江苏省启东中学2019-2020学年高一下学期期初考试数学试题(创新班)

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江苏省启东中学2019-2020学年高一下学期期初考试数学试题(创新班)

江苏省启东中学2019~2020学年度第二学期期初考试 高一创新班数学 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.在中,,,,则边上的中线的长为(  )‎ A.1 B. C.2 D.‎ ‎2.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、‎ 左面、右面”表示,如图是一个正方体的表面展开图,若图中 ‎“努”在正方体的后面,那么这个正方体的前面是(  )‎ A.定 B.有 C.收 D.获 ‎3.直线的倾斜角的范围是(  )‎ A.,, B.,,‎ ‎ C., D.,‎ ‎4.正方体中,为底面的中心,为棱的中点,则下列结论中错 误的是(  )‎ ‎ A.平面 B.平面 ‎ ‎ C.异面直线与所成角为 D.点到平面的距离为 ‎ ‎5.已知直线是△ABC中∠C的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-4,2),‎ ‎(3,1),则点C的坐标为(  )‎ ‎ A.(-2,4) B.(-2,-4) C.(2,4) D.(2,-4)‎ ‎6.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水 ‎ 柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为,沿点A向北偏东前进‎100 m到达点B,在 ‎ B点测得水柱顶端的仰角为,则水柱的高度是(  )‎ ‎ A.‎50 m B.‎100 m C.‎120 m D.‎‎150 m ‎7.已知直线l的方程为f(x,y)=0,P1(x1,y1)和P2(x2,y2)分别为直线l上和l外的点,则方 程f(x,y)-f(x1,y1)-f(x2,y2)=0表示(  )‎ ‎ A.过点P1且与l垂直的直线 B.与l重合的直线 ‎ C.过点P2且与l平行的直线 D.不过点P2,但与l平行的直线 ‎8.如图,,圆M与AB、AC分别相切于点D、E,,点P是圆M及其内部任意一点,且,则的取值范围是(  )‎ ‎ A., B., ‎ ‎ C., D.,‎ 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.‎ ‎9.已知直线,两个不重合的平面,.若,,则下列四个结论中正确的是(  )‎ ‎ A.与内所有直线平行 B.与内的无数条直线平行 ‎ C.与内的任意直线都不垂直 D.与没有公共点 ‎ ‎10.已知的内角,,所对的边分别为,,,下列四个命题中正确的命题是(  )‎ ‎ A.若,则一定是等边三角形 ‎ B.若,则一定是等腰三角形 ‎ C.若,则一定是等腰三角形 ‎ D.若,则一定是锐角三角形 ‎11.下列说法正确的是(  )‎ ‎ A.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2‎ ‎ B.点, 关于直线的对称点为,‎ ‎ C.过,、,两点的直线方程为 ‎ D.经过点,且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 ‎12.设有一组圆.下列四个命题正确的是(  )‎ ‎ A.存在,使圆与轴相切 B.存在一条直线与所有的圆均相交 ‎ C.存在一条直线与所有的圆均不相交 D.所有的圆均不经过原点 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.‎ ‎13.直线3x-4y+5=0关于点M(2,-3)对称的直线的方程为 .‎ ‎14.已知圆:,圆:,定点,,‎ 动点、分别在圆和圆上,满足,则线段 的取值范围 . ‎ ‎15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若 ‎2cos A(bcos C+ccos B)=a=,△ABC的面积为,‎ 则A=________,b+c=________. (本题第一空2分,第二空3分)‎ ‎16.在平面直角坐标系中,已知点A(1,1),B(1,-1),点P为圆(x-4)2+y2=4上任意 一点,记△OAP和△OBP的面积分别为S1和S2,则的最小值是________.‎ 四、解答题:本题共6小题,共70分.‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 已知的内角,,的对边分别是,,,已知,‎ ‎,.‎ ‎⑴求角;‎ ‎⑵若点满足,求的长.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 如图,在直三棱柱中,点M,N分别为线段A1B,AC1的中点.‎ ‎⑴求证:MN∥平面BB‎1C1C;‎ ‎⑵若D在边BC上,AD⊥DC1,求证:MN⊥AD.‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 已知直线l:(‎2a+b)x+(a+b)y+a-b=0及点P(3,4).‎ ‎⑴证明直线l过某定点,并求该定点的坐标;‎ ‎⑵当点P到直线l的距离最大时,求直线l的方程.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 树林的边界是直线(如图CD所在的直线),一只兔子在河边喝水时发现了一只狼,兔子和狼分别位于的垂线AC上的点A点和B点处,(为正常数),若兔子沿AD方向以速度2向树林逃跑,同时狼沿线段BM()方向以速度进行追击(为正常数),若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间,狼就会吃掉兔子.