高二数学下期中试题文1
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【2019 最新】精选高二数学下期中试题文 1
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
1．命题“”的否定为( )
A. B.
C. D.
2．复数满足,则在复平面内复数所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3．已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是（ ）
A. 在上为减函数 B. 在处取得最大值
C. 在上为减函数 D. 在处取得最小值
4．函数的最小值为( )
A. 不存在 B. 1 C. 0 D.
5．曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
6．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量 x，y 之间关系最强
的是（ ）
7．下列说法错误的是（ ）
A. 在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统
计方法
[ ] 21,2 , 3 2 0x x x∀ ∈ − + ≤
[ ] 21,2 , 3 2 0x x x∀ ∈ − + > [ ] 21,2 , 3 2 0x x x∀ ∉ − + >
[ ] 2
0 0 01,2 , 3 2 0x x x∃ − + >∈ [ ] 2
0 0 01,2 , 3 2 0x x x∃ ∉ − + >
z ( )1 i iz+ = z
)(xfy = )(xfy ′= )(xfy =
）（ 0,∞− 0=x
），（ ∞+4 2=x
xxxf ln2
1)( 2 −=
1
2
( ) xf x e= ( )( )1, 1f
0ex y− = 0ex y+ = 1 0ex y− − = 2 0ex y e− − =
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B. 在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越
好
C. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点
D. 在回归分析中，相关指数越大，模拟的效果越好
8．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9．以下给出了一个程序框图，其作用是输入 x 的值，输出相应的 y 的
值，若要使输入的 x 的值与输出的 y 的值相等，则这样的 x 的值有
( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
10．甲、乙两人约好一同去看《变形金刚 5》，两人买完了电影票后，
偶遇丙也来看这场电影，此时还剩 9 张该场电影的电影票，电影票的
座位信息如下表．
1 排 4 号 1 排 5 号 1 排 8 号
2 排 4 号
3 排 1 号 3 排 5 号
4 排 1 号 4 排 2 号 4 排 8 号
丙从这 9 张电影票中挑选了一张，甲、乙询问丙所选的电影票的座位
信息，丙只将排数告诉了甲，只将号数告诉了乙．下面是甲、乙关于
ˆˆ ˆy bx a= +
2R
( ) 2 2 ln
xef x k x kxx
= + − 2x = ( )f x k
, 2
e −∞
2
, 4
e −∞
( ]0,2 [ )2,+∞
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丙所选电影票的具体座位信息的一段对话：
甲对乙说：“我不能确定丙的座位信息，你肯定也不能确定．”
乙对甲说：“本来我不能确定，但是现在我能确定了．”
甲对乙说：“哦，那我也能确定了！”
根据上面甲、乙的对话，判断丙选择的电影票是
A. 4 排 8 号 B. 3 排 1 号 C. 1 排 4 号 D. 1 排 5 号
11．若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如，如图程序框图
的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理”的某一环节，执
行该框图，输入， ， ，则输出的（ ）
A. B. C. D.
12．定义在上的函数，满足， 为的导函数，且，若，且，则有（ ）
A. B. C. D. 不确定
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．若复数满足,则=________.
14．已知的取值如表：
0 1 3 4
4.3 4.8 6.7
若具有线性相关关系，且回归方程为，则=__________．
15．如图,函数的图象在点处的切线方程是，则=___.
N m n ( )modN n m≡ ( )10 4 mod6≡
2a = 3b = 5c = N =
6 9 12 21
R ( )y f x= ( ) ( )3f x f x− = ( )f x′ ( )f x ( )3 02x f x
′− < 2 2x x< 1 2 3x x+ >
( ) ( )1 2f x f x< ( ) ( )1 2f x f x> ( ) ( )1 2f x f x=
z izi 3443 +=− ）（ z
yx,
x
y a
yx, 6.295.0 += xy a
)(xfy = 5+−= xy
)3()3( ff ′+
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16．设函数与有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数的最
大值为_____________.
三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分）
17（6+6=12）．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若在区间上的最大值为 8，求它在该区间上的最小值.
18．（5+5=10）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），
曲线，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；
(2)若射线与曲线，分别交于,两点，求.
19．（6+6=12）已知曲线的极坐标方程为：，以极点为坐标原点，以极
轴为轴的正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为：(为参数)，点.
