浙江省丽水市发展共同体2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

浙江省丽水市发展共同体2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

‎2020年5月高二期中考试数学学科试卷 ‎ 命题人： 庆元中学 高粱剑 审题人：庆元中学 吴小兰 一．选择题(本大题共 10小题,每小题 4 分，共 40 分） ‎ ‎1.设集合,,则 ( )‎ A. B. C. D．‎ ‎2. 已知a，b都是实数，那么“”是“” 的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3. 已知直线都不在平面内，则下列命题错误的是 ( ) ‎ A.若则 B.若则 ‎ C.若则 D.若则 ‎ ‎4. 若实数满足约束条件，且目标函数的最大值等于 ( )‎ ‎(第5题图)‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎4‎ ‎4‎ ‎4‎ A．2 B．3 C．4 D．1 ‎ ‎5.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积( )‎ ‎ （单位：cm3）是 A． ‎ B． C． D．‎ ‎6. 设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，‎ 则=( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 函数的零点个数最多是（ ） ‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎9. 已知是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于两点，且满足，则该椭圆的离心率是（ ） ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎10. 已知点,在内,且,则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题:(共 7 小题,多空题每小题 6 分,单空题每小题 4 分,共 36 分)‎ 11. 已知，则____▲_____.=____▲____.‎ ‎12.圆的圆心的坐标是 ▲ ,设直线与圆交于两点,若,则 ▲ ． ‎ ‎13.已知为等差数列,若,则前项的和　▲ _,的值为　▲ _． ‎ x y O ‎1‎ ‎3‎ ‎－1‎ ‎(第15题图)‎ ‎14. 在中,内角,,所对的边分别是,,.已知,,‎ 的面积为,则的值为　▲ _,　▲ _.‎ ‎15.若函数的部分图象如图所示，则 ▲ .‎ ‎16. 正方体的一个截面经过顶点,及棱上一点,且将正方体分成体积比为的两部分.则的值为 ▲ .‎ ‎17. 已知等差数列满足:, ,,且该数列在区间中的项比在区间中的项少,则的通项公式为 ▲ .‎ 三、解答题（18题14分，19-22小题每题15分，共 74 分） ‎ ‎18. 已知函数的最小正周期为．‎ ‎(1)求的单调递增区间；‎ ‎(2)在中， 分别是角的对边，若的面积为，求的值．‎ ‎19.已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，且，又成等比数列．‎ ‎ （Ⅰ）求；‎ ‎ （Ⅱ）若对任意，，都有，‎ ‎ 求的最小值．‎ ‎20. 已知直角梯形，∥,,,,为线段上的动点（异于、），∥交于点，沿折叠使二面角为直二面角．‎ ‎（Ⅰ）在线段上是否存在点，使∥面?若存在，则求出的长；若不存在，则说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若直线与面所成的角为，求的取值范围．‎ ‎21. 已知抛物线,准线与轴的交点为.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的方程；‎ ‎(Ⅱ)如图，，过点的直线与抛物线交于 不同的两点，与分别与抛物线交于 点,设的斜率分别为，的 斜率分别为，问：是否存在常数，使得若存在，求出的值，若不存在，说明理由.‎ ‎22.对于函数，若存在，使成立，则称为的一个不动点．设函数（）．‎ ‎ （Ⅰ）当，时，求的不动点；‎ ‎ （Ⅱ）若有两个相异的不动点：‎ ‎ （i）当时，设的对称轴为直线，求证：；‎ ‎ （ii）若，且，求实数的取值范围．‎ ‎2020年5月高二期中考试数学学科试卷答案 ‎ 命题人： 庆元中学 高粱剑 审题人：庆元中学 吴小兰 一． 