2018-2019学年河北省邢台市高一下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年河北省邢台市高一下学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年河北省邢台市高一下学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．直线的斜率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】一般式直线方程的斜率为．‎ ‎【详解】‎ 直线的斜率为.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 此题考察一般直线方程的斜率，属于较易基础题目 ‎2．在等差数列中，若，则（ ）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【答案】C ‎【解析】通过等差数列的性质可得答案.‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的性质，难度不大.‎ ‎3．在中，内角所对的边分别为，若，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用正弦定理可求得，再通过可得答案.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，所以，则或，因为，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理的运用，难度较小.‎ ‎4．已知圆经过点，且圆心为，则圆的方程为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先计算圆半径，然后得到圆方程.‎ ‎【详解】‎ 因为圆经过，且圆心为 所以圆的半径为，‎ 则圆的方程为.‎ 故答案选D ‎【点睛】‎ 本题考查了圆方程，先计算半径是解题的关键.‎ ‎5．已知等差数列的前项和为，若，，则数列的公差（ ）‎ A．-2 B．2 C．-1 D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】直角利用待定系数法可得答案.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，因为，所以，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的基本量的相关计算，难度不大.‎ ‎6．在中，内角所对的边分别为，若，且，则的形状是（ ）‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．不确定 ‎【答案】C ‎【解析】通过正弦定理可得可得三角形为等腰，再由可知三角形是直角，于是得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，所以，即 ‎.因为，所以，又因为，所以，所以，故的形状是等腰直角三角形.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度中等.‎ ‎7．已知圆，过点作圆的最长弦和最短弦，则直线，的斜率之和为 A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据圆的几何性质可得最长弦是直径，最短弦和直径垂直，故可计算斜率，并求和.‎ ‎【详解】‎ 由题意得，直线经过点和圆的圆心弦长最长，则直线的斜率为，由题意可得直线与直线互相垂直时弦长最短，则直线的斜率为，故直线，的斜率之和为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两直线垂直的斜率关系，以及圆内部的几何性质，属于简单题型.‎ ‎8．某船从处向东偏北方向航行千米后到达处，然后朝西偏南的方向航行6千米到达处，则处与处之间的距离为（ ）‎ A．千米 B．千米 C．3千米 D．6千米 ‎【答案】B ‎【解析】通过余弦定理可得答案.‎ ‎【详解】‎ 设处与处之间的距离为千米，由余弦定理可得，则.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦定理的实际应用，难度不大.‎ ‎9．已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A．若，，，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，，则 D．若，，，则 ‎【答案】D ‎【解析】逐一分析选项，得到答案.‎ ‎【详解】‎ A.根据条件可知，若，不能推出；‎ B.若，就不能推出；‎ C.条件中没有，所以不能推出；‎ D.因为，，所以，因为，所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了面面平行的判断，属于基础题型，需要具有空间想象能力，以及逻辑推理能力.‎ ‎10．在三棱柱中，平面，，，，E，F分别是，上的点，则三棱锥的体积为（ ）‎ A．6 B．12 C．24 D．36‎ ‎【答案】B ‎【解析】等体积法：.求出的面积和F到平面的距离，代入公式即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，的面积为，因为，，平面ABC，所以点C到平面的距离为，即点F到平面的距离为4，则三棱锥的体积为 ‎.故三棱锥的体积为12.‎ ‎【点睛】‎ 此题考察了三棱锥体积的等体积法，通过变化顶点和底面进行转化，属于较易题目．‎ ‎11．已知等比数列的公比为，且，数列满足，若数列有连续四项在集合中，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题可知数列的连续四项，从而可判断，再分别列举满足符合条件的情况，从而得到公比.‎ ‎【详解】‎ 因为数列有连续四项在集合中，，所以数列有连续四项在集合中，所以数列的连续四项不同号，即.因为，所以，按此要求在集合中取四个数排成数列，有-27，24，-18，8；-27，24，-12，8；-27，18，-12，8三种情况，因为-27，24，-12，8和-27，24，-18，8不是等比数列，所以数列的连续四项为-27，18，-12，8，所以数列的公比为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的综合应用，意在考查学生的分析能力，逻辑推理能力，分类讨论能力，难度较大.‎ ‎12．在三棱锥中，平面，，，点M为内切圆的圆心，若，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求三棱锥的外接球的表面积即求球的半径，则球心到底面的距离为，根据正切和MA的长求PA，再和MA的长即可通过勾股定理求出球半径R，则表面积.‎ ‎【详解】‎ 取BC的中点E，连接AE（图略）.因为，所以点M在AE上，因为，，所以，则的面积为，解得，所以.因为，所以.设的外接圆的半径为r，则，解得.因为平面ABC，所以三棱锥的外接球的半径为，故三棱锥P-ABC的外接球的表面积为.‎ ‎【点睛】‎ 此题关键点通过题干信息画出图像，平面ABC和底面的内切圆圆心确定球心的位置，根据几何关系求解即可，属于三棱锥求外接球半径基础题目．‎ 二、填空题 ‎13．已知圆柱的底面圆的半径为2，高为3，则该圆柱的侧面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆柱的侧面打开是一个矩形，长为底面的周长，宽为圆柱的高，即，带入数据即可．‎ ‎【详解】‎ 因为圆柱的底面圆的半径为2，所以圆柱的底面圆的周长为，则该圆柱的侧面积为.