【数学】2018届一轮复习人教A版导数的概念与导数的计算学案

【数学】2018届一轮复习人教A版导数的概念与导数的计算学案

第1讲　导数的概念与导数的计算 最新考纲　1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数.‎ 知 识 梳 理 ‎1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 ‎(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝.‎ ‎(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).‎ ‎2.函数y＝f(x)的导函数 如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.记作f′(x)或y′.‎ ‎3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数)‎ f′(x)＝0‎ f(x)＝xα(α∈Q*)‎ f′(x)＝αxα－1‎ f(x)＝sin x f′(x)＝cos__x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin__x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0)‎ f′(x)＝axln__a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax (a＞0，a≠1)‎ f′(x)＝ ‎4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有：‎ ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；‎ ‎(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；‎ ‎(3)′＝(g(x)≠0).‎ ‎5.复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.(　　)‎ ‎(2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.(　　)‎ ‎(3)(2x)′＝x·2x－1.(　　)‎ ‎(4)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x.(　　)‎ 解析　(1)f′(x0)是函数f(x)在x0处的导数，(f(x0))′是常数f(x0)的导数即(f(x0))′＝0；(3)(2x)′＝2xln 2；‎ ‎(4)(e2x)′＝2e2x.‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2.函数y＝xcos x－sin x的导数为(　　)‎ A.xsin x B.－xsin x C.xcos x D.－xcos x 解析　y′＝(xcos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.‎ 答案　B ‎3.(选修2－2P18AT7改编)曲线y＝在x＝处的切线方程为(　　)‎ A.y＝0 B.y＝ C.y＝－x＋ D.y＝x 解析　∵y′＝，∴y′|x＝＝－，当x＝时，y＝，∴切线方程为y－＝－，即y＝－x＋.‎ 答案　C ‎4.(2017·西安月考)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝________.‎ 解析　y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，‎ 所以a＝3.‎ 答案　3‎ ‎5.(2017·丽水调研)如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f′(5)＝________；f(5)＝________.‎ 解析　f′(5)＝－1，f(5)＝－5＋8＝3.‎ 答案　－1　3‎ ‎6.(2017·舟山调研)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f′(1)e2x－2＋x2－‎2f(0)x，则f(0)＝________；f(x)＝________.‎ 解析　∵f(x)＝f′(1)e2x－2＋x2－‎2f(0)x，‎ ‎∴f′(x)＝f′(1)e2x－2＋2x－‎2f(0)，‎ ‎∴f′(1)＝f′(1)＋2－‎2f(0)，∴f(0)＝1，‎ 即1＝f′(1)e－2，∴f(x)＝e2x＋x2－2x.‎ 答案　1　e2x＋x2－2x 考点一　导数的运算 ‎【例1】 分别求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝exln x；(2)y＝x；‎ ‎(3)y＝x－sincos；(4)y＝ln.‎ 解　(1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋ex· ‎＝ex.‎ ‎(2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.‎ ‎(3)∵y＝x－sin x，∴y′＝1－cos x.‎ ‎(4)∵y＝ln＝ln(1＋2x)，‎ ‎∴y′＝··(1＋2x)′＝.‎ 规律方法　求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有：‎ ‎(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；‎ ‎(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；‎ ‎(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；‎ ‎(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；‎ ‎(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；‎ ‎(6)复合函数：由外向内，层层求导.‎ ‎【训练1】 求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝x2sin x；‎ ‎(2)y＝；‎ ‎(3)y＝xsincos；‎ ‎(4)y＝ln(2x－5).‎ 解　(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.‎ ‎(2)y′＝′＝ ‎＝－.‎ ‎(3)∵y＝xsincos ‎＝xsin(4x＋π)＝－xsin 4x.‎ ‎∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x ‎＝－sin 4x－2xcos 4x.‎ ‎(4)令u＝2x－5，y＝ln u.‎ 则y′＝(ln u)′u′＝·2＝，‎ 即y′＝.‎ 考点二　导数的几何意义(多维探究)‎ 命题角度一　求切线的方程 ‎【例2－1】 (1)函数f(x)＝的图象在点(1，－2)处的切线方程为(　　)‎ A.2x－y－4＝0 B.2x＋y＝0‎ C.x－y－3＝0 D.x＋y＋1＝0‎ ‎(2)已知曲线y＝x3上一点P，则过点P的切线方程为________.‎ 解析　(1)f′(x)＝，则f′(1)＝1，‎ 故函数f(x)的图象在点(1，－2)处的切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.‎ ‎(2)设切点坐标为，由y′＝′＝x2，得 y′|x＝x0＝x，‎ 即过点P的切线的斜率为x，‎ 又切线过点P，若x0≠2，则x＝，解得x0＝－1，此时切线的斜率为1；若x0＝2，则切线的斜率为4.‎ 故所求的切线方程是y－＝x－2或y－＝4(x－2)，‎ 即3x－3y＋2＝0或12x－3y－16＝0.‎ 答案　(1)C　(2)3x－3y＋2＝0或12x－3y－16＝0‎ 命题角度二　求参数的值 ‎【例2－2】 (1)已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为(　　)‎ A.1 B‎.2 ‎ C.－1 D.－2‎ ‎(2)(2017·温州调研)若函数f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________.‎ 解析　(1)设切点为(x0，y0)，y′＝，所以有解得 ‎(2)∵f(x)＝x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋.‎ ‎∵f(x)存在垂直于y轴的切线，‎ ‎∴f′(x)存在零点，∴x＋－a＝0有解，‎ ‎∴a＝x＋≥2(x>0).‎ 答案　(1)B　(2)[2，＋∞)‎ 命题角度三　公切线问题 ‎【例2－3】 (2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a ‎＋2)x＋1相切，则a＝________.‎ 解析　法一　∵y＝x＋ln x，‎ ‎∴y′＝1＋，y′|x＝1＝2.‎ ‎∴曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.‎ ‎∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，‎ ‎∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行).‎ 由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.‎ 由Δ＝a2－‎8a＝0，解得a＝8.‎ 法二　同法一得切线方程为y＝2x－1.‎ 设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1).‎ ‎∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2).‎ 由 解得 答案　8‎ 规律方法　(1)求切线方程的方法：‎ ‎①求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；‎ ‎②求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.‎ ‎(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.‎ ‎【训练2】 若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9(a≠0)都相切，则a的值为(　　)‎ A.－1或－ B.－1或 C.－或－ D.－或7‎ 解析　由y＝x3得y′＝3x2，设曲线y＝x3上任意一点(x0，x)处的切线方程为y－x＝3x(x－x0)，将(1，0)代入得x0＝0或x0＝.‎ ‎①当x0＝0时，切线方程为y＝0，由得ax2＋x－9＝0，‎ Δ＝＋4·a·9＝0得a＝－.‎ ‎②当x0＝时，切线方程为y＝x－，由得ax2－3x－＝0，‎ Δ＝32＋4·a·＝0得a＝－1.‎ 综上①②知，a＝－1或a＝－.‎ 答案　A ‎[思想方法]‎ ‎1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导.‎ ‎2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点.‎ ‎3.处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.求导常见易错点：①公式(xn)′＝nxn－1与(ax)′＝axln a相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：′＝，(cos x)′＝sin x；③复合函数求导分不清内、外层函数.‎ ‎2.求切线方程时，把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题. ‎