选择题(本大题共 10小题,每小题 4 分，共 40 分） ‎ ‎1~5 CCCCB 6~10 ADCBA 二、填空题:(共 7 小题,多空题每小题 6 分,单空题每小题 4 分,共 36 分)‎ 11. ‎ 27；1 12. 或 13. , 14. ‎ ‎15. -4 16. 17. ‎ 三、解答题（18题14分，19-22小题每题15分，共 74 分） ‎ ‎18. 已知函数的最小正周期为．‎ ‎(1)求的单调递增区间；‎ ‎(2)在中， 分别是角的对边，若的面积为，求的值．‎ 解：（Ⅰ） …2分 因为函数的最小正周期为，且，所以，解得，‎ ‎ … 4分 令 ,则 ‎ 故的单调增区间为 … 7分 ‎（Ⅱ）由 …8分 又因为A为三角形的内角，……10分 ‎…………12分 ‎…………14分 ‎19.已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，且，又成等比数列．‎ ‎ （Ⅰ）求；‎ ‎ （Ⅱ）若对任意，，都有，‎ ‎ 求的最小值．‎ ‎19.解：（Ⅰ）设公差为，由条件得，得．‎ 所以，． …………7分 ‎（Ⅱ）∵．‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎∴， 即：，．‎ ‎∴的最小值为48． …………15分 ‎20. 已知直角梯形，∥,,,,为线段上的动点（异于、），∥交于点，沿折叠使二面角为直二面角．‎ ‎（Ⅰ）在线段上是否存在点，使∥面?若存在，则求出的长；若不存在，则说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若直线与面所成的角为，求的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）取BC中点M，由且互相平行，‎ 故四边形是平行四边形，可得∥,‎ 面，面,所以∥面，‎ 此时--------------5分 ‎（Ⅱ）法一：坐标法 以为坐标原点，为轴， 为轴，为轴建立空间直角坐标系 设=，则点A(0,0,),C，‎ ‎，‎ ‎ 设面DCF的法向量为 由得，‎ 令，则，，即,因 ，‎ 所以，由于，可得 所以得范围是--------------10分 法二：几何法 设于，则.作于，过作于，连结.可得 设，则，，‎ ‎，可得：==‎ ‎= ‎ 由于点F到面的距离与点到面的距离相等，即 由得，可得.因 ‎ 由于，可得 所以得范围是--------------10分 ‎21. 已知抛物线,准线与轴的交点为.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的方程；‎ ‎(Ⅱ)如图，，过点的直线与抛物线交于 不同的两点，与分别与抛物线交于 点,设的斜率分别为，的 斜率分别为，问：是否存在常数，使得 ‎，若存在，求出的值，若不存在，‎ 说明理由.‎ 解：(Ⅰ) ——————————4分 ‎(Ⅱ)假设存在实数 设的直线方程为，，,,‎ 由化简得：‎ 所以 ——————————7分 由化简可得，同理可得——————————10分 易得，，‎ ‎，‎ 所以代入得 所以存在 ‎——————————15分 ‎22.对于函数，若存在，使成立，则称为的一个不动点．设函数（）．‎ ‎ （Ⅰ）当，时，求的不动点；‎ ‎ （Ⅱ）若有两个相异的不动点：‎ ‎ （i）当时，设的对称轴为直线，求证：；‎ ‎ （ii）若，且，求实数的取值范围．‎ ‎（本题满分14分）解：（Ⅰ）依题意：，即，‎ ‎ 解得或1，即的不动点为和； …………………………4分 ‎（Ⅱ）（ⅰ）由f (x)表达式得m=－，‎ ‎∵ g(x)== a x 2 + (b－1) x +1，a > 0，‎ 由 x1，x2 是方程f (x)=x的两相异根，且x1 <1 ． ……………8分 ‎(ⅱ）△= (b－1) 2－4a > 0 Þ (b－1) 2 > 4a，‎ ‎ x1 + x2 =，x1x2 = ，‎ ‎∴ | x1－x2 | 2 = (x1 + x2) 2－4x1x2 = () 2－=， ………………10分 ‎∴ (b－1) 2 = 4a + 4a 2 (*)‎ 又 | x1－x2 | = 2，‎ ‎∴ x1、x2到g(x)对称轴x=的距离都为1，‎ 要使g(x)=0有一根属于，‎ 则g(x)对称轴x =Î， …………………12分 ‎∴ －3<<3Þa >| b－1|，‎ 把上式代入 (*)式，得：(b－1) 2 > | b－1 | + (b－1) 2，解得b < 或 b > ，‎ ‎∴ b 的取值范围是：(－¥, )∪( ,+¥)． …………………14分