2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4

2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4

4.5.2 　用二分法求方程的近似解 必备知识 · 自主学习 1. 二分法的概念 (1) 二分法：对于在区间 [a,b] 上图象连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y=f(x) ， 通过不断地把它的零点所在 区间 _________ ，使所得区间的两个端点逐步逼近 零点，进而得到零点 _______ 的方法叫做二分法 . 导思 1. 求函数的零点时，如果方程 f(x)=0 无法用所学的方法求根，那么怎样求函数的零点？ 2. 应用二分法求函数的零点有哪些步骤？ 一分为二 近似值 (2) 本质：利用零点存在定理，将零点所在的范围尽量缩小，得到符合一定精确度要求的零点的近似值 . (3) 应用：求函数的零点、方程的根的近似解 . 【 思考 】 为什么能用二分法求方程的近似解？ 提示： 方程的根即为对应函数的零点 . 2. 用二分法求函数零点近似值的步骤 (1) 步骤：给定精确度 ε ，用二分法求函数 y=f(x) 零点 x 0 的近似值的一般步骤如下： ①确定零点 x 0 的初始区间 [a ， b] ，验证 f(a)f(b)<0. ② 求区间 (a ， b) 的中点 c. ③ 计算 f(c) ，并进一步确定零点所在的区间： (i) 若 f(c)=0( 此时 x 0 =c) ，则 c 就是函数的零点； (ii) 若 f(a)f(c)<0( 此时 x 0 ∈(a ， c)) ，则令 b=c ； (iii) 若 f(c)f(b)<0( 此时零点 x 0 ∈(c ， b)) ，则令 a=c. ④ 判断是否达到精确度 ε ：若 |a-b|<ε ，则得到零点近似值 a( 或 b) ，否则重复步骤②～④ . (2) 本质：计算过程程序化，算法思想的具体体现 . (3) 应用：利用二分法的步骤，可以设计程序框图，用有关算法语言编写程序，用信息技术求方程的近似解 . 【 思考 】 零点的近似解只能是区间的端点 a 或 b 吗？ 提示： 不是，区间 [a ， b] 中任意一个值都是零点 x 0 满足精确度 ε 的近似值 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1) 任何函数的零点都可以用二分法求得 . ( 　　 ) (2) 用二分法求出的函数零点就是精确值 . ( 　　 ) (3) 用“二分法”求近似解时，精确度 ε 越大，零点的精确度越高 . ( 　　 ) 提示： (1)×. 函数需满足在区间 [a ， b] 上连续不断且 f(a)f(b)<0 ，才能用二分法求零点 . (2)×. 用二分法求出的函数零点可能是精确值，也可能是近似值 . (3)×. 精确度 ε 越大，零点的精确度越低 . 2. 下列图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 A. 只有 A 中图象与 x 轴交点两侧的函数值不变号，都是正值，因此不能用二分法 . 3.( 教材二次开发：例题改编 ) 若函数 f(x)=x 3 +x 2 -2x-2 的一个零点 ( 正数 ) 附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表： 则方程 x 3 +x 2 -2x-2=0 的一个近似解 ( 精确度 0.04) 为 _______.  x 1 1.5 1.25 1.375 1.437 5 1.406 25 f(x) -2 0.625 -0.984 -0.260 0.162 -0.054 【 解析 】 因为 f(1)f(1.5)<0 ，所以 x 0 ∈(1 ， 1.5) ； 因为 f(1.406 25)≈-0.054<0 ， 又 f(1.437 5)≈0.162>0 ， 所以 x 0 ∈(1.406 25 ， 1.437 5) ，此时 |1.406 25-1.437 5|=0.031 25<0.04. 所以 x 0 可以是 [1.406 25 ， 1.437 5] 之间的任意一个数，故取 x 0 =1.406 25. 