2018-2019学年江苏省连云港市锦屏高级中学高一下学期期中数学试题（解析版）

2018-2019学年江苏省连云港市锦屏高级中学高一下学期期中数学试题（解析版）

‎2018-2019学年江苏省连云港市锦屏高级中学高一下学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．与600°角终边相同的角可表示为(k∈Z)(　　)‎ A．k·360°＋220°　B．k·360°＋240°‎ C．k·360°＋60° D．k·360°＋260°‎ ‎【答案】B ‎【解析】与600°终边相同的角α＝n·360°＋600°＝n·360°＋360°＋240°＝(n＋1)·360°＋240°＝k·360°＋240°，n∈Z，k∈Z.∴选B.‎ ‎2．在△ABC中，a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为 ( 　)‎ A．3 B． C．6 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用三角形面积公式，求得三角形的面积.‎ ‎【详解】‎ 根据三角形的面积公式得三角形的面积为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角形的面积公式，属于基础题.‎ ‎3．把红、黑、白3张纸牌随机地分给甲、乙、丙3个人，每个人分得1张 , 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）‎ A．对立事件 B．两个不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．两个概率不相等的事件 ‎【答案】C ‎【解析】事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生，但能同时不发生，由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ 把红、蓝、白3张纸牌随机地分发给甲、乙、丙三个人，每人分得1张，‎ 事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生，‎ 但能同时不发生，‎ ‎∴事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对立事件、互斥事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件的定义的合理运用．‎ ‎4．函数则f(f(-2018))= （ ）．‎ A．1 B．-1 C．2018 D．-2018‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得：，代入即可求解 ‎【详解】‎ 由题意可得：‎ 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础题。‎ ‎5．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是 (　 )‎ A．直线m在平面α外 B．直线m与平面α内的两条直线平行 C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行 D．直线m与平面α内的一条直线平行 ‎【答案】C ‎【解析】根据线面平行的判定定理，选出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 根据线面平行的判定定理可知，C选项正确.A选项直线可能与平面相交，B和D选项直线可能在平面内，所以ABD三个选项不正确.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查线面平行的判定定理，属于基础题.‎ ‎6．甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛，四人的平均成绩和方差如表：‎ 从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数学竞赛，最佳人选是 (　　 )‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【答案】C ‎【解析】根据平均数最大和方差最小选出最佳人选.‎ ‎【详解】‎ 平均成绩越高越好，方差越小波动性越小，故最佳人选是丙.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查平均数和方差在实际生活中的运用，属于基础题.‎ ‎7．的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆半径为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据余弦定理求得第三边长,再根据正弦定理求得外接圆半径即可.‎ ‎【详解】‎ 不妨设，，则，.‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∵，∴.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了用余弦定理求边,考查了用正弦定理求外接圆的半径,属于基础题.‎ ‎8．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，甲、乙都当选的概率为(　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】用列举法列举出所有可能的选法，根据古典概型概率计算公式，计算出甲、乙都当选的概率.‎ ‎【详解】‎ 甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，方法数有种，分别是：甲乙丙、甲乙丁、甲乙戊、甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊.其中甲乙都当选的时间有中，分别是：甲乙丙、甲乙丁、甲乙戊.所以甲、乙都当选的概率为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查古典概型的概率计算，属于基础题.‎ ‎9．平面内有不共线的三点到平面的距离相等且不为零，则与的位置关系为(　　)‎ A．平行 B．相交 C．可能重合 D．平行或相交 ‎【答案】D ‎【解析】对三点是否在平面β的同一侧进行讨论得出答案．‎ ‎【详解】‎ 若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，‎ 若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间平面的位置关系，属于基础题．‎ ‎10．在中，若，，，则AC边上的高为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据三角形的三边长，利用余弦定理求出的值，进而可得的值，利用三角形的面积公式求出的面积，设出边上的高，利用三角形的面积公式，列出关于的方程，求出方程的解即可得到边上的高．‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，,.又 .‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，解答本题的关键是求出的值，利用三角形的面积公式列出关于的方程．要求学生熟练掌握余弦定理及三角形的面积公式．‎ ‎11．设l是直线，α、β是两个不同的平面，下列结论正确的是(　　)‎ A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β ‎【答案】B ‎【解析】对于A，α，β可以相交；对于C，l∥β或lβ；对于D，有lβ，l∥β，l⊥β三种情形 ‎12．在中，已知,则的形状是（ ）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】由正弦定理与余弦定理化角为边得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以，‎ 因此或，即的形状是等腰三角形或直角三角形，选D.‎ ‎【点睛】‎ 判断三角形形状的方法 ‎①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．‎ ‎②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．‎ ‎13．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA； ④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC．其中正确的个数是(　 　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据中位线判断①，结合线面平行的判定定理判断②③，由图像判断④⑤.‎ ‎【详解】‎ 由于是中点，是中点，所以，所以①正确.‎ 由于平面，平面，所以OM∥平面PCD.所以②正确.‎ 由于平面，平面，所以OM∥平面PDA.所以③正确.‎ 根据图像可知，和平面、平面相交，故④⑤错误.‎ 综上所述，正确的个数为个.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查线面平行的判定定理，考查线线平行的证明，属于基础题.‎ ‎14．已知扇形的周长为6cm，面积为2cm2，则扇形的圆心角的弧度数为 (　　)‎ A．1 B．4 C．1或4 D．2或4‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：设扇形的圆心角为，半径为，则解得或，故选C．‎ ‎【考点】1、弧度制的应用；2、扇形的面积公式.‎ 二、填空题 ‎15．