【数学】河北省沧州市第一中学2019-2020学年高一下学期第三次月考试题（解析版)

【数学】河北省沧州市第一中学2019-2020学年高一下学期第三次月考试题（解析版)

河北省沧州市第一中学2019-2020学年 高一下学期第三次月考试题 一､选择题 ‎1. 直线的倾斜角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，即，故直线斜率，‎ 设倾斜角为，则，解得，‎ 故选：D.‎ ‎2. 下列说法正确的是（ ）‎ A. 棱柱的各个侧面都是平行四边形 B. 底面是矩形的四棱柱是长方体 C. 有一个面为多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 D. 直角三角形绕其一边所在直线旋转一周形成的几何体是圆锥 ‎【答案】A ‎【解析】对于A，根据棱柱的性质可知，棱柱的各个侧面都是平行四边形，故A正确；‎ 对于B，底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时的四棱柱是斜四棱柱，不是长方体，‎ 只有底面是矩形的直四棱柱才是长方体，可知B错误；‎ 对于C，有一个面为多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，‎ 只有其余各面是有一个公共点的三角形的几何体，才是棱锥，故C错误；‎ 对于D，直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周形成的几何体是圆锥，‎ 如果绕着它的斜边旋转一周，形成的几何体则是两个具有共同底面的圆锥，故D错误.‎ 故选：A.‎ ‎3. 等差数列中，,，则当取最大值时，的值为 （ ）‎ A. 6 B. ‎7 ‎C. 6或7 D. 不存在 ‎【答案】C ‎【解析】设等差数列的公差为 ‎∵，∴‎ ‎∴，∴‎ ‎∵，∴当取最大值时，的值为或 故选C ‎4. 的内角，，所对的边分别是，，，已知，，，则（ ）‎ A. B. ‎5 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以，‎ 又因为，，所以，‎ 即，即，‎ 解得.‎ 故选：A.‎ ‎5. 已知，直线过点，则的最小值为（　　）‎ A. 4 B. ‎3 ‎C. 2 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意得，，‎ 所以，‎ 当且仅当时取等号；‎ 故选A ‎6. 圆：与圆：公共弦长为（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】圆：，圆心坐标为，半径，‎ 圆：，圆心坐标，半径，‎ 圆心距，所以，故两圆相交，‎ 联立两圆方程，得，‎ 所以公共弦所在直线的方程为：，‎ 圆心到公共弦所在直线的距离为：，‎ 公共弦长为：.‎ 故选：D.‎ ‎7. 已知点在圆上运动，则的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，则表示点与点连线的斜率.‎ 把圆的方程化为标准方程得，‎ 故圆心坐标为，半径，‎ 可知当直线与圆相切时，取得最值.‎ 由，解得，则的最大值是，‎ 故选：A.‎ ‎8. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为 2，这个球的表面积为，则这个正四棱柱的体积为（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题可知，正四棱柱的高为 2，球的表面积为，‎ 设球半径为，则，‎ 则，所以，球的直径为，‎ 设正四棱柱的底面边长为，则，解得：，‎ 正四棱柱的体积为.‎ 故选：B.‎ ‎9. 正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图:‎ 正四棱锥的高PO，斜高PE，‎ 底面边心距OE组成直角△POE． ∵OE=‎2cm，∠OPE=30°，∴斜高h′=PE=， ∴S正棱锥侧= ‎ 故选：A ‎10. 若圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，则半径R的取值范围是(　　)‎ A. R＞1 B. R＜‎3 ‎C. 1＜R＜3 D. R≠2‎ ‎【答案】C ‎【解析】依题意可得，直线与圆可能相交，相切或相离．‎ 若直线与圆相离，‎ 则圆上的点到直线的最小距离应小于1，‎ 即圆心到直线的距离d∈(R,1＋R)，从而有R＜＜1＋R，解得1＜R＜2.‎ 若直线与圆相切，则R＝＝2.‎ 若直线与圆相交，‎ 则圆上的点到直线的最小距离应小于1，‎ 即圆心到直线的距离d∈(R－1，R)，从而有R－1＜＜R，解得2＜R＜3.‎ 综上可得1＜R＜3.‎ 故选：C.‎ ‎11. 已知点，圆：，直线：，有以下几个结论：①若点在圆上，则直线与圆相切；②若点在圆外，则直线与圆相离；③若点在圆内，则直线与圆相交；④无论点在何处，直线与圆恒相切，其中正确的个数是（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】对于①，若在圆上，则有，‎ 又圆心到直线的距离，此时直线与圆相切，正确.‎ 对于②，若在圆外，则有，‎ 又圆心到直线的距离，此时直线与圆相交，错误；‎ 对于③，若在圆内，则有，‎ 又圆心到直线的距离，此时直线与圆相离，错误；‎ 由上可知，④错误.‎ 正确的个数是一个.故选：A.‎ ‎12. 已知正四面体表面积为，为棱的中点，球为该正四面体的外接球，则过点的平面被球所截得的截面面积的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图所示，‎ 将正四面体放入正方体中，则正方体的中心即为其外接球的球心，‎ 因为正四面体的表面积为，‎ 所以，‎ 因为是正三角形，所以，，‎ 设正方体的边长为，则：，解得：‎ 所以正四面体的外接球直径为，‎ 设过点的截面圆半径为，球心到截面圆的距离为，‎ 正四面体的外接球半径为，‎ 由截面圆的性质可得：‎ 当最大时，最小，此时对应截面圆的面积最小.‎ 又，所以的最大值为，此时最小为 所以过点的最小截面圆的面积为，故选B．‎ 二､不定项选择题 ‎13. 下列说法中正确的有（ ）‎ A. 