分 用趋近说：，论述不严谨，扣1分.‎ ‎（2）当.‎ 则 ‎0‎ ‎（0，）‎ ‎（）‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 递减 递增 法1：.‎ 在恒成立，‎ ‎.‎ 综上：的取值范围是.‎ 法2：；‎ 当时，，，‎ ‎；（论述不严谨，扣1分）‎ 即时，；时，‎ ‎，‎ 综上：的取值范围是.‎ ‎20．（本小题满分15分）‎ 解：（Ⅰ）法一：依题意可得解得 （试根法）‎ 所以椭圆的标准方程为. …3分 法二：设椭圆的右焦点为，则，‎ ‎，‎ ‎， ，‎ 所以椭圆的标准方程为. …3分 ‎（Ⅱ）因为点在第一象限，所以直线的斜率存在， …4分 设直线的斜率为，则直线的方程为，设直线 与该椭圆的交点 为 由可得， …5分 ‎ 易知，且， …6分 ‎ 则 …7分 ‎， ‎ ‎ 所以(负舍)，所以直线的方程为. …8分 ‎ 用到原点距离公式（未用弦长公式）按照相应步骤给分，‎ 设点， ‎ ‎ 又 解得：‎ 所以直线的方程为，即.‎ ‎（Ⅲ）设，，则，易知，.‎ 由，，所以直线的方程为. …9分 ‎ 若使的面积是的面积的4倍，只需使得， …10分 法一：即 ① . …11分 设直线的方程为，由 得， …12分 由 得，， …13分 ‎ 代入①可得，即：（约分后求解）‎ 解得，所以. …15分 法二：所以，即. …11分 设直线的方程为，由 得， …12分 所以，因为点在椭圆上，所以， …13分 ‎ 代入可得，即：‎ 解得，‎ 所以. …15分 法三：所以，即. …11分 ‎ 点在线段上，所以，整理得，① …12分 因为点在椭圆上，所以，② ‎ 把①式代入②式可得，解得. …13分 于是，所以，.‎ 所以，所求直线的方程为. …15分 ‎21.解：（Ⅰ）当时，中的各项依次为，‎ ‎ 所以. …………………………3分 ‎ （Ⅱ）① 若是奇数，则是偶数，，‎ ‎ 由，得，解得，适合题意.‎ ‎ ② 若是偶数，不妨设，则.‎ ‎ 若是偶数，则，由，得，此方程无整数解；‎ ‎ 若是奇数，则，由，得，此方程无整数解.‎ ‎ 综上，. …………………………8分 ‎ （Ⅲ）首先证明：一定存在某个，使得成立.‎ ‎ 否则，对每一个，都有，则在为奇数时，必有；‎ ‎ 在为偶数时，有，或.‎ ‎ 因此，若对每一个，都有，则单调递减，‎ ‎ 注意到，显然这一过程不可能无限进行下去，‎ ‎ 所以必定存在某个，使得成立.‎ ‎ 经检验，当，或，或时，中出现；‎ ‎ 当时，中出现，‎ ‎ 综上，中总有一项为或. …………………………14分