河南省信阳市2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版含解析

河南省信阳市2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2019-2020学年普通高中高二上学期期末教学质量检测 数学试题（理）‎ 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.某食品广告词为“幸福的人们都拥有”．初听起来，这似乎只是普通的赞美之词，然而它的实际效果却很大．原来这句广告词的等价命题是(　　)‎ A. 不拥有的人们不一定幸福 B. 不拥有的人们可能幸福 C. 拥有的人们不一定幸福 D. 不拥有的人们不幸福 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 本题考查原命题与逆否命题的关系．‎ 解答：根据原命题与逆否命题等价 原命题为：幸福的人们都拥有 逆否命题为：不拥有人们不幸福 故选D．‎ ‎2.己知，，，若三向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为（ ）‎ A. B. 9 C. D. 0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件可得共面，根据共面向量的基本定理，即可求出结论.‎ ‎【详解】三向量不能构成空间的一个基底，共面，‎ ‎，，，‎ 存在唯一的实数对，使得，‎ - 23 -‎ 解得.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查空间向量共面的坐标关系，属于基础题.‎ ‎3.《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（ ）‎ A. 15 B. 16 C. 18 D. 21‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：首先根据题意，先确定其为一个等差数列的问题，已知公差、项数与和，求某项的问题，在求解的过程中，经分析，先确定首项，之后根据其和建立等量关系式，最后再利用通项公式求得第五项，从而求得结果.‎ 详解：设第一个人分到的橘子个数为，‎ 由题意得，解得，‎ 则，故选C.‎ 点睛：该题所考查的是有关等差数列的有关问题，在求解的过程中，注意分析题的条件，已知的量为公差、项数与和、而对于等差数列中，这五个量是知三求二的，所以应用相应的公式求得对应的量即可.‎ ‎4.若双曲线：的实轴长是虚轴长的2倍，则其渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 23 -‎ ‎【分析】‎ 由双曲线实轴长是虚轴长的2倍，可得的值，进而可求得双曲线的渐近线方程.‎ ‎【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为，‎ 又双曲线的实轴长为，虚轴长为，则，即，‎ 所以双曲线的渐近线方程为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的渐近线方程，属于基础题.‎ ‎5.已知，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 给实数a，b在其取值范围内任取2个值a＝3，b＝-1，代入各个选项进行验证，A、C、D都不成立．‎ ‎【详解】∵实数a，b满足，‎ 若a＝3，b＝﹣1，则 A、C、D都不成立，只有B成立，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．‎ ‎6.已知的三个内角分别为，，，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合余弦函数在上的单调性，分别判断充分性与必要性，可得出答案.‎ - 23 -‎ ‎【详解】先来判断充分性：的三个内角分别为，，，由可得，‎ 因为函数在上单调递减，所以，故充分性成立；‎ 再来判断必要性：的三个内角分别为，，，且，，，‎ 因为函数在上单调递减，且，所以，即，故必要性成立.‎ 所以“”是“”的充分必要条件.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查命题充分性与必要性，考查余弦函数单调性的应用，考查学生的推理论证能力，属于基础题.‎ ‎7.等比数列的前项和为，公比为，若，，则（ ）‎ A. B. 2 C. D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析可得等比数列的公比，进而由等比数列的通项公式可得，解可得，又由，解可得的值，即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，等比数列中，若，则，‎ 若，则，解可得，则，‎ 又由，则有，解可得；‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的前项和公式的应用，关键是掌握等比数列的前项和的性质．‎ - 23 -‎ ‎8.如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，， ，则线段的长为（ ）‎ A. B. 1 C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，两边平方，利用数量积的运算法则及数量积公式能求出的值，从而可得结果.‎ ‎【详解】平行六面体中，‎ 底面是边长为1的正方形，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 线段的长为，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用空间向量求线段的长，考查向量数量积的运算法则，属于中档题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.‎ ‎9.已知椭圆（）的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）‎ - 23 -‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设的中点坐标为，代入椭圆方程相减，利用，，求出直线的斜率，与斜率相等，得出等量关系，再由关系，即可求解.‎ ‎【详解】设，过点的直线交椭圆于，两点，‎ 若的中点坐标为，所以直线斜率，‎ 代入椭圆方程得，‎ 两式相减得 ‎，‎ 所求的椭圆方程为.