(1)求出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
(2)设曲线与曲线相交于，两点，求的值.
20（6+6=12）．“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号.用户
只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，
就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现.现
随机选取朋友圈中的 50 人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据
( ) 23 2 ( 0)2f x x ax a= − > ( ) 2g x a lnx b= + b
( ) 3 23 9f x x x x a= − − +
( )f x
( )f x [ ]2,2−
xOy 1C
=
=
α
α
sin
,cos3
y
x α 1)1(: 22
2 =+− yxC O x
1C 2C
）（ 06
>= ρπθ 1C 2C A B AB
1C θρ cos4= x 2C
=
−=
ty
tx
2
3
,2
13
t ）（ 0,3A
1C 2C
1C 2C P Q AQAP ⋅
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整理如下：
步数/步 10000 以上
男生人数/人 1 2 7 15 5
女性人数/人 0 3 7 9 1
规定：人一天行走的步数超过 8000 步时被系统评定为“积极性”，否
则为“懈怠性”.
（1）填写下面列联表（单位：人），并根据列表判断是否有 90%的把握
认为“评定类型与性别有关”；
积极性 懈怠性 总计
男
女
总计
附：
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3. 841 6.635 7.879 10.828
（2）为了进一步了解“懈怠性”人群中每个人的生活习惯，从步行数
在的人群中再随机抽取 3 人，求选中的人中男性人数超过女性人数的
概率.
21（4+4+4=12）．一只药用昆虫的产卵数 y 与一定范围内的温度 x 有关,
现收集了该种药用昆虫的 6 组观测数据如下表：
温度 x/C 21 23 24 27 29 32
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产卵数 y/个 6 11 20 27 57 77
经 计 算 得 ： ， ， ， ，，线 性 回 归 模 型 的 残 差 平 方 和 ，
e8.0605≈3167，其中 xi, yi 分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1,
2, 3, 4, 5, 6.
(1)若用线性回归模型，求 y 关于 x 的回归方程=x+（精确到 0.1）；
(2)若用非线性回归模型求得 y 关于 x 的回归方程为=0.06e0.2303x，
且相关指数 R2=0.9522.
( i )试与(Ⅰ)中的回归模型相比，用 R2 说明哪种模型的拟合效果更好.
( ii )用拟合效果好的模型预测温度为 35C 时该种药用昆虫的产卵数
（结果取整数）.
附：一组数据(x1,y1), (x2,y2), ...,(xn,yn ), 其回归直线=x+的斜
率和截距的最小二乘估计为
=−；相关指数 R2=．
22（5+7=12）．已知函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若不等式 对于任意成立，求正实数的取值范围.
参考答案
6
1
1 266 i
i
x x
=
= =∑ 6
1
1 336 i
i
y y
=
= =∑ ( )6
1
( ) 557i i
i
x x y y
=
− − =∑
( )6 2
1
84i
i
x x
=
− =∑ 6
2
1
( ) 3930i
i
y y
=
− =∑ 6
2
1
( ) 236.ˆ 64i i
i
y y
=
− =∑
ˆy ˆb
ˆa
ˆy
ˆy ˆb ˆa
( )
( )
1
2
1
( )
,ˆ
n
i ii
n
ii
x x y y
b
x x
=
=
− −
=
−
∑
∑ ˆa y ˆbx
2
1
2
1
( )
1
( )
ˆn
i ii
n
ii
y y
y y
=
=
−
−
−
∑
∑
( ) ( )21 1 ln2f x x a x a x= − + +
1a < ( )f x
( ) ( )1f x a x+ +
2
12
ax x e≥ + + − 1,x e e− ∈ a
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一．选择题答案：CACDAD CBCBAB
1．C
【解析】全称性命题的否定是特称性命题，所以选 C.
2． A
【解析】由得,在复平面内对应的点为,在第一象限,故选.
