【数学】2018届一轮复习人教A版高考中的圆锥曲线问题教案

【数学】2018届一轮复习人教A版高考中的圆锥曲线问题教案

‎（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 高考专题突破六 高考中的圆锥曲线问题教师用书 ‎1．(2015·课标全国Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)‎ A. B．2 C. D. 答案　D 解析　如图，设双曲线E的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则|AB|＝2a，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1,0)，‎ ‎∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，‎ ‎∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，‎ ‎∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin 60°＝a，‎ x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos 60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入－＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝ ＝，选D.‎ ‎2．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　由已知得焦点坐标为F(，0)，‎ 因此直线AB的方程为y＝(x－)，‎ 即4x－4y－3＝0.‎ 方法一　联立直线方程与抛物线方程化简得4y2－12y－9＝0，‎ 故|yA－yB|＝＝6.‎ 因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.‎ 方法二　联立方程得x2－x＋＝0，‎ 故xA＋xB＝.‎ 根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋ ‎＝12，‎ 同时原点到直线AB的距离为h＝＝，‎ 因此S△OAB＝|AB|·h＝.‎ ‎3．(2016·山西质量监测)已知A，B分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点，直线y＝kx(k>0)与椭圆交于C，D两点，若四边形ACBD的面积的最大值为2c2，则椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　设C(x1，y1)(x1>0)，D(x2，y2)，‎ 将y＝kx代入椭圆方程可解得x1＝，x2＝，‎ 则|CD|＝|x1－x2|＝.‎ 又点A(a,0)到直线y＝kx的距离d1＝，点B(0，b)到直线y＝kx的距离d2＝，‎ 所以S四边形ACBD＝d1|CD|＋d2|CD|‎ ‎＝(d1＋d2)·|CD|＝·· ‎＝ab·.‎ 令t＝，‎ 则t2＝＝1＋2ab· ‎＝1＋2ab·≤1＋2ab·＝2，‎ 当且仅当＝a2k，即k＝时，tmax＝，‎ 所以S四边形ACBD的最大值为ab.‎ 由条件，有ab＝2c2，‎ 即2c4＝a2b2＝a2(a2－c2)＝a4－a2c2,2c4＋a2c2－a4＝0,2e4＋e2－1＝0，‎ 解得e2＝或e2＝－1(舍去)，所以e＝，故选D.‎ ‎4．(2016·北京)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.‎ 答案　2‎ 解析　设B为双曲线的右焦点，如图所示．‎ ‎∵四边形OABC为正方形且边长为2，‎ ‎∴c＝|OB|＝2，‎ 又∠AOB＝，‎ ‎∴＝tan＝1，即a＝b.‎ 又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.‎ 题型一　求圆锥曲线的标准方程 例1　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋y2＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ 答案　A 解析　由e＝，得＝.①‎ 又△AF1B的周长为4，‎ 由椭圆定义，得4a＝4，得a＝，‎ 代入①，得c＝1，所以b2＝a2－c2＝2，‎ 故椭圆C的方程为＋＝1.‎ 思维升华　求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程．‎ ‎　(2015·天津)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0 )的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1 ‎ C.－y2＝1 D．x2－＝1‎ 答案　D 解析　双曲线－＝1的一个焦点为F(2,0)，‎ 则a2＋b2＝4，①‎ 双曲线的渐近线方程为y＝±x，‎ 由题意得＝，②‎ 联立①②解得b＝，a＝1，‎ 所求双曲线的方程为x2－＝1，选D.