2019-2020学年安徽省太和第一中学高二上学期第一次学情调研数学（理 卓越班）试题 解析版

2019-2020学年安徽省太和第一中学高二上学期第一次学情调研数学（理 卓越班）试题 解析版

太和一中2019—2020学年度第一学期第一次学情测试数学试卷（卓越理）‎ 考试范围：选修2-1 选修2-2函数导数 考试时间：120分钟 满分：150分 出题人：邱秉磊 审题人：武中山 第I卷（客观题 共60分）‎ 一、选择题(每小题5分,共12小题60分)‎ ‎1、已知点,,,点,若平面,则点的坐标为( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎2、已知命题:,且,,命题:,,则下列判断正确的是( )‎ A.是假命题 B.是真命题 C.是真命题 D.是真命题 ‎3、在中，角，，的对边分别是，，，则“”是“”的（   ）‎ A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.不充分不必要条件 ‎4、设函数在处可导,则( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎5、在同一直角坐标系中，函数与的图像不可能的是（   ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎6、若点是曲线上任一点,则点到直线的最小距离是( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎7、双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,若这两曲线的一个交点满足垂直于轴,则( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎8、椭圆的半焦距为，若直线与椭圆的一个交点的横坐标恰为，则椭圆的离心率为（   ）‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎9、设,分别为双曲线的左。右焦点,若在双曲线的右支上存在点,满足,且原点到直线的距离等于双曲线的实半轴长,则该双曲线的渐近线方程为( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎10、若函数有唯一一个极值点,则实数的取值范围是( )‎ A.‎ B.或 C.‎ D.或 ‎11、在如图的程序框图中，若，则输出的是( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎12、已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是(　　)‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D.‎ ‎ ‎ 第II卷（客观题 共90分）‎ 二、填空题(每小题5分,共4小题20分)‎ ‎13、已知抛物线的焦点和,点为抛物线上的动点,则的周长取到最小值时点的坐标为__________.‎ ‎14、已知函数在上为单调函数,则的取值范围为__________.‎ ‎15、如图,四边形和均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点在线段上,,分别为,的中点.设异面直线与所成的角为,则的最大值为__________.‎ ‎16、已知函数满足:,且,当时,,则函数在点的切线方程为__________.‎ 三、解答题(17题10分，其余每小题12分,共6小题70分)‎ ‎17、已知函数.‎ ‎(1)若,求函数在处的切线方程;‎ ‎(2)若 的导数为,,求的单调区间.‎ ‎18、已知椭圆及直线.‎ ‎(1)当直线与该椭圆有公共点时,求实数的取值范围;‎ ‎(2)当时,求直线被椭圆截得的弦长.‎ ‎19、已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点的直线交双曲线于，两点，为左焦点．‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)若的面积等于，求直线的方程．‎ ‎20、如图,正三棱柱的所有棱长都为,为中点.用空间向量进行以下证明和计算:‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求二面角的正弦值;‎ ‎(3)求点到平面的距离.‎ ‎21、已知函数.‎ ‎(1)讨论的单调区间;‎ ‎(2)若恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎22、已知函数.‎ ‎(1)当时,试判断函数的单调性;‎ ‎(2)若,求证:函数在上的最小值小于.