3．C
【解析】项，当时，，所以在上为增函数，故项错误；
项，由图象可知，在处取得极大值，故项错误；
项，当时，，所以在上为减函数，故项正确；
项，时，，时，，在处取得极小值，故项错误．
综上所述．
故选．
4．D
【 解 析 】 ∵f′(x) ＝ x － ， 且 x>0. 令 f′(x)>0 ， 得 x>1 ； 令
f′(x)<0，得0
1 xx
= 1x = ± x
1N =
( ) ( ) ( )0 mod2 , 0 mod3 , 1 5N N N mod= = = 1 1 2N = + =
( ) ( ) ( )0 mod2 , 0 mod3 , 1 5N N N mod= = = 2 1 3N = + =
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点睛：解答本题的关键要搞清楚算法流程图中的运算程序，逐一进行
循环操作，直至算法程序结束。解答本题时，要对的取值逐一验证是
否 满 足 ， 经 检 验 当 时 ， 同 时 成 立 ， 运 算 程 序 结 束 。
12．B
【解析】∵定义在上的函数，满足，∴函数的图象关于直线对称，又
∵，∴当时， ；当时， ，∴函数在上是增函数，在上是减函数，分种
情况讨论：①若在对称轴的右边或在对称轴上，由，易得．②若在对
称轴的左边，由，易得，即在对称轴的右边，又，∴，∴．综上所
述 ， ， 故 选 B ．
【方法点睛】本题主要考查函数的对称性、利用导数研究函数的单调
性以及分类讨论思想的应用，属于难题.分类讨论思想解决高中数学问
题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其
在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用
( ) ( ) ( )0 mod2 , 0 mod3 , 1 5N N N mod= = = 1 5 6N = + =
( ) ( ) ( )0 mod2 , 0 mod3 , 1 5N N N mod= = =
N
( ) ( ) ( )0 mod2 , 0 mod3 , 1 5N N N mod= = = 6N =
( ) ( ) ( )0 mod2 , 0 mod3 , 1 5N N N mod= = =
R ( )y f x= ( ) ( )3f x f x− = ( )y f x= 3
2x = ( )3 02x f x
′− <
3
2x > ( ) 0f x′ < 3
2x < ( ) 0f x′ > ( )y f x= 3, 2
−∞
3 ,2
+∞ 2 1x 3
2x = 1 2x x<
( ) ( )1 2f x f x> 1x 3
2x = 1 2 3x x+ > 2
3
2x > 2x 3
2x = 2 1
3 3
2 2x x− > − 2 1
3 3
2 2x x− > −
( ) ( )1 2f x f x> ( ) ( )1 2f x f x>
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这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分
利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同
学们能够熟练掌握并应用与解题当中.
13．1
【 解 析 】 因 为 ， 所 以 ， 所 以 .
14．
【 解 析 】 将 代 入 回 归 方 程 为 ， 可 得 ， 应 填 答 案 。
点睛：解答这类问题的常规方法就是先求出，再借助这个点的坐标满
足回归方程为这一结论，将其代入回归方程可方程，然后通过解方程
得到，使得问题获解。
15．1
【解析】f′（3）=﹣1
将 x=3 代入切线方程得 f（3）=﹣3+5=2
所以 2+（﹣1）=1
故答案为：1
16．
【解析】由题意得，
设与在公共点处的切线相同，
( )3 4 4 3i z i− = +
( )( )
( )( )
4 3 3 44 3 25
3 4 3 4 3 4 25
i ii iz ii i i
+ ++= = = =− − + 1z =
2
1
2e
( ) ( ) 2
3 2 , af x x a g x x
′ ′= − =
( )y f x= ( )( 0)y g x x= > ( )0 0,P x y
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由题意得，即，
由可得或（舍去），
∴，
设，则，
∴当时， 单调递增，当时， 单调递减．
∴，
∴实数的最大值为．
答案：
点睛：
本题以导数的几何意义为载体，考查函数最值的求法．具体来讲就是
根据两函数在交点处的切线相同得到关于切点坐标的方程组，根据得
到的相等关系将问题转化为求函数的最大值的问题处理，最后根据导
数求解即可．
17．（1）减区间为，增区间为；（2）.