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系，注意“点差法”的应用，减少计算量，属于中档题.‎ ‎10.设，若恒成立，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ - 23 -‎ 由于，则= ‎ 当2m=1-2m即m=时取等号；‎ 所以恒成立，转化为的最小值大于等于，即 ‎ 故选D ‎ ‎11.已知点是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于，两点（点在轴上方），与轴的正半轴相交于点，点是抛物线不同于，的点，若，则（ ）‎ A. 1:2:4 B. 2:3:4 C. 2:4:5 D. 2:3:6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过分别做轴的垂线，垂足为，可得为中点，利用 ‎，求出，再由，结合抛物线定义求出，即可求出结论.‎ ‎【详解】过分别做轴的垂线，垂足为轴，‎ 点是抛物线不同于，的点，，‎ 所以为中点，，，‎ 到准线的距离为，根据抛物线定义可得 ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ - 23 -‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，利用几何法求线段长度关系，注意抛物线定义在解题中的应用，属于中档题.‎ ‎12.记为最接近的整数，如：，，，，，…，若，则正整数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 为最接近的整数，求出满足的的个数，进而求出时倒数和，根据已知倒数和确定对应的，即可求出结论.‎ ‎【详解】设，‎ ‎，则，‎ 故满足的的值共有个，‎ 分别为 且，‎ - 23 -‎ ‎，‎ 所以是的最后一项，‎ 所以.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查数列与函数的关系，以及数列的应用，注意分组求和在解题中的运用，属于较难题.‎ 二、填空题：‎ ‎13.若，满足约束条件，则的最小值为______.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出约束条件对应的可行域，当目标函数过点时，取得最小值，求解即可.‎ ‎【详解】作出约束条件对应的可行域，如下图阴影部分，联立，可得交点为，‎ 目标函数可化为，当目标函数过点时，取得最小值，即.‎ 故答案为：0.‎ ‎【点睛】本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.‎ - 23 -‎ ‎14.已知命题，使得，命题，，若为真命题，则实数的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 为真命题，分别求出为真时的范围，取交集即为所求.‎ ‎【详解】命题使得，‎ 真，只需，‎ 命题，，‎ 真，只需.‎ 当为真命题时，真且真，，‎ 所以的取值范围是.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查复合命题真假与简单命题真假关系，根据“恒”“能”成立求出参数范围，属于基础题.‎ ‎15.如图，某校一角读书亭的高为，在该读书亭的正东方向有一个装饰灯塔，在它们之间的地面点（、、三点共线）处测得读书亭顶部与灯塔顶部的仰角分别是和，在读书亭顶部测得灯塔顶部的仰角为，则灯塔的高为______.‎ - 23 -‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，可得，，在中，由正弦定理可得，，进而可求出的值.‎ ‎【详解】由题意，设，在直角中，，则，‎ 在直角中，，则，‎ 在中，，，则，‎ 由正弦定理，，即，解得.‎ 故答案为：60.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.‎ ‎16.如图，已知椭圆，点, 分别是椭圆的上、下顶点，点是直线上的一个动点（与轴交点除外），直线与椭圆交于另一点，直线 - 23 -‎ ‎，的斜率的乘积恒为，则椭圆的离心率为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出，根据与可得到，即可计算出，‎ ‎，再根据点在椭圆上与，求出，再结合 化简即可得出答案．‎ ‎【详解】设点的坐标为，有，可得点的坐标为，点的坐标为，直线的斜率为，可得直线的方程为，代入，可求得点的坐标为；直线的斜率为，‎ 则直线的斜率为，有，‎ 可得，有，得．‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查根据椭圆中两直线斜率为定值求其离心率，设出点，用点表示出与是解本题的关键，属于中档题．‎ 三、解答题：‎ ‎17.平面四边形中，，，，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理可以得到，根据题设条件，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得；‎ ‎（2）根据题设条件以及第一问的结论可以求得，之后在中，用余弦定理得到所满足的关系，从而求得结果.‎ ‎【详解】（1）在中，由正弦定理得.‎ 由题设知，，所以.‎ 由题设知，，所以；‎ ‎（2）由题设及（1）知，.‎ 在中，由余弦定理得 ‎.‎ 所以.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.‎ ‎18.已知是单调递减等比数列的前项和，，且，，成等差数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，数列的前项和满足，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据，，成等差数列，列出等式，结合与关系，求出的公比，即可求解；‎ ‎（Ⅱ）求出的通项公式，用裂项相消法求出的前项和，结合已知，即可求出的值.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）设数列的公比为，由 ‎ 得，即，‎ 是单调递减数列，，又，.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，‎ ‎，‎ ‎，‎ - 23 -‎ 或，，.‎ ‎【点睛】本题考查等差中项的应用，考查等比数列项的基本量运算，注意前项和与通项间的关系应用，考查裂项相消法求和，属于中档题.