【数学】2020届一轮复习北师大版推理与证明作业
推理与证明
[基础保分练]
1．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提错误
D．使用了“三段论”，但小前提错误
2．给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0,则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．已知函数f(x)＝3x＋4sin x－cos x的拐点是M(x0，f(x0))，则点M( )
A．在直线y＝－3x上 B．在直线y＝3x上
C．在直线y＝－4x上 D．在直线y＝4x上
3．某中学的一个文学兴趣小组中，学生张博、高铭和刘雨分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究，并且他们选择的名家各不相同．三位同学一起来找图书管理员刘老师，让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象．刘老师猜了三句话：“①张博研究的是莎士比亚；②刘雨研究的肯定不是曹雪芹；③高铭自然不会研究莎士比亚．”很可惜，刘老师的这种猜法，只猜对了一句，据此可以推知张博、高铭和刘雨分别研究的是( )
A．曹雪芹、莎士比亚、雨果
B．雨果、莎士比亚、曹雪芹
C．莎士比亚、雨果、曹雪芹
D．曹雪芹、雨果、莎士比亚
4．设a，b，c均为正实数，则三个数a＋，b＋，c＋( )
A．都大于2 B．都小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
5．用数学归纳法证明2n>2n＋1时，n的第一个取值应是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )
A．lg(1＋a2)>0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)
C．a2＋3ab>2b2 D.<
7．已知m>1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是( )
A．a>b B．a
p D．p≤S<2p
2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(b－c)<0
3．用反证法证明“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，则a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a，b，c都不是偶数
C．假设a，b，c中至多有一个偶数
D．假设a，b，c中至多有两个偶数
4．“a＝”是“对任意正数x，均有x＋≥1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D既不充分也不必要条件
5．命题p：已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过点F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为定值．类比此命题，
在双曲线中也有命题q：已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1，F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过点F2作∠F1PF2的________的垂线，垂足为M，则OM的长为定值．
6．若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，…，xn总满足[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f ，则称函数f(x)为D上的凸函数．现已知f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是______________．
答案精析
基础保分练
1．C [大前提是特称命题，而小前提是全称命题，故选C.]
2．B [f′(x)＝3＋4cos x＋sin x，f″(x)＝－4sin x＋cos x，令f″(x0)＝0，得4sin x0－cos x0＝0，所以f(x0)＝3x0，故M(x0，f(x0))在直线y＝3x上，故选B.]
3．A [假设“张博研究的是莎士比亚”正确，那么“高铭自然不会研究莎士比亚”也是正确的，这不符合刘老师只猜对了一句这一条件，所以①错误；假设“高铭自然不会研究莎士比亚”正确，则①不正确，即张博研究的不是莎士比亚，②不正确，即刘雨研究的肯定是曹雪芹，这样的话莎士比亚没人研究了，所以③错误．综上可知，“刘雨研究的肯定不是曹雪芹”就是刘老师猜对了的那个，那么其他两句话是错的，即高铭研究的是莎士比亚，那么张博研究曹雪芹，刘雨研究雨果．故顺序为曹雪芹、莎士比亚、雨果，故选A.]
4．D [∵a>0，b>0，c>0，
∴＋＋
＝＋＋≥6，
当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.]
5．C [n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立；n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立．故n的第一个取值应是3.]
6．B [在选项B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．]
7．B [易知a＝－＝，b＝－＝，∵＋>＋>0(m>1)，∴<，即a0，
即证(a－c)(2a＋c)>0，即证(a－c)(a－b)>0.]
3．B [“至少有一个是”的否定为“都不是”，故选B.]
4．A [当a＝时，x＋≥2＝1，当且仅当x＝，即x＝时取等号；反之，显然不成立．]
5．内角平分线
解析 对于椭圆，延长F2M与F1P的延长线交于Q.由对称性知，M为F2Q的中点，且|PF2|＝|PQ|，从而OM∥F1Q，且|OM|＝|F1Q|，而|F1Q|＝|F1P|＋|PQ|＝|F1P|＋|PF2|＝2a，所以|OM|＝a.对于双曲线，过点F2作∠F1PF2的内角平分线的垂线，垂足为M，类比可得|OM|＝a.
6.
解析 已知[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f .(大前提)
因为f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数，(小前提)
所以f(A)＋f(B)＋f(C)≤3f ，(结论)
即sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝.
因此sin A＋sin B＋sin C的最大值是.