【解析】试题分析：（1）求函数单调区间则根据导函数解大于 0 和小
于 0 的解集即可得出单调区间；（2）由第（1）得出单调区间 f(x)在
上为增函数，在上为减函数可知最大值为 f（-1）求出 a 值，然后再求
最小值即可
解析：(1)由题知：
( ) ( )
( ) ( )0 0
0 0
{ f x g x
f x g x
′=
=
′
2
0
0
2 2
0 0 0
3 2
{
3 22
ax a x
x ax a lnx b
− =
− = +
2
0
0
3 2 ax a x
− = 0x a= 0 3
ax = −
2 2
0 0 0
1
2b x x lnx= − −
( ) 2 21 ln ,( 0)2h t t t t t= − − > ( ) ( ) ( )2 ln 2 1 lnh t t t t t t t= − − + = +′ −
10 t e
< < ( )h t 1t e
> ( )h t
( ) 2max
1 1
2h t h e e
= =
b 2
1
2e
2
1
2e
( )1,3− ( ) ( )- -1 3∞ + ∞， ， ， 19−
[ ]-2 -1， [ ]-1 2，
( ) ( ) ( )23 6 9 3 3 1f x x x x x= − − = − ⋅ +′
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令则 x<-1 或 x>3; 令则-1
所以减区间为（-1，3），增区间.
(2)由(1)知 f(x)在上为增函数，在上为减函数.
所以,解得 a=3 ,
则, ,
所以 f(x)在上的最小值为-19.
18．（1），；（2）
【解析】试题分析：（1）由 sin2α+cos2α=1，能求出曲线 C1 的普通
方程，由 x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线 C2 的极坐标方程；（2）
依题意设 A（），B（），将代入曲线 C1 的极坐标方程，求出 ρ1=3，将
（ρ＞0）代入曲线 C2 的极坐标方程求出，由此能求出|AB|．
解析：
（Ⅰ）由得.
所以曲线的普通方程为.
把，代入，得到，化简得到曲线的极坐标方程为.
（Ⅱ）依题意可设,曲线的极坐标方程为.
将代入的极坐标方程得，解得.
( ) 0f x′ 〉 ， ( ) 0f x′ 〈 ，
( ) ( )- -1 3∞ + ∞， ， ，
[ ]-2 -1， [ ]-1 2，
( ) ( )max 1 1 3 9 8f x f a= − = − − + + =
( )2 1f − = ( )2 19f = −
[ ]-2 2，
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将代入的极坐标方程得.
所以.
19．（Ⅰ），；（Ⅱ）
【解析】试题分析：（1）由题意，将曲线的极坐标方程两边同时乘于
极径，由，，即将其转化为普通方程；由曲线的参数方程经过消参，即
可求得曲线的普通方程.（2）由（1）易知曲线为圆，为直线，利用直
线参数方程中参数的几何意义，将问题转化为的值，由此可联立直线
参数方程与圆的方程消去，由韦达定理，从而问题可得解.
试题解析：(Ⅰ)
的直角坐标方程为:
的普通方程为
（Ⅱ）将
得：
由的几何意义可得：
点睛：此题主要考查曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程间的互
化，以及直线参数方程中其参数的几何意义的在求线段之积最值等中
的应用，属于中低档题型，也是常考考点.在极坐标方程与普通方程的
转化过程中，将极坐标方程构造出，再由互换公式，，进行替换即可.
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20．(1)见解析;(2) .
【解析】试题分析：
（1）先根据题中数据完成列联表，然后根据列联表求得，再结合临界
值表中的数据得到结论即可．（2）根据古典概型概率的求法先通过列
举法得到基本事件总数和男性人数超过女性人数所包含的基本事件数，
然后根据概率公式求解．
试题解析：
（1）根据题意完成下面的列联表：
积极性 懈怠性 总计
男 20 10 30
女 12 8 20
总计 32 18 50
根据列联表中的数据，得到，
所以没有 90%的把握认为“评定类型与性别有关”．
（2）设步行数在中的男性的编号为 1，2，女性的编号为.
从 5 人中选取三位的所有情况为：
，共有 10 种．
符合条件的情况有：，共 3 种．
故所求概率为.
