湖南省2020届高三年级下学期4月六校联考数学（文）试题

湖南省2020届高三年级下学期4月六校联考数学（文）试题

湖南省2020届高三六校联考试题 数学（文科）‎ 考生注意：‎ ‎1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.时量120分钟，满分150分.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.‎ ‎2. 作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎3. 考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，，则的子集共有（ ）‎ A. 2个 B. 3个 C. 8个 D. 4个 ‎2. 设复数满足（是的共轭复数，是虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于（ ）‎ A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 ‎3. 下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 设，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. 2 D. 与的值有关 ‎6. “珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”（[注]六升六：‎6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量）用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为（ ）‎ A. ‎3.4‎升‎ B. ‎2.4升 C. ‎2.3升 D. ‎‎3.6升 ‎7. 函数的大致图象是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 已知实数，满足约束条件，若的最大值为8，则的最小值为（ ）‎ A. -6 B. ‎6 ‎C. 3 D. -4‎ ‎10. 已知等边的边长为2，，，，，且，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. -2‎ ‎11. 函数的零点个数为（ ）‎ A. 8 B. ‎9 ‎C. 6 D. 4‎ ‎12. 在棱长为6的正方体中，是的中点，点是正方体的表面 ‎（包括边界）上的动点，且满足，则三棱锥体积的最大值是（ ）‎ A. B. ‎36 ‎C. 24 D. ‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”.已知过去10日，、、三地新增疑似病例数据信息如下：‎ 地：总体平均数为3，中位数为4；‎ 地：总体平均数为2，总体方差为3；‎ 地：总体平均数为1，总体方差大于0；‎ 则、、三地中，一定没有发生大规模群体感染的是 地.‎ ‎14. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则正整数______.‎ ‎15. 过抛物线：的焦点的直线交于两点、，点处的切线与、轴分别交于两点、，若（为坐标原点）的面积为1，则______.‎ ‎16. 已知的内角、、的对边分别是、、，若，且，则边的取值范围为______.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎（一）必考题，共60分.‎ ‎17. 2020年春季受新冠肺炎疫情的影响，利用网络软件办公与学习成为了一种新的生活方式，网上办公软件的开发与使用成为了一个热门话题.为了解“钉钉”软件的使用情况，“钉钉”公司借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：‎ 经常使用 偶尔或不用 合计 ‎35岁及以下 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ ‎35岁以上 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 合计 ‎130‎ ‎70‎ ‎200‎ ‎（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“钉钉”软件的使用情况与年龄有关？‎ ‎（2）现从所抽取的35岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用“钉钉”软件的概率.‎ 参考公式：，其中.‎ 参考数据：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎18. 已知数列前几项和为，，.‎ ‎（1）若，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎19. 如图，已知四棱锥的底面是菱形，，平面，，与平面所成的角为，点为的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的正切值.‎ ‎20. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，经过左焦点的最短弦长为3，离心率为 ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过的直线与轴正半轴交于点，与椭圆交于点，轴，过的另一直线与椭圆交于、两点，若，求直线的方程.