‎ ‎⑴求兔子的所有不幸点(即可能被狼吃掉的点)的区域面积;‎ ‎⑵若兔子要想不被狼吃掉,求(的取值范围.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 在平面直角坐标系xOy中,圆O:x2+y2=64,以O1(9,0)为圆心的圆记为圆O1,已知圆 O1上的点与圆O上的点之间距离的最大值为21.‎ ‎⑴求圆O1的标准方程;‎ ‎⑵求过点M(5,5)且与圆O1相切的直线的方程;‎ ‎⑶已知直线l与x轴不垂直,且与圆O,圆O1都相交,记直线l被圆O,圆O1‎ 截得的弦长分别为d,d1.若=2,求证:直线l过定点.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点P(2,4),圆O:x2+y2=4与x轴的正半轴的交点 是Q,过点P的直线l与圆O交于不同的两点A,B.‎ ‎⑴若直线l与y轴交于D,且·=16,求直线l的方程;‎ ‎⑵设直线QA,QB的斜率分别是k1,k2,求k1+k2的值;‎ ‎⑶设AB的中点为M,点N(,0),若MN=OM,求△QAB的面积.‎ 江苏省启东中学高一创新班数学答案(2020.4.8)‎ 一:单项选择题:‎ ‎1:D,2:B.,3:B.,4:D, 5:C ,6:A ,7:C.,8:.‎ 二:多项选择题:‎ ‎9: BD.10: AC.11:AB12: ABD 三:填空题:‎ ‎13:3x-4y-41=0.14:[]15: (1)  (2) 716:2- 四:解答题:本题共6小题,共70分。‎ ‎17:【答案】(1);(2)‎ ‎【详解】(1)由题设及正弦定理得,‎ 又,‎ 所以.由于,则.又因为,所以.‎ ‎(2)由正弦定理易知,解得.‎ 又因为,所以,即.‎ 在中,因为,,所以,‎ 所以在中,,,‎ 由余弦定理得,所以.‎ ‎18:解:(1) 如图,连结A‎1C.‎ 在直三棱柱ABCA1B‎1C1中,侧面AA‎1C1C为平行四边形.‎ 因为N为线段AC1的中点,‎ 所以A‎1C与AC1相交于点N,‎ 即A‎1C经过点N,且N为线段A‎1C的中点.‎ 因为M为线段A1B的中点,所以MN∥BC.‎ 又MN⊄平面BB‎1C1C,BC⊂平面BB‎1C1C,‎ 所以MN∥平面BB‎1C1C.(6分)‎ ‎(2) 在直三棱柱ABCA1B‎1C1中,CC1⊥平面ABC.‎ 又AD⊂平面ABC,所以CC1⊥AD.‎ 因为AD⊥DC1,DC1⊂平面BB‎1C1C,‎ CC1⊂平面BB‎1C1C,CC1∩DC1=C1,‎ 所以AD⊥平面BB1C‎1C.‎ 又BC⊂平面BB‎1C1C,所以AD⊥BC.‎ 又由(1)知,MN∥BC,所以MN⊥AD.‎ ‎19: 解:(1)证明:直线l的方程可化为a(2x+y+1)+b(x+y-1)=0,‎ 由得所以直线l恒过定点(-2,3).‎ ‎(2)由(1)知直线l恒过定点A(-2,3),‎ 当直线l垂直于直线PA时,点P到直线l的距离最大.‎ 又直线PA的斜率kPA==,所以直线l的斜率kl=-5.‎ 故直线l的方程为y-3=-5(x+2),即5x+y+7=0.‎ ‎20:答案, (2)‎ ‎21:答案(1)(x-9)2+y2=16;(2)y=-x+或x=5;(3)直线l过定点(18,0)或直线l过定点(6,0).‎ 解析(1)由题设得圆O1的半径为4,所以圆O1的标准方程为(x-9)2+y2=16.‎ ‎(2)①当切线的斜率不存在时,直线方程为x=5符合题意;②当切线的斜率存在时,设直线方程为y-5=k(x-5),即kx-y+(5-5k)=0,因为直线和圆相切,所以d==4,解得k=-,从而切线方程为y=-x+.故切线方程为y=-x+或x=5‎ ‎(3)证明:设直线l的方程为y=kx+m,则圆心O,圆心O1到直线l的距离分别为h=,h1=,从而d=2,d1=2.由=2,得==4,‎ 整理得m2=4(9k+m)2,故m=±2(9k+m),即18k+m=0或6k+m=0,所以直线l为y=kx-18k或y=kx-6k,因此直线l过点定点(18,0)或直线l过定点(6,0).‎ ‎22:答案(1)y=3x-2;(2)-1;(3)4.‎ 解析(1)若直线l垂直于x轴,则方程为x=2,与圆只有一个交点,不合题意.(考虑特殊情形)‎ 故l存在斜率,设直线l的方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0,‎ 圆心到直线l的距离d=,因为直线l与圆O交于不同的两点A,B,‎ 所以d=<2,解得k>.(求出k的范围)‎ 又D(0,-2k+4),Q(2,0),所以=(2,2k-4),=(2,2k),‎ 所以·=4+2k(2k-4)=16,解得k=3或k=-1(舍去),(利用条件·=16,求出k)‎ 所以直线l的方程为y=3x-2.(写出直线方程)‎ ‎(2)联立,得(1+k2)x2-4k(k-2)x+(2k-4)2-4=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 (应用韦达定理)‎ 所以k1+k2=+=+=2k++ ‎=2k+9分(将k1+k2等价变形,用x1+x2,x1x2表示)‎ ‎=2k+=2k-=2k-2k-1=-1.即k1+k2的值是-1.‎ ‎ (3)设中点M(x0,y0),则由(2)知 (*)‎ 又由MN=OM,得2+y=(x+y),‎ 化简得x+y+6x0-4=0,将(*)代入解得k=3.13分(利用条件MN=OM,求出k)‎ 因为圆心到直线l的距离d==,‎ 所以AB=2=,(求出AB)Q到直线l的距离h=,‎ 所以S△ABQ=AB·h=,即△QAB的面积为.‎
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