‎ 第1题答案 C 第1题解析 ‎∵,,,,,∴,∴,解得,∴.‎ 第2题答案 C 第2题解析 对于命题:,且,有,利用均值不等式显然为真,A错;命题:,,因为,‎ 而,所以是假命题,故B错;利用复合命题的真假判断,是真命题,故C正确.是假命题,D错误,故选C.‎ 第3题答案 A 第3题解析 由正弦定理得，因为，，，都是正数，‎ 所以.故选A.‎ 第4题答案 B 第4题解析 ‎∵函数在处可导,‎ ‎∴,‎ ‎∴．选B．‎ 第5题答案 B 第5题解析 当时，函数为与，图象为D，故D有可能.‎ 当时，函数的对称轴为，‎ 对函数，求导得，‎ 令,则.所以对称轴介于两个极值点之间，A,C满足，B不满足，故选B.‎ 第6题答案 A 第6题解析 ‎,,所以点为,到直线的最小距离是.‎ 第7题答案 A 第7题解析 由题意得,即,轴,根据抛物线定义可得,‎ 即,∴,‎ 由得,解得(舍)或.‎ 第8题答案 D 第8题解析 将代入得，取交点，则有，将代入得，两边同除以得，即，解得，因为，所以.‎ 第9题答案 D 第9题解析 由可知三角形是一个等腰三角形,点在直线的投影为其中点,‎ 由勾股定理可得.再根据双曲线定义可知,∴.‎ 又∵,再将代入整理可得,∴双曲线的渐近线方程为,‎ 即.‎ 第10题答案 C 第10题解析 函数有唯一一个极值点,则导函数有唯一的大于的变号零点,,变形为,‎ 画出,的图像,‎ 使得两个函数图像有唯一一个交点,并且交点的横坐标大于,故,化简为,故答案为:C.‎ 第11题答案 C 第11题解析 执行第一次循环体时，，；执行第二次循环体时，，；执行第三次循环体时，，，依次类推，则有执行第次循环体时，，，此时输出.‎ 第12题答案 A 第12题解析 ‎∵，∴，∴，‎ ‎∵，∴，∴，‎ 根据导数的几何意义可得，曲线在点处的切线斜率，∴过的切线方程为：即．‎ 第13题答案 第13题解析 抛物线的焦点为,点,求周长的最小值,即求的最小值,‎ 设点在准线上的射影为,根据抛物线的定义,可知,因此,的最小值,即的最小值,根据平面几何知识,可得当三点共线时最小,的纵坐标为,可得,解得.则的周长取到最小值时点的坐标为.‎ 第14题答案 第14题解析 由题意得.‎ 若在上单调递增,则在上恒成立,∴,∴.‎ 若在上单调递减,则在上恒成立,‎ ‎∴,∴.‎ 综上所述,.‎ 第15题答案 第15题解析 如图,建立空间坐标系,设正方形的边长为,则,,,‎ 设,则,,‎ 令,‎ ‎.‎ 第16题答案 第16题解析 由图可得:,因为,所以点在曲线上,又函数满足:,所以函数的图象关于点对称,所以点关于点对称的点也在函数的图象上,所以点为点,又函数的图象在点处的切线与在点处的切线也关于点对称,所以两切线平行.即:,所以函数在点的切线方程为:,即:.‎ 第17题答案 略 第17题解析 ‎(1)∵,∴,,∵,∴切线方程为,即.‎ ‎(2)∵,∴,即,.当时,为增区间;当时,为增区间,为减区间.‎ 第18题答案 见解析;‎ 第18题解析 ‎(1)由消去,并整理得①,‎ ‎.‎ ‎∵直线与椭圆有公共点,‎ ‎∴,可解得:‎ 故所求实数的取值范围为.‎ ‎(2)设直线与椭圆的交点为,.‎ 由①得:, ,‎ ‎.‎ 当时,直线被椭圆截得的弦长为.‎ 第19题答案 ‎（1）‎ ‎（2）或 第19题解析 ‎(1)依题意，，，，‎ ‎∴双曲线的方程为.‎ ‎(2)设，，由(1)知．‎ 易验证当直线斜率不存在时不满足题意，故可设直线：，‎ 由，消元得，‎ 时，，，，‎ 的面积.‎ 得，则.‎ 所以直线的方程为或.‎ 第20题答案 略 第20题解析 ‎(1)取中点为原点,为轴,在平面内过作的平行线为轴,为轴,建立如图所示空间直角坐标系,‎ 则,,,,,,‎ ‎,,,,‎ ‎∴,,∴,,‎ 又,∴平面.‎ ‎(2)∵平面,∴是平面的法向量,‎ 设平面的法向量,,,‎ 则,取,得,‎ 设二面角的平面角为,则,‎ ‎∴,∴二面角的正弦值为.‎ ‎(3)是平面的法向量,向量,‎ ‎∴点到平面的距离为.‎ 第21题答案 见解析.‎ 第21题解析 ‎(1)的定义域为,,‎ ‎①当时,,∴的减区间为,无增区间.‎ ‎②当时,令得;令得;‎ ‎∴的单调递增区间为,单调递减区间为.‎ ‎(2)∵,即,‎ ‎∵,∴,‎ 设,,‎ 显然在上是减函数,,‎ ‎∴当时,,是增函数;‎ 当时,,是减函数,‎ ‎∴的最大值为,∴.‎ 第22题答案 ‎(1)函数在上单调递増; (2)见解析.‎ 第22题解析 ‎(1)由题可得,‎ 设,则,‎ 所以当时,在上单调递增,‎ 当时,在上单调递减,‎ 所以,因为,所以,即,‎ 所以函数在上单调递増.‎ ‎(2)由(1)知在上单调递増,因为,所以,‎ 所以存在,使得,即,即,‎ 所以函数在上单调递减,在上单调递増,‎ 所以当时 令,则恒成立,‎ 所以函数在上单调递减,所以,‎ 所以,即当时,‎ 故函数在上的最小值小于.‎