21．(Ⅰ) =6.6x−138.6．(Ⅱ)(i)答案见解析；(2)190. ˆy
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【解析】试题分析：
(Ⅰ)根据所给公式及数据求得，从而可得线性回归方程．(Ⅱ) ( i )根
据 所 给 数 据 求 出 相 关 指 数 为 R2 ， 通 过 比 较 可 得 回 归 方 程 为
=0.06e0.2303x 的拟合效果好．( ii )当 x=35 时，求出=0.06e0.2303x
的值即为预测值．
试题解析：
(Ⅰ)由题意得，
∴33−6.626=−138.6，
∴y 关于 x 的线性回归方程为=6.6x−138.6．
(Ⅱ) ( i )由所给数据求得的线性回归方程为=6.6x−138.6，相关指数
为
R2=
因为 0.9398＜0.9522，
所以回归方程=0.06e0.2303x 比线性回归方程=6.6x−138.6 拟合效果
更好．
( ii )由( i )得当温度 x=35C 时， =0.06e0.230335=0.06e8.0605．
又∵e8.0605≈3167，
∴≈0.063167≈190（个）．
即当温度 x=35C 时，该种药用昆虫的产卵数估计为 190 个．
点睛：
ˆ ˆb a， 0.9398= ˆy ˆy
( )
( )
6
1
6 2
1
( ) 557 6.6ˆ ,84
i ii
ii
x x y y
b
x x
=
=
− −
= = ≈
−
∑
∑
ˆa =
ˆy
ˆy
6 2
1
6 2
1
( ) 236.641 1 1 0.0602 0.9398.3930( )
ˆi ii
ii
y y
y y
=
=
−
− = − ≈ − =
−
∑
∑
ˆy ˆy
ˆy
ˆy
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（1）回归分析问题中的计算比较复杂，因此在解题时要充分利用条件
中所给的已知数据和公式．
（2）回归分析方程刻画了变量之间相关关系的相关程度，回归方程的
不同，其反映的拟合效果也不一样，对此可用相关指数 R2 来刻画回归
方程的拟合效果．对同一组变量得到的不同的回归方程，当相关指数 R2
越大时，其拟合效果越好．
22．(1)答案见解析；(2) .
【解析】试题分析： 求出函数的定义域和导数，然后讨论当时，当时
确定的单调性问题等价于对任意，有成立，设， ，根据函数的单调性
求出的最大值，解关于的不等式，解出即可
解析：（1）函数的定义域为.
.
若，则
当或时， ， 单调递增；
当时， ， 单调递减.
若，则
当时， ， 单调递减；
当时， ， 单调递增.
综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在
上单调递减，在和上单调递增.
( ]0,1
( )1 0 1a< < 0a ≤ ( )f x ( )2
1 ,x ee
∈ ln 1aa x x e− + ≤ − ( ) ln ag x a x x= − + 0a > ( )g x a
( )f x ( )0,+∞
( ) ( )' 1 af x x a x
= − + + ( )2 1x a x a
x
− + += ( )( )1x a x
x
− −=
0 1a< <
0 x a< < 1x > ( )' 0f x > ( )f x
0 1x< < ( )' 0f x < ( )f x
0a ≤
0 1x< < ( )' 0f x < ( )f x
1x > ( )' 0f x > ( )f x
0a ≤ ( )f x ( )1,+∞ ( )0,1 0 1a< < ( )f x ( ),1a
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（2）原题等价于对任意，有成立.
设， ，所以.
.
令，得；令，得.
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
为与中的较大者.
设 ，
则 ，
所以在上单调递增，故，所以，
从而.
所以即.
设，则.
所以在上单调递增.
又，所以的解为.
因为，所以正实数的取值范围为.
点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及利用导数解决
不等式成立问题，求参量的取值范围，注意第一问中的分类讨论，在
证明不等式成立时本题进行了转化，取其最大值，在不确定最值时进
( )0,a ( )1,+∞
1 ,x ee
∈ ln 1aa x x e− + ≤ −
( ) ln ag x a x x= − + 0a > ( )max 1g x e≤ −
( ) 1' aag x axx
−−= +
( )1aa x
x
−
=
( )' 0g x < 0 1x< < ( )' 0g x > 1x >
( )g x 1 ,1e
( ]1,e
( )maxg x 1 ag a ee
− = +
( ) ag e a e= − +
( ) ( ) 1h a g e g e
= − 2 ( 0)a ae e a a−= − − >
( )' 2a ah a e e−= + − 2 2 0a ae e−> ⋅ − =
( )h a ( )0,+∞ ( ) ( )0 0h a h> = ( ) 1g e g e
>
( ) ( )max
ag x g e a e= = − +
1aa e e− + ≤ − 1 0ae a e− − + ≤
( ) 1( 0)aa e a e aϕ = − − + > ( )' 1 0aa eϕ = − >
( )aϕ ( )0,+∞
( )1 0ϕ = 1 0ae a e− − + ≤ 1a ≤
0a > a ( ]0,1
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行讨论，为求参数范围，再次转化为函数求导计算，整体较为复杂。