2013陕西卷（理）数学试题

2013陕西卷（理）数学试题

‎2013·陕西卷(理科数学)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1． 设全集为，函数f(x)＝的定义域为M，则∁M为(　　)‎ A．[－1，1] ‎ B．(－1，1)‎ C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) ‎ D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ ‎1．D　[解析] 要使二次根式有意义，则M＝{x︱1－x2≥0}＝[－1，1]，故∁M＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．‎ ‎2． 根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为(　　)‎ 输入x；‎ If x≤50　Then y＝0.5*x Else y＝25＋0.6*(x－50)‎ End If 输出y.‎ A．25 B．30 C．31 D．61‎ ‎2．C　[解析] 算法语言给出的是分段函数y＝输入x＝60时，y＝25＋0.6(60－50)＝31.‎ ‎3．， 设，为向量，则“|＝是”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．C　[解析] 由已知中|＝可得，与同向或反向，所以又因为由，可得|cos〈，〉|＝1，故|＝||cos〈a，b〉|＝||，故|·|＝||·||是∥的充分必要条件．‎ ‎4． 某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为(　　)‎ A．11 B．12 C．13 D．14‎ ‎4．B　[解析] 由系统抽样定义可知，所分组距为＝20，每组抽取一个，因为包含整数个组，所以抽取个体在区间[481，720]的数目为(720－480)÷20＝12.‎ ‎5． 如图1－1，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是(　　)‎ 图1－1‎ A．1－ B.－1‎ C．2－ D. ‎5．A　[解析] 阅读题目可知，满足几何概型的概率特点，利用几何概型的概率公式可知：P＝＝1－.‎ ‎6． 设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是(　　)‎ A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2‎ B．若z1＝z2，则z1＝z2‎ C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2‎ D．若|z1|＝|z2|，则z＝z ‎6．D　[解析] 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈)，若|z1－z2|＝0，则z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i＝0⇒a＝c，b＝d，故A正确．若z1＝z2，则a＝c，b＝－d，所以z1＝z2，故B正确．若|z1|＝|z2|，则a2＋b2＝c2＋d2，所以z1·z1＝z2·z2，故C正确．又z＝(a2－b2)＋2abi，z＝(c2－d2)＋2cdi，由a2＋b2＝c2＋d2不能推出z＝z成立，故D错．‎ ‎7． 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 ‎7．B　[解析] 结合已知bcos C＋ccos B＝asin A，所以由正弦定理代入可得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Asin A⇒sin(B＋C)＝sin2A⇒sin A＝sin2A⇒sin A＝1，故A＝90°，故三角形为直角三角形．‎ ‎8．， 设函数f(x)＝则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为(　　)‎ A．－20 B．20 C．－15 D．15‎ ‎8．A　[解析] 由已知表达式可得：f[f(x)]＝－6，展开式的通项为Tr＋1＝C6－r(－)r＝C·(－1)r·xr－3，令r－3＝0，可得r＝3，所以常数项为T4＝－C＝－20.‎ ‎9． 在如图1－2所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是(　　)‎ 图1－2‎ A．[15，20]‎ B．[12，25]‎ C．[10，30]‎ D．[20，30]‎ ‎9．C　[解析] 如下图，可知△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为y，则＝，所以y＝40－x.又xy≥300，所以x(40－x)≥300，即x2－40x＋300≤0，则10≤x≤30.‎ ‎10． 设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有(　　)‎ A．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[x]‎ C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y]‎ ‎10．D　[解析] 可取特值x＝3.5，则[－x]＝[－3.5]＝－4，－[x]＝－[3.5]＝－3，故A错．[2x]＝[7]＝7，2[x]＝2[3.5]＝6，故B错．再取y＝3.8，则[x＋y]＝[7.3]＝7，而[3.5]＋[3.8]＝3＋3＝6，故C错．只有D正确．‎ ‎11． 双曲线－＝1的离心率为，则m等于________．‎ ‎11．9　[解析] 由a2＝16，b2＝m，则c2＝16＋m，则e＝＝，则m＝9.‎ ‎12． 某几何体的三视图如图1－3所示，则其体积为________．‎ 图1－3‎ ‎12.　[解析] 由三视图还原为实物图为半个圆锥，则V＝××π×12×2＝.‎ ‎13． 若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________．‎ ‎13．－4　[解析] 结合题目可以作出y＝∣x－1∣与y＝2所表示的平面区域，令2x－y＝z，即y＝2x－z，作出直线y＝2x，在封闭区域内平移直线y＝2x，当经过点A(－1，2)时，z取最小值为－4.‎ ‎14． 