设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为 B. 用斜二测法作△ABC的水平放置直观图得到边长为a的正三角形，则△ABC面积为 C. 三个平面可以将空间分成4，6，7或者8个部分 D. 已知四点不共面，则其中任意三点不共线．‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】对于A,正六棱锥的底面边长为1,则S底面积＝6•1×1×sin60°；‎ 又侧棱长为,则棱锥的高h2,‎ 所以该棱锥的体积为VS底面积h2,A正确；‎ 对于B,水平放置直观图是边长为a的正三角形,直观图的面积为S′a2×sin60°,则原△ABC的面积为S＝2S′＝2a2a2,所以B错误；‎ 对于C,若三个平面互相平行,则可将空间分为4部分；‎ 若三个平面有两个平行,第三个平面与其它两个平面相交,则可将空间分为6部分；‎ 若三个平面交于一线,则可将空间分为6部分；‎ 若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系）,则可将空间分为7部分；‎ 若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系）,则可将空间分为8部分；‎ 所以三个平面可以将空间分成4,6,7或8部分,C正确；‎ 对于D,四点不共面,则其中任意三点不共线,否则是四点共面,所以D正确；‎ 综上知,正确的命题序号是ACD.‎ 故选：ACD.‎ ‎14. 设有一组圆：，（），则下列命题正确的是（ ）‎ A. 不论如何变化，圆心始终在一条直线上 B. 所有圆均不经过点 C. 存在一条定直线始终与圆相切 D. 若，则圆上总在两点到原点的距离为1‎ ‎【答案】ABCD ‎【解析】圆心坐标为，在直线上，A正确；‎ 若，化简得，，无解，B正 确；‎ 圆心在上，半径为定值2，故定直线斜率一定为1，设为，，故存在定直线始终与圆相切，C正确；‎ 圆上总存在两点到原点的距离为1，问题转化为圆与圆有两个交点，，则，D正确.‎ 故选：ABCD.‎ 三､填空题 ‎15. 在等比数列中，已知，，则________.‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】设公比为，因为，则有，‎ 即，解得或(舍去)，故.‎ 故答案为：16.‎ ‎16. 与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有________条.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】因为圆的圆心为，半径是，原点在圆外，‎ 若直线与圆相切，且在两坐标轴上截距相等，则直线斜率必存在，‎ 当直线过原点时，设该直线的方程为，‎ 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，‎ 即，解得，即所求切线方程为；‎ 当直线不过原点时，因为在两坐标轴上截距相等，设该直线的方程为，‎ 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，‎ 即，解得，即所求切线方程为，‎ 综上，满足题意的直线共条.‎ 故答案为：.‎ ‎17. 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得：母线与轴的夹角为 ‎18. 已知是矩形，为上一点，，将和同时绕所在的直线旋转一周，则所得旋转体的体积是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】旋转体的体积等于圆柱的体积减去两个同底的圆锥的体积之和，两个同底圆锥的体积之和为，圆柱的体积为，‎ 所以.‎ 四､解答题 ‎19. 在中，内角，，的对边分别为，，，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为，求的周长 ‎【解】（1）因为，所以，‎ 所以，从而.‎ ‎（2）因为，所以，即.‎ 因为的面积为，所以，即，所以，‎ 解得，所以，,‎ 所以周长为 ‎20. 已知是公差为2的等差数列，且，是公比为3的等比数列，且．‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）令，求的前项和．‎ ‎【解】（1）∵数列的公差为d=2，且，‎ ‎∴，， ∵，∴=3， ‎ 又的公比为3，∴． ‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎ ，① ‎ ‎，② ‎ ‎ 由①②得：，‎ ‎．‎ ‎21. 如图所示，在正三棱柱中，，，为的中点，是上的一点，且由沿棱柱侧面经过棱到的最短路线为.设这条最短路线与的交点为，求：‎ ‎（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；‎ ‎（2）和的长.‎ ‎【解】（1）由题意，该三棱柱的侧面展开图是宽为4，长为的矩形，‎ 所以对角线的长为；‎ ‎（2）将该三棱柱的侧面沿棱展开，如图所示.‎ 设的长为，则.‎ 因为，，，‎ 所以(负值舍去)，即的长为2.‎ 又因为，所以，即，所以.‎ ‎22. 已知与：相切于点，H经过点.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）右直线：截得到的两段弧长之比为3：1，求实数的值.‎ ‎【解】（1）：可化为，‎ 所以其圆心为，半径为1.‎ 因为与：相切于点，‎ 且经过点，所以的圆心在轴上，设为，‎ 因为，所以，‎ 解得，所以，的半径为2，‎ 的方程为.‎ ‎（2）直线恒过点(1，-1)，‎ 因为直线：截得到的两段弧长之比为3：1，‎ 所以劣弧所对的圆心角为90°，‎ 圆心到直线的距离为，‎ 所以，解得.‎ ‎23. 已知以点为圆心的圆与直线：相切，过点的动直线与圆相交于、两点，是的中点.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）当时，求直线的方程.‎ ‎【解】（1）设圆的半径为，由于圆与直线相切，‎ ‎，‎ 圆的方程为；‎ ‎（2）①当直线与轴垂直时，易知符合题意；‎ ‎②当直线与轴不垂直时，‎ 设直线的方程为，即，‎ 连接，则 ‎，，‎ 则由，得，直线．‎ 故直线的方程为或.‎