‎ 题型二　圆锥曲线的几何性质 例2　(1)(2015·湖南)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)(2016·天津)设抛物线(t为参数，p>0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为________．‎ 答案　(1)D　(2) 解析　(1)由条件知y＝－x过点(3，－4)，∴＝4，‎ 即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，‎ ‎∴25a2＝9c2，∴e＝.故选D.‎ ‎(2)由(p>0)消去t可得抛物线方程为y2＝2px(p>0)，‎ ‎∴F，‎ ‎|AB|＝|AF|＝p，‎ 可得A(p，p)．‎ 易知△AEB∽△FEC，∴＝＝，‎ 故S△ACE＝S△ACF＝×3p×p× ‎＝p2＝3，‎ ‎∴p2＝6，∵p>0，∴p＝.‎ 思维升华　圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系．掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力．‎ ‎　已知椭圆＋＝1(a>b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为____________．‎ 答案　－1‎ 解析　因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F为，设椭圆另一焦点为E.‎ 当x＝时，代入抛物线方程得y＝±p，‎ 又因为PQ经过焦点F，所以P且PF⊥OF.‎ 所以|PE|＝ ＝p，‎ ‎|PF|＝p，|EF|＝p.‎ 故2a＝ p＋p,2c＝p，e＝＝－1.‎ 题型三　最值、范围问题 例3　若直线l：y＝－过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m在y轴上的截距的取值范围．‎ 解　(1)由题意，可得c＝2，＝，‎ 所以a2＝3b2，且a2＋b2＝c2＝4，‎ 解得a＝，b＝1.故双曲线的方程为－y2＝1.‎ ‎(2)由(1)知B(0,1)，依题意可设过点B的直线方程为 y＝kx＋1(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ 由得(1－3k2)x2－6kx－6＝0，‎ 所以x1＋x2＝，‎ Δ＝36k2＋24(1－3k2)＝12(2－3k2)>0⇒00时，‎ ‎①若x＝3是方程的解，则f(3)＝0⇒k＝0⇒另一根为x＝0<，故在区间上有且仅有一个根，满足题意；‎ ‎②若x＝是方程的解，则f＝0⇒k＝±⇒另外一根为x＝，<≤3，故在区间上有且仅有一根，满足题意；‎ ‎③若x＝3和x＝均不是方程的解，则方程在区间上有且仅有一个根，只需f·f(3)<0⇒－b>0)的离心率为，且过点(1，)．若点M(x0，y0)在椭圆C上，则点N(，)称为点M的一个“椭点”．‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程．‎ ‎(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．‎ 解　(1)由题意知e＝＝，∴e2＝＝＝，‎ 即a2＝b2，又＋＝1，‎ ‎∴a2＝4，b2＝3，∴椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)△AOB的面积为定值．理由如下：‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(，)，Q(，)，‎ ‎∵以PQ为直径的圆经过坐标原点，‎ ‎∴·＝0，即＋＝0.‎ 由得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，‎ Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0，‎ 得3＋4k2－m2>0.‎ x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ y1y2＝(kx1＋m)·(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝，‎ 代入＋＝0，即y1y2＝－x1x2，得 ＝－·，即2m2－4k2＝3，‎ ‎∴|AB|＝·|x1－x2|＝·＝ ‎·，由点O到直线AB的距离公式得d＝，‎ ‎∴S△AOB＝|AB|d＝··＝，‎ 把2m2－4k2＝3代入上式，得S△AOB＝.‎ ‎1．(2015·陕西)如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，经过点A(0，－1)，且离心率为.‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.‎ ‎(1)解　由题设知＝，b＝1，‎ 结合a2＝b2＋c2，解得a＝，‎ 所以椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)证明　由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，‎ 得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由已知Δ＞0，‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 从而直线AP，AQ的斜率之和 ‎ kAP＋kAQ＝＋＝＋ ‎＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k) ‎＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.