在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝6，则bccos A＋accos B＋abcos C的值是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用余弦定理化简所求表达式，由此求得表达式的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，原式.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用余弦定理进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎16．在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1,2,3,4,5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题首先可以写出任意选出2本书的所有可能情况数目，然后写出2本书编号相连的所有可能情况数目，两者相除，即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 从五本书中任意选出2本书的所有可能情况为 共十种，‎ 满足2本书编号相连的所有可能情况为共四种，‎ 故选出的2本书编号相连的概率为。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了古典概型的相关性质，主要考查了古典概型的概率计算，首先需要找出所有可能的情况事件，然后要找出满足题意的情况事件，是简单题。‎ ‎17．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用根与系数关系和余弦定理，求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由于是方程的两个根，所以，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用余弦定理求边长，考查根与系数关系，属于基础题.‎ ‎18． 等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为_________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】过点C作平面，为垂足， 设，则，由于AC与α所成的角为30°， ,则 ，又 ，，则斜边上的中线CM与α所成的角为 .‎ 三、解答题 ‎19．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，并分别记为.‎ ‎（1）若记“”为事件，求事件发生的概率；‎ ‎（2）若记“”为事件，求事件发生的概率.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）首先可以确定骰子抛掷次一共有多少种结果，然后确定满足的有多少种结果，最后即可得出结果。‎ ‎（2）通过确定事件B发生的基本事件的数目即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）将一颗质地均匀的骰子抛掷次，它的点数有这种结果，‎ 抛掷第次，它的点数有这种结果，‎ 因为骰子共抛掷次，所以共有种结果， ‎ 事件A发生的基本事件有：共种结果， ‎ 所以事件A发生的概率为；‎ ‎（2）事件B发生的基本事件有：共6种结果，所以事件B发生的概率为。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是古典概型概率的求法，解题的关键是正确得到基本事件总数和所求概率的事件包含的基本事件的个数，其中常用的方法是列举法，列举时要完整，属于基础题。‎ ‎20．在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.‎ ‎(1)求BC的长；‎ ‎(2)求sin C的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）利用余弦定理求得的长.‎ ‎（2）利用余弦定理求得的值，进而求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由余弦定理得.‎ ‎（2）由余弦定理得.由于是三角形的内角，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用余弦定理求边长，考查利用余弦定理计算角的余弦值，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.‎ ‎21．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.‎ 求证：(1)DE∥平面AA1C1C；‎ ‎(2)BC1⊥AB1.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：(1) 由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC,根据线面平行的判定定理得证;(2)由CC1⊥平面ABC,可得AC⊥CC1，又因为AC⊥BC，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BCC1B1，进而可得B1C⊥AC,又BC1⊥B1C,证得BC1⊥平面B1AC,故命题成立.‎ 试题解析:‎ ‎(1)由题意知，E为B1C的中点，‎ 又D为AB1的中点，因此DE∥AC.‎ 又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，‎ 所以DE∥平面AA1C1C.‎ ‎(2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，‎ 所以CC1⊥平面ABC.‎ 因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.‎ 又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，‎ BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，‎ 所以AC⊥平面BCC1B1，‎ 又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以B1C⊥AC.‎ 因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.‎ 因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.‎ 又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.‎ 点睛:本题考查线面平行的判定定理和线面垂直的性质定理,属于中档题目.垂直、平行关系在证明题中经常应用转化与化归思想的常见类型有:(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎22．共享单车的出现方便了人们的出行，深受我市居民的喜爱．为调查某校大学生对共享单车的使用情况，从该校8000名学生中按年级用分层抽样的方式随机抽取了100名同学进行调查，得到这100名同学每周使用共享单车的时间(单位：小时)如下表：‎ ‎(1)已知该校大一学生有2400人，求抽取的100名学生中大一学生的人数；‎ ‎(2)作出这些数据的频率分布直方图；‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析 ‎【解析】（1）利用乘以大一学生占总人数的比例，求得抽样中大一学生的人数.‎ ‎（2）先求得每组的频率，然后用频率除以组距，得到小长方形的高，由此画出频率分布直方图.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）大一学生占总人数的比例为，故抽取的名学生中大一学生的人数为人.‎ ‎（2）从左往右，各组的频率分别为，故各组小长方形的高分别为：，由此画出频率分布直方图如下图所示：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查分层抽样计算抽样数量，考查频率分布直方图的画法，属于基础题.‎ ‎23．已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋c＝b.‎ ‎(1)求角A的大小； ‎ ‎(2)若a＝1，b＝，求c的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】（1）利用正弦定理和三角形的内角和定理化简已知条件，由此求得的值，进而求得的大小.‎ ‎（2）利用余弦定理列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由正弦定理得 ‎，化简得，由于是三角形的内角，故.‎ ‎（2）由余弦定理得，整理得，解得或.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查正弦定理边角互化，考查三角形的内角和定理，考查余弦定理解三角形，属于基础题.‎ ‎24．如图，在四棱锥中，，，，‎ ‎，分别是和的中点，‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）证明：平面。‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）见证明 ‎【解析】（1）由于，，又可得，进而命题得证;‎ ‎（2）由已知得是平行四边形，从而，由三角形中位线定理得，由此能证明平面平面．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：平面，平面 又 平面 平面 ‎（2），为的中点 又 ‎ ‎∴四边形为平行四边形 分别是和的中点 平面平面 ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直、线线垂直，以及面面平行的判断的证明，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．‎