观察下列等式：‎ ‎12＝1‎ ‎12－22＝－3‎ ‎12－22＋32＝6‎ ‎12－22＋32－42＝－10‎ ‎……‎ 照此规律，第n个等式可为________．‎ ‎14．12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1　[解析] 结合已知所给几项的特点，可知式子左边共n项，且正负交错，奇数项为正，偶数项为负，右边的绝对值为左边底数的和，系数和最后一项正负保持一致，故表达式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.‎ ‎15． (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)‎ A．(不等式选做题)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．‎ ‎2　[解析] 利用柯西不等式式可得：(am＋bn)(bm＋an)≥(＋)2＝mn(a＋b)2＝2.‎ ‎ ‎ B．(几何证明选做题)如图1－4，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝________.‎ 图1－4‎ 　[解析] 利用已知可得，∠BCE＝∠PED＝∠BAP，可得△PDE∽△PEA，可得＝，而PD＝2DA＝2，则PA＝3，则PE2＝PA·PD＝6，PE＝.‎ C． ‎ ‎(坐标系与参数方程选做题)如图1－5，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________．‎ 图1－5‎ (θ为参数)　[解析] 设P(x，y)，则随着θ取值变化，P可以表示圆上任意一点，由所给的曲线方程x2＋y2－x＝0⇒x－2＋y2＝，表示以，0为圆心，半径为的圆，可得弦OP＝1×cosθ，所以可得故已知圆的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎16．， 已知向量＝cos x，－，＝(sin x，cos 2x)，x∈，设函数f(x)＝‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在上的最大值和最小值．‎ ‎16．解：f(x)＝cos x，－·(sin x，cos 2x)‎ ‎＝cos xsin x－cos 2x ‎＝sin 2x－cos 2x ‎＝cos sin 2x－sincos 2x ‎＝sin2x－.‎ ‎(1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，‎ 即函数f(x)的最小正周期为π.‎ ‎(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.‎ 由正弦函数的性质，当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.‎ 当2x－＝－，即x＝0时，f(0)＝－，‎ 当2x－＝π，即x＝时，f＝，‎ ‎∴f(x)的最小值为－.‎ 因此，f(x)在0，上最大值是1，最小值是－.‎ ‎17． 设{an}是公比为q的等比数列．‎ ‎(1)推导{an}的前n项和公式；‎ ‎(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．‎ ‎17．解：(1)设{an}的前n项和为Sn，‎ 当q＝1时，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝na1；‎ 当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①‎ qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②‎ ‎①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，‎ ‎∴Sn＝，∴Sn＝ ‎(2)假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈＋，‎ ‎(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，‎ 即a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，‎ 即aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，‎ ‎∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.‎ ‎∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，‎ ‎∴q＝1，这与已知矛盾．‎ ‎∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．‎ ‎18．， 如图1－6，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.‎ ‎(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；‎ ‎(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．‎ 图1－1‎ ‎18．解：(1)方法一：‎ 由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立直角坐标系，如图．‎ ‎∵AB＝AA1＝，‎ ‎∴OA＝OB＝OA1＝1.‎ ‎∴A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，D(0，－1，0)，A1(0，0，1)．‎ 由＝，易知B1(－1，1，1)．‎ ‎∵＝(－1，0，－1)，＝(0，－2，0)，‎ ＝(－1，0，1)，‎ ‎∴·＝0，·＝0，‎ ‎∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，‎ ‎∴A1C⊥平面BB1D1D.‎ 方法二：‎ ‎∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD.‎ 又∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，‎ ‎∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C.