‎ ‎21. 已知函数（，为自然对数的底数），且在点处的切线的斜率为，函数.‎ ‎（1）求的单调区间和极值；‎ ‎（2）若，求的最大值.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的一题计分.‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴非负半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线过点倾斜角为.‎ ‎（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，并写出直线的参数方程；‎ ‎（2）当时，直线交曲线于，两点，求.‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）记函数的最小值为，若，且，求证：.‎ 湖南省2020届高三六校联考试题 数学（文科）参考答案 一、选择题 ‎1-5：DCBCB 6-10：ACBDB 11-12：AA ‎10. B 【解析】已知等边的边长为2，以线段的中点为原点，线段所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则，，，由，，得，，且，则，最大值为.‎ ‎11. A 【解析】依题意显然不是函数的零点，所以时，由，得，在同一坐标系内做出两个函数和的图象，知两函数有8个交点，所以原函数的零点个数为8.‎ ‎12. A 【解析】因为平面，则，同理平面，则，，所以，∵，∴，下面研究点在面内的轨迹，在平面直角坐标系内，设，，，设，因为，所以，化简得，该圆与的交点的纵坐标最大，交点坐标为，三棱锥的底面的面积为18， 要使三棱锥的体积最大，只需高最大，当在 上时，棱锥的高最大，所以最大体积为.‎ 二、填空题 ‎13. 14. 7 15. 16. ‎ ‎15. 【解析】设，由抛物线：得，，‎ 则点处的切线方程为，与、轴分别交于两点、，‎ 若的面积为1，则，∴，则.‎ ‎16. 【解析】中，由正弦定理得，‎ 由余弦定理可得：，∴，‎ ‎∵，∴，又∵，∴，‎ 方法一：依题意，由正弦定理，又∵，‎ ‎∴，∵，，‎ 可得：，∴.‎ 方法二：由余弦定理可得：.‎ ‎∴，又，∴.‎ 三、解答题 ‎17.【解析】（1）由列联表可得，.‎ ‎∴能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“钉钉”软件的使用情况与年龄有关.‎ ‎（2）依题意可得，在每层中所抽取的比例为.所以从经常使用“钉钉”软件的人中抽取（人），从偶尔或不用“钉钉”软件的人中抽取（人）.‎ 设这5人中，经常使用“钉钉”软件的3人分别为，，；偶尔或不用“钉钉”软件的2人分别为，，‎ 则从5人中选出2人的所有可能结果为：，，，，，，，，，，共10种.‎ 选出的2人中没有1人经常使用“钉钉”软件的可能结果为，共1种.‎ 故选出的2人中至少有1人经常使用“钉钉”软件的概率.‎ ‎18.【解析】（1）由题知，即，‎ 即，即，‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴数列是首项为3，公比为3的等比数列，‎ ‎∴，即.‎ ‎（2）由（1）知，，∴，‎ ‎∴，①‎ ‎∴，②‎ ‎①-②得，，‎ ‎∴.‎ ‎19.【解析】（1）因为是菱形，所以，‎ 又因为平面，平面，所以，‎ 又因为，所以平面，‎ 因为平面，所以平面平面.‎ ‎（2）设与交于点，连接，因为点为的中点，‎ 所以，所以，‎ 因为平面平面，为两个面的交线，所以平面，‎ 所以，过点作，连接，则平面，‎ 所以，则为二面角的平面角.‎ 因为与平面所成的角为，平面，所以，‎ 所以，，，，‎ 所以，即二面角的正切值为.‎ ‎20.【解析】（1）由条件，得，∴，且，∴，‎ 联立解得，，，‎ ‎∴椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）由已知可得，，，‎ ‎（i）直线的斜率不存在时，的方程为，‎ 此时，不符合条件舍去；‎ ‎（ii）直线的斜率存在时，设直线的方程为.‎ 代入椭圆方程得，显然成立，设，，‎ 则有①，②，‎ 因为，所以，由，‎ 所以，所以，所以，‎ 代入①②得，，‎ 所以直线的方程为或.‎ ‎21.【解析】（1）由已知得，在点处的切线的斜率为，‎ ‎∴，从而，.‎ ‎∴，又在上递增，且，‎ ‎∴当时，；时，，‎ 的单调减区间为，单调增区间为，‎ ‎∴，无极大值.‎ ‎（2）得，‎ ‎①当时，在上单调递增，‎ 当时，与相矛盾；‎ ‎②当时，，此时；‎ ‎③当时，，得，‎ 当时，，即，‎ ‎∴（其中）.‎ 令，则，‎ ‎∴，，‎ 当时，，即当，时，的最大值为，‎ ‎∴的最大值为.‎ 综上所述：的最大值为.‎ ‎22.【解析】（1）由得，，‎ 将，，代入上式整理得，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为，‎ 由题知直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（注：参数设为其他合理字母也可）‎ ‎（2）设直线与曲线的交点，对应的参数分别为，，当时，‎ 直线的参数方程为（为参数），代入曲线的方程中整理得，‎ ‎，∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎23.【解析】（1）或或，‎ 解得.‎ 即不等式的解集为.‎ ‎（2），‎ 当且仅当时取等号，∴.‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即，，时取等号.‎ ‎∴.‎