‎ ‎2．(2016·金华十校联考)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上，下顶点分别为A，B，右焦点为F，点P(，)在椭圆C上，且OP⊥AF.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设不经过顶点A，B的直线l与椭圆交于两个不同的点M(x1，y1)，N(x2，y2)，且＋＝2，求椭圆右顶点D到直线l距离的取值范围．‎ 解　(1)∵点P(，)，∴kOP＝，‎ 又∵AF⊥OP，－×＝－1，∴c＝b，∴a2＝4b2.‎ 又点P(，)在椭圆上，‎ ‎∴＋＝＋＝＝1，‎ 解得a2＝4，b2＝1，故椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)(ⅰ)当直线l的斜率不存在时，方程为x＝1，此时d＝1.‎ ‎(ⅱ)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠±1)，‎ 联立椭圆方程得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，‎ 由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 由Δ>0⇒4k2－m2＋1>0，①‎ 由＋＝2⇒x1＋x2＝2x1x2⇒＝2，‎ 即km＝1－m2⇒k＝－m(m≠0)，②‎ 把②式代入①式得m2>或00，n>0)，且曲线C过A(，)，B(，)两点，O为坐标原点．‎ ‎(1)求曲线C的方程；‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线C上两点，且OM⊥ON，求证：直线MN恒与一个定圆相切．‎ ‎(1)解　由题可得解得m＝4，n＝1.‎ 所以曲线C的方程为y2＋4x2＝1.‎ ‎(2)证明　由题得y＋4x＝1，y＋4x＝1，x1x2＋y1y2＝0，‎ 原点O到直线MN的距离 d＝＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ .‎ 由x1x2＋y1y2＝0，得 xx＝yy＝(1－4x)(1－4x)‎ ‎＝1－4(x＋x)＋16xx，‎ 所以xx＝(x＋x)－，‎ d＝ ‎＝ ＝，‎ 所以直线MN恒与定圆x2＋y2＝相切．‎ ‎4．已知椭圆＋＝1的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两点．‎ ‎(1)求该椭圆的离心率；‎ ‎(2)设直线AB和AC分别与直线x＝4交于点M，N，问：x轴上是否存在定点P使得MP⊥NP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ 解　(1)由椭圆方程可得a＝2，b＝，‎ 从而椭圆的半焦距c＝＝1.‎ 所以椭圆的离心率为e＝＝.‎ ‎(2)依题意，直线BC的斜率不为0，‎ 设其方程为x＝ty＋1.‎ 将其代入＋＝1，整理得(4＋3t2)y2＋6ty－9＝0.‎ 设B(x1，y1)，C(x2，y2)，‎ 所以y1＋y2＝，y1y2＝.‎ 易知直线AB的方程是y＝(x＋2)，‎ 从而可得M(4，)，同理可得N(4，)．‎ 假设x轴上存在定点P(p,0)使得MP⊥NP，‎ 则有·＝0.‎ 所以(p－4)2＋＝0.‎ 将x1＝ty1＋1，x2＝ty2＋1代入上式，整理得 ‎(p－4)2＋＝0，‎ 所以(p－4)2＋＝0，‎ 即(p－4)2－9＝0，解得p＝1或p＝7.‎ 所以x轴上存在定点P(1,0)或P(7,0)，‎ 使得MP⊥NP.‎ ‎5．(2016·浙江名校第一次联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点为F1，F2，离心率为e.直线l：y＝ex＋a与x轴，y轴分别交于点A，B两点，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设＝λ.‎ ‎(1)若λ＝，求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)若△PF1F2为等腰三角形，求λ的值．‎ 解　(1)因为A，B分别是直线l：y＝ex＋a与x轴，y轴的交点，‎ 所以A，B的坐标分别为(－，0)，(0，a)，‎ 由　得 所以点M的坐标是(－c，)，‎ 由＝λ，得(－c＋，)＝λ(，a)．‎ 即解得λ＝1－e2，因为λ＝，所以e＝.‎ ‎(2)因为PF1⊥l，所以∠PF1F2＝90°＋∠BAF1为钝角，‎ 要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|＝|F1F2|，‎ 即|PF1|＝c.设点F1到l的距离为d，‎ 由|PF1|＝d＝＝＝c，得 ＝e，‎ 所以e2＝，于是λ＝1－e2＝.‎ 即当λ＝时，△PF1F2为等腰三角形．‎