答案： 1.406 25( 答案不唯一 ) 关键能力 · 合作学习 类型一　二分法的概念应用 ( 直观想象、逻辑推理 ) 【 题组训练 】 1.(2020· 周口高一检测 ) 下列函数中能用二分法求零点的是 ( 　　 ) 2. 已知 f(x)=x 2 +6x+c 有零点，但不能用二分法求出，则 c 的值是 ( 　　 ) A.9 B.8 C.7 D.6 3. 下列关于函数 y=f(x) ， x∈[a ， b] 的叙述中， ①二分法既是一种求值方法，又是一种解决实际问题的思想，有着广泛应用； ②若 x 0 是 f(x) 在 [a ， b] 上的零点，则可用二分法求 x 0 的近似值； ③用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位； ④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值 . 其中正确的个数为 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 【 解析 】 1. 选 C. 只要函数图象有部分在 x 轴的上下两侧，并且没有间断，就能用二分法求函数零点，观察所给的四个图象，满足条件的只有 C. 2. 选 A.f(x)=x 2 +6x+c 有零点，但不能用二分法求出， 则 x 2 +6x+c=0 ，有两个相等的实数根， 则 Δ=36-4c=0 ，解得 c=9. 3. 选 B. 二分法除了可以求函数的零点，方程的根外，还广泛应用于实际问题中，如在一个串联多焊点的故障检测中，要查出哪个焊点出现故障时，就可以用二分法，以尽快找到故障焊点 . 正确；②中函数 f(x) 不一定连续，且无法判断是否有 f(a) · f(b)<0 ，错误；③中利用信息技术，步骤循环进行，可以得到小数点后的任一位，正确； ④中用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，错误 . 【 解题策略 】 运用二分法求函数的零点应具备的两个条件 (1) 函数图象在零点附近连续不断 . (2) 在该零点左右函数值异号 . 只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点 . 【 补偿训练 】 　　已知函数 f(x) 的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解出零点的个数分别为 ( 　　 ) 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 A.4 ， 4 B.3 ， 4 C.5 ， 4 D.4 ， 3 【 解析 】 选 D. 由图象可知，函数有 4 个零点，能用二分法求出的有 3 个 . 类型二　用二分法求函数零点的近似解 ( 逻辑推理 ) 【 典例 】 1.( 多选题 ) 用二分法求函数 f(x)=5 x +7x-2 的一个零点，其参考数据 如下： 根据上述数据，可得 f(x)=5 x +7x-2 的一个零点近似值 ( 精确度 0.05) 为 ( 　　 ) A.0.625 B.0.093 75 C.0.125 D.0.096 x 0.062 5 0.093 75 0.125 0.156 25 0.187 5 f(x) -0.456 7 -0.180 9 0.097 8 0.379 7 0.664 7 2. 用二分法求方程 2 x +3x-7=0 在区间 [1 ， 3] 内的根，取区间的中点为 x 0 =2 ，那么下一个有根的区间是 _______.  【 解题导引 】 1. 首先确定零点所在的区间，再根据相关的概念判断所取的零点是否正确 . 2. 依据 f(1) ， f(2) ， f(3) 的符号作出判断 . 【 解析 】 1. 选 BCD. 由参考数据知 f(0.093 75)≈-0.180 9<0 ， f(0.125)≈0.097 8>0 ，即 f(0.093 75) · f(0.125)<0 且 0.125-0.093 75=0.031 25<0.05. 所以 f(x)=5 x +7x-2 的一个零点的近似值可取为 0.093 75 ， 0.125 ， 0.096. 2. 