‎ ‎【点睛】‎ 此题考察圆柱侧面积公式，属于基础题目．‎ ‎14．在等比数列中，，，则__________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】可先计算出公比，从而利用求得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，所以，则.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列基本量的相关计算，难度很小.‎ ‎15．光线从点射向y轴，经过y轴反射后过点，则反射光线所在的直线方程是________.‎ ‎【答案】（或写成）‎ ‎【解析】光线从点射向y轴，即反射光线反向延长线经过关于y轴的对称点，则反射光线通过和两个点，设直线方程求解即可。‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，所求直线方程经过点关于y轴的对称点为，则所求直线方程为，即.‎ ‎【点睛】‎ 此题的关键点在于物理学上光线的反射光线和入射光线关于镜面对称，属于基础题目。‎ ‎16．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，且，则的周长的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过观察的面积的式子很容易和余弦定理联系起来，所以，求出，所以.再由正弦定理即可将的范围通过辅助角公式化简利用三角函数求出范围即可．‎ ‎【详解】‎ 因为的面积为，所以 ‎，所以.由余弦定理可得，则，即，所以 ‎.由正弦定理可得，所以 ‎.因为为锐角三角形，所以，所以，则，即.故的周长的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 此题考察解三角形，熟悉正余弦定理，然后一般求范围的题目转化为求解三角函数值域即可，易错点注意转化后角的范围区间，属于中档题目．‎ 三、解答题 ‎17．已知直线与.‎ ‎（1）当时，求直线与的交点坐标；‎ ‎（2）若，求a的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）当时，直线与联立即可．（2）两直线平行表示斜率相同且截距不同，联立方程求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，直线与，联立，解得，故直线与的交点坐标为.‎ ‎（2）因为，所以，即解得.‎ ‎【点睛】‎ 此题考察直线斜率，两直线平行表示斜率相等且截距不同（如果斜率和截距都相同则是同一条直线），属于基础简单题目．‎ ‎18．在中，内角所对的边分别为，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）首先利用正弦定理边化角，再利用即可得到答案；‎ ‎（2）利用余弦定理和面积公式即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），所以，‎ 所以，即 因为，所以，所以，即.‎ ‎（2）因为，所以.‎ 由余弦定理可得，‎ 因为，所以，解得.‎ 故的面积为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查解三角形的综合应用，意在考查学生的基础知识，转化能力及计算能力，难度不大.‎ ‎19．在等比数列中，，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）设出通项公式，利用待定系数法即得结果；‎ ‎（2）先求出通项，利用错位相减法可以得到前项和.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，，所以，‎ 解得 故的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 则，①‎ ‎，②‎ ‎①-②得 故.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的通项公式，错位相减法求和，意在考查学生的分析能力 及计算能力，难度中等.‎ ‎20．如图，在四棱锥中，平面，，，，点Q在棱AB上.‎ ‎（1）证明：平面.‎ ‎（2）若三棱锥的体积为，求点B到平面PDQ的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）线面垂直只需证明PD和平面内两条相交直线垂直即可，易得，另外中已知三边长通过勾股定理易得,所以平面．（2）点B到平面PDQ的距离通过求得三棱锥的体积和面积即可，而,带入数据求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：在中，，，所以.‎ 所以是直角三角形，且，即.‎ 因为平面PAD，平面PAD，所以.‎ 因为，所以平面ABCD.‎ ‎（2）解：设.‎ 因为.，所以的面积为.‎ 因为平面ABCD，所以三棱锥的体积为，解得.‎ 因为，所以，所以的面积为.‎ 则三棱锥的体积为.‎ 在中，，，，‎ 则.‎ 设点B到平面PDQ的距离为h，则，解得，‎ 即点B到平面PDQ的距离为.‎ ‎【点睛】‎ 此题考察立体几何的证明，线面垂直只需证明线与平面内的两条相交直线分别垂直即可，第二问考察了三棱锥等体积法，通过变化顶点和底面进行转化，属于中档题目．‎ ‎21．已知圆过点，，圆心在直线上，是直线上任意一点．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）过点向圆引两条切线，切点分别为，，求四边形的面积的最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）首先列出圆的标准方程，根据条件代入，得到关于的方程求解；（2）根据切线的对称性，可知，‎ ‎，这样求面积的最小值即是求的最小值，当点是圆心到直线的距离的垂足时，最小.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设圆的方程为．‎ 由题意得解得 故圆的方程为．‎ 另解：先求线段的中垂线与直线的交点，即解得从而得到圆心坐标为，再求，故圆的方程为．‎ ‎（2）设四边形的面积为，则．‎ 因为是圆的切线，所以，‎ 所以，即．‎ 因为，所以．‎ 因为是直线上的任意一点，所以，‎ 则，即．‎ 故四边形的面积的最小值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的标准方程，和与圆，切线有关的最值的计算，与圆有关的最值计算，需注意数形结合.‎ ‎22．在数列中，，，数列的前项和为，且．‎ ‎（1）证明：数列是等差数列．‎ ‎（2）若对恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】（1）根据已知可变形为常数；（2）首先求数列的通项公式，然后利用裂项相消法求，若满足对恒成立，需满足， ，求的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：因为，‎ 所以，，‎ 则．‎ 又，‎ 故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．‎ ‎（2）由（1）可知，则．‎ 因为，所以，‎ 所以．‎ 易知单调递增，则．‎ 所以，且，解得．‎ 故的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了证明等差数列的方法，以及裂项相消法求和，本题的一个亮点是与函数结合考查数列的最值问题，涉及最值时，需先判断函数的单调性，可以根据函数特征直接判断单调性或是根据的正负判断单调性，然后求最值.‎