‎ ‎19.已知三棱柱中，，侧面底面，是的中点，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：为直角三角形；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）取中点，连接，；易知为等边三角形，从而得到，结合，可根据线面垂直判定定理得到平面，由线面垂直性质知，由平行关系可知，从而证得结论；（Ⅱ）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据空间向量法可求得平面和平面的法向量的夹角的余弦值，根据所求二面角为钝二面角可得到最终结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）取中点，连接，‎ - 23 -‎ 在中，， 是等边三角形 又为中点 ‎ 又，，平面 平面 平面 ‎ 又 为直角三角形 ‎ ‎（Ⅱ）以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系：‎ 令 则，，，，‎ ‎，，，‎ 设平面的法向量为 ‎，令，则， ‎ 又平面的一个法向量为 二面角为钝二面角 二面角的余弦值为：‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题，涉及到线面垂直判定定理和性质定理的应用；证明立体几何中线线垂直关系的常用方法是通过证明线面垂直得到线线垂直的关系.‎ ‎20.党的“十八大”之后，做好农业农村工作具有特殊重要的意义.国家为了更 好地服务于农民、开展社会主义新农村工作，派调查组到农村某地区考察.该地区有100户农 民，且都从事蔬菜种植.据了解，平均每户的年收入为6万元.为了调整产业结构，当地政府决 定动员部分农民从事蔬菜加工.据统计，若动员户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续 从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为万元.‎ ‎（1）在动员户农民从事蔬菜加工后，要使剩下户从事蔬菜种植的所有农民总年收 入不低于动员前100户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入，求的取值范围；‎ ‎（2）在（1）的条件下，要使这户农民从事蔬菜加工的总年收入始终不高于户从事蔬菜种植的所有农民年总年收入，求的最大值.（参考数据：)‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）546‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意得到解出不等式即可；（2）从事蔬菜种植的所有农民年总年收入万元，依题意得 恒成立变量分离转化为对勾函数，由函数的单调性得到最值即可.‎ ‎【详解】（1）由题意得 ‎ ‎， ‎ 又，所以()； ‎ - 23 -‎ ‎（2）户农民从事蔬菜加工的总年收入为万元，从事蔬菜种植的所有农民年总年收入万元，依题意得 恒成立，‎ ‎，恒成立，在上递减，在递增，，， .‎ ‎【点睛】这个题目考查了函数的实际应用，这类题目重点是审清楚题目，根据条件列出式子，注意函数表达式的实际意义，最终通常需要采用函数的单调性等性质解决数值问题.‎ ‎21.已知右焦点为的椭圆与直线相交于两点，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）为坐标原点，是椭圆上不同的三点，并且为的重心，试探究的面积是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2) 的面积为定值 ‎【解析】‎ ‎（1）设，，则 ， ‎ ‎，即，①‎ - 23 -‎ ‎，，即，②‎ 由①②得，‎ 又，， ‎ 椭圆的方程为． ‎ ‎（2）设直线方程为：，‎ 由得，‎ 为重心，， ‎ 点在椭圆上，故有，‎ 可得， ‎ 而，‎ 点到直线的距离（是原点到距离的3倍得到），‎ ‎， ‎ 当直线斜率不存在时，，，，‎ 的面积为定值．‎ - 23 -‎ ‎22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（k为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求曲线C上的点到直线的距离的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）..（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）联想二倍角公式化弦为切的结构特征，即，结合，所以将参数方程化为，即可化为普通方程；‎ 展开，，代入，即可化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）将椭圆方程化为参数方程，利用辅助角公式，结合余弦函数的有界性，即可得出结论.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ），平方后得，‎ 又，的普通方程为.‎ ‎，即，‎ 将，代入即可得到.‎ ‎（Ⅱ）将曲线C化成参数方程形式为（为参数），‎ - 23 -‎ 则，其中 所以.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，注意消参方法，考查极坐标方程化直角坐标方程，应用参数方程求点到直线距离的范围，属于中档题.‎ ‎23.设函数，.‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）对任意，恒有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）分类讨论去绝对值，转化为解一元一次不等式；‎ ‎（Ⅱ），只需左式的最小值不小于右式即可，利用绝对值不等式的性质，求出左式的最小值，即可求解.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）当时，，‎ 化为或或，‎ 解得或或，‎ 所以的解集为或；‎ ‎（Ⅱ）‎ - 23 -‎ 当且仅当时，等号成立 由恒成立得 当时，不等式恒成立 当时，‎ 综上，的取值范围为 ‎【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，考查不等式恒成立求参数范围，注意绝对值不等式性质的应用，属于中档题.‎ - 23 -‎ ‎ ‎ - 23 -‎