设 f(x)=2 x +3x-7 ， f(1)=2+3-7=-2<0 ， f(3)=10>0 ， f(2)=3>0 ， f(x) 零点所在的区间为 (1 ， 2) ，所以方程 2 x +3x-7=0 下一个有根的区间是 (1 ， 2). 答案： (1 ， 2) 【 解题策略 】 二分法求函数零点的关注点 (1) 验证零点所在的区间是否符合精确度要求 . (2) 区间内的任一点都可以作为零点的近似解，一般取端点作为零点的近似解 . 【 跟踪训练 】 1. 用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间 (a ， b) 内， 当 |a-b|<ε(ε 为精确度 ) 时，函数零点近似值 x 0 = 与真实零点的误差最大 不超过 ( 　　 ) A. B. C.ε D.2ε 【 解析 】 选 B. 真实零点离近似值 x 0 最远即靠近 a 或 b ，而 b- 因此误差最大不超过 . 2. 在用二分法求函数 f(x) 在 (0 ， 1) 内的零点的近似解时，经计算 f(0.625)< 0 ， f(0.75)>0 ， f(0.687 5)<0 ，则可得出方程零点的一个近似解为 _______( 精确度 0.1).   【 解析 】 因为 | 0.75-0.687 5|=0.062 5<0.1 ， 所以 (0.687 5 ， 0.75) 内的任意一个值都可作为方程的近似解 . 答案： 0.75( 答案不唯一 ) 类型三　用二分法求方程的近似解 ( 数学运算、直观想象 ) 　角度 1 　求方程的近似解  【 典例 】 用二分法求方程 x 3 +3x-5=0 的近似解 ( 精确度为 0.1). 【 思路导引 】 设出方程相应的函数，按照二分法求函数零点的步骤计算 . 【 解析 】 设函数 f(x)=x 3 +3x-5 ， 因为函数 y=x 3 与 y=3x-5 在 (-∞ ， +∞) 上都是增函数，所以 f(x) 在 (-∞ ， +∞) 上是单调递增的， 又因为 f(0)=0+0-5=-5 ， f(1)=1+3-5=-1 ， f(2)=8+6-5=9 ， 所以 f(x) 在区间 (1 ， 2) 内存在零点 x 0 ， 利用二分法可得表， 方程 x 3 +3x-5=0 在精确度为 0.1 的要求下的一个近似值为 1.125. 区间 中点 m f(m) 的符号 区间长度 (1 ， 2) 1.5 + 1 (1 ， 1.5) 1.25 + 0.5 (1 ， 1.25) 1.125 - 0.25 (1.125 ， 1.25) 1.187 5 + 0.125 (1.125 ， 1.187 5) 1.156 25 + 0.062 5 【 变式探究 】 本例中，若精确度变为 0.001 ，则要达到精确度要求至少要计算多少次？ 【 解析 】 设至少需要计算 n 次，则 n 满足 <0.001 ， 即 2 n >1 000 ，因为 2 10 =1 024 ，所以至少需要计算 10 次 . 角度 2 　已知方程根的个数求参数范围  【 典例 】 (2020· 南通高一检测 ) 已知函数 f(x)= 设方程 f(x)- a=0 有 4 个不同的根，则实数 a 的取值范围是 _______.  【 思路导引 】 将方程的根的个数变成函数的交点的个数，利用图象解决 . 【 解析 】 方程 f(x)-a=0 有 4 个不同的根， 即为 f(x)=a 有 4 个不等实根，作出 y=f(x) 的图象，可得 ≤ a<1 时， y=f(x) 与 y=a 的图象有 4 个交点 . 答案： 【 解题策略 】 1. 关于二分法求方程的根 设出方程对应的函数，函数的零点即为方程的根，因此只需利用二分法求出对应函数的零点即可 . 2. 关于利用方程的根求参数的范围 (1) 首先将方程变形为等号两边均为初等函数的等式，设出两个函数，作出两个函数的图象，根的个数即为图象交点的个数，利用图象确定参数的范围； (2) 解题思维过程：方程解的个数⇒函数交点个数⇒方程根的个数，方法是数形结合法 . 【 题组训练 】 1. 利用二分法求方程 log 3 x=3-x 的近似解，初始区间可以取 ( 　　 ) A.(0 ， 1) B.(1 ， 2) C.(2 ， 3) D.(3 ， 4) 【 解析 】 选 C. 