‎ 又∵OA1是AC的中垂线，‎ ‎∴A1A＝A1C＝，且AC＝2，∴AC2＝AA＋A1C2，‎ ‎∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C.‎ 又 BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1.‎ ‎∴A1C⊥平面BB1D1D.‎ ‎(2)设平面OCB1的法向量＝(x，y，z)．‎ ‎∵＝(－1，0，0)，＝(－1，1，1)，‎ ‎∴ ‎∴取＝(0，1，－1)，‎ 由(1)知，＝(－1，0，－1)是平面BB1D1D的法向量，‎ ‎∴cos θ＝|cos〈，〉|＝＝.‎ 又∵0≤θ≤，∴θ＝.‎ ‎19． 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．‎ ‎(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；‎ ‎(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．‎ ‎19．解：(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，‎ B表示事件“观众乙选中3号歌手，”‎ 则P(A)＝＝，P(B)＝＝.‎ ‎∵事件A与B相互独立，‎ ‎∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为 P(AB)＝P(A)·P(B)＝P(A)·[1－P(B)]‎ ‎＝×＝.或P(AB )＝＝.‎ ‎(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”．‎ 则P(C)＝＝.‎ ‎∵X可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为 P(X＝0)＝P(A B C)＝××＝.‎ P(X＝1)＝P(AB C)＋P(ABC)＋P(A BC)‎ ‎＝××＋××＋××＝，‎ P(X＝2)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)‎ ‎＝××＋××＋××＝，‎ P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴X的数学期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.‎ ‎20．， 已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；‎ ‎(2)已知点B(－1，0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．‎ ‎20．解：(1)如图所示，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，‎ ‎|O1A|＝|O1M|，‎ 当O1不在y轴上时，‎ 过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，‎ ‎∴|O1M|＝，又|O1A|＝，‎ ‎∴＝.‎ 化简得y2＝8x(x≠0)．‎ 又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0，0)也满足方程y2＝8x，‎ ‎∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.‎ ‎(2)由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，‎ P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 将y＝kx＋b代入y2＝8x中，‎ 得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0，‎ 其中Δ＝－32kb＋64>0.‎ 由求根公式得，x1＋x2＝，①‎ x1x2＝.②‎ 因为x轴是∠PBQ的角平分线，‎ 所以＝－.‎ 即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，‎ ‎(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，‎ ‎2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③‎ 将①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，‎ ‎∴k＝－b，此时Δ>0，‎ ‎∴直线l的方程为y＝k(x－1)，‎ 即直线l过定点(1，0)．‎ ‎21． 已知函数f(x)＝ex，x∈‎ ‎(1)若直线y＝kx＋1与f(x)的反函数的图像相切，求实数k的值；‎ ‎(2)设x>0，讨论曲线y＝f(x)与曲线y＝mx2(m>0)公共点的个数；‎ ‎(3)设a0，φ(x)在(2，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴φ(x)在(0，＋∞)上的最小值为φ(2)＝.‎ 当0时，在区间(0，2)内存在x1＝，使得φ(x1)>m，在(2，＋∞)内存在x2＝me2，使得φ(x2)>m，由φ(x)的单调性知，曲线y＝与y＝m恰有两个公共点．‎ 综上所述，x>0时，‎ 若0，曲线y＝f(x)与y＝mx2有两个公共点．‎ ‎(3)方法一：‎ 可以证明>.事实上，‎ >⇔>⇔>⇔>1－ ‎⇔>1－(b>a)．(*)‎ 令φ(x)＝＋－1(x≥0)，‎ 则φ′(x)＝－ ‎＝＝≥0(仅当x＝0时等号成立)．‎ ‎∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴x>0时，φ(x)>φ(0)＝0.‎ 令x＝b－a，即得(*)式，结论得证．‎ 方法二：‎ － ‎＝－ ‎＝ ‎＝[(b－a)eb－a＋(b－a)－2eb－a＋2]．‎ 设函数u(x)＝xex＋x－2ex＋2(x≥0)，‎ 则u′(x)＝ex＋xex＋1－2ex，‎ 令h(x)＝u′(x)，则h′(x)＝ex＋ex＋xex－2ex＝xex≥0(仅当x＝0时等号成立)，‎ ‎∴u′(x)单调递增，‎ ‎∴当x>0时，u′(x)>u′(0)＝0，∴u(x)单调递增．‎ 当x>0时，u(x)>u(0)＝0.‎ 令x＝b－a，则得(b－a)eb－a＋(b－a)－2eb－a＋2>0，‎ ‎∴－>0，‎ 因此，>.‎