设 f(x)=log 3 x-3+x ， 因为当连续函数 f(x) 满足 f(a) · f(b)<0 时， f(x) 在区间 (a ， b) 上有零点，即方程 log 3 x=3-x 在区间 (a ， b) 上有解，又因为 f(2)=log 3 2-1<0 ， f(3)=log 3 3-3+3=1>0 ，故 f(2) · f(3)<0 ， 故方程 log 3 x=3-x 在区间 (2 ， 3) 上有解 . 2.(2020· 吉林高一检测 ) 已知函数 f(x)= 若函数 g(x)=f(x)-2x 恰有 2 个不同的零点，则实数 a 的取值范围为 _______.  【 解析 】 因为 g(x)=f(x)-2x= 所以 g(x) 的图象如图： 因为 g(x) 恰有 2 个不同的零点，所以 g(x) 图象与 x 轴有两个不同的交点 . 因为若 x≤a 时， g(x) 有两个零点， 则令 x 2 +4x+3=0 ，得 x=-3 或 x=-1 ； 则 x>a 时，没有零点，所以 a≥3. 因为若 x≤a 时， g(x) 有一个零点； 则 x>a 时， g(x)=3-x 有一个零点，所以 -3≤a<-1. 答案： [-3 ， -1)∪[3 ， +∞). 课堂检测 · 素养达标 1. 用二分法求函数 y=f (x) 在区间 [2 ， 4] 上的唯一零点的近似值时，验证 f(2)·f(4)<0 ，取区间 (2 ， 4) 的中点 x 1 = =3 ，计算得 f(2)·f(x 1 )<0 ，则 此时零点 x 0 所在的区间是 ( 　　 ) A.(2 ， 4) B.(2 ， 3) C.(3 ， 4) D. 无法确定 【 解析 】 选 B. 由题意可知：对于函数 y=f(x) 在区间 [2 ， 4] 上，有 f(2) · f(4) <0 ， 利用函数的零点存在定理，所以函数在 (2 ， 4) 上有零点 . 取区间的中点 x 1 = =3 ， 因为计算得 f(2) · f(x 1 )<0 ，所以利用函数的零点存在定理，函数在 (2 ， 3) 上 有零点 . 2. 已知函数 y=f(x) 为 [0 ， 1] 上的连续函数，且 f(0)·f(1)<0 ，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到 0.1 ，则需对区间至少等分的次数为 ( 　　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 【 解析 】 选 C. 设需计算 n 次，则 n 满足 <0.1 ， 即 2 n >10. 故计算 4 次就可满足要求，所以将区间等分的次数最少为 4 次 . 3.( 教材二次开发：例题改编 ) 用二分法求函数 f(x)=3 x -x-4 的一个零点，其参考数据如下： 据此数据，可得方程 3 x -x-4=0 的一个近似解 ( 精确度为 0.01) 可取 _______.  x 1.600 0 1.587 5 1.575 0 1.562 5 1.556 2 1.550 0 f(x) 的近 似值 0.200 0.133 0.067 0.003 -0.029 -0.060 【 解析 】 f(1.562 5)≈0.003>0 ， f(1.556 2)≈-0.029<0 ，方程 3 x -x-4=0 的一个近似解在 (1.556 2 ， 1.562 5) 上，且满足精确度为 0.01 ，所以所求近似解可取为 1.562 5. 答案： 1.562 5( 答案不唯一 ) 4. 用二分法求方程 x 3 -2x-5=0 在区间 [2 ， 3] 内的实根，取区间中点 x 0 =2.5 ，那么下一个有根区间为 _______.  【 解析 】 因为 f(2)<0 ， f(2.5)>0 ， f(3)>0 ， 所以 f(2)f(2.5)<0 ， f(2.5)f(3)>0. 所以下一个有根区间应为 (2 ， 2.5). 答案： (2 ， 2.5) 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 1. 定义 2. 步骤 3. 应用 2. 逼近思想：用二分法求方程近似解即是逼近思想的应用 1. 转化法：把方程的解转化为函数的零点 求方程的近似解时要注意精确度 逻辑推理：通过二分法求方程的近似解，培养逻辑推理的核心素养