- 2021-06-09 发布 |
- 37.5 KB |
- 10页



申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
2013陕西卷(理)数学试题
2013·陕西卷(理科数学) 1. 设全集为,函数f(x)=的定义域为M,则∁M为( ) A.[-1,1] B.(-1,1) C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 1.D [解析] 要使二次根式有意义,则M={x︱1-x2≥0}=[-1,1],故∁M=(-∞,-1)∪(1,+∞). 2. 根据下列算法语句,当输入x为60时,输出y的值为( ) 输入x; If x≤50 Then y=0.5*x Else y=25+0.6*(x-50) End If 输出y. A.25 B.30 C.31 D.61 2.C [解析] 算法语言给出的是分段函数y=输入x=60时,y=25+0.6(60-50)=31. 3., 设,为向量,则“|=是”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.C [解析] 由已知中|=可得,与同向或反向,所以又因为由,可得|cos〈,〉|=1,故|=||cos〈a,b〉|=||,故|·|=||·||是∥的充分必要条件. 4. 某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为( ) A.11 B.12 C.13 D.14 4.B [解析] 由系统抽样定义可知,所分组距为=20,每组抽取一个,因为包含整数个组,所以抽取个体在区间[481,720]的数目为(720-480)÷20=12. 5. 如图1-1,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是( ) 图1-1 A.1- B.-1 C.2- D. 5.A [解析] 阅读题目可知,满足几何概型的概率特点,利用几何概型的概率公式可知:P==1-. 6. 设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是( ) A.若|z1-z2|=0,则z1=z2 B.若z1=z2,则z1=z2 C.若|z1|=|z2|,则z1·z1=z2·z2 D.若|z1|=|z2|,则z=z 6.D [解析] 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈),若|z1-z2|=0,则z1-z2=(a-c)+(b-d)i=0⇒a=c,b=d,故A正确.若z1=z2,则a=c,b=-d,所以z1=z2,故B正确.若|z1|=|z2|,则a2+b2=c2+d2,所以z1·z1=z2·z2,故C正确.又z=(a2-b2)+2abi,z=(c2-d2)+2cdi,由a2+b2=c2+d2不能推出z=z成立,故D错. 7. 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 7.B [解析] 结合已知bcos C+ccos B=asin A,所以由正弦定理代入可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A⇒sin(B+C)=sin2A⇒sin A=sin2A⇒sin A=1,故A=90°,故三角形为直角三角形. 8., 设函数f(x)=则当x>0时,f[f(x)]表达式的展开式中常数项为( ) A.-20 B.20 C.-15 D.15 8.A [解析] 由已知表达式可得:f[f(x)]=-6,展开式的通项为Tr+1=C6-r(-)r=C·(-1)r·xr-3,令r-3=0,可得r=3,所以常数项为T4=-C=-20. 9. 在如图1-2所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是( ) 图1-2 A.[15,20] B.[12,25] C.[10,30] D.[20,30] 9.C [解析] 如下图,可知△ADE∽△ABC,设矩形的另一边长为y,则=,所以y=40-x.又xy≥300,所以x(40-x)≥300,即x2-40x+300≤0,则10≤x≤30. 10. 设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有( ) A.[-x]=-[x] B.[2x]=2[x] C.[x+y]≤[x]+[y] D.[x-y]≤[x]-[y] 10.D [解析] 可取特值x=3.5,则[-x]=[-3.5]=-4,-[x]=-[3.5]=-3,故A错.[2x]=[7]=7,2[x]=2[3.5]=6,故B错.再取y=3.8,则[x+y]=[7.3]=7,而[3.5]+[3.8]=3+3=6,故C错.只有D正确. 11. 双曲线-=1的离心率为,则m等于________. 11.9 [解析] 由a2=16,b2=m,则c2=16+m,则e==,则m=9. 12. 某几何体的三视图如图1-3所示,则其体积为________. 图1-3 12. [解析] 由三视图还原为实物图为半个圆锥,则V=××π×12×2=. 13. 若点(x,y)位于曲线y=|x-1|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值为________. 13.-4 [解析] 结合题目可以作出y=∣x-1∣与y=2所表示的平面区域,令2x-y=z,即y=2x-z,作出直线y=2x,在封闭区域内平移直线y=2x,当经过点A(-1,2)时,z取最小值为-4. 14. 观察下列等式: 12=1 12-22=-3 12-22+32=6 12-22+32-42=-10 …… 照此规律,第n个等式可为________. 14.12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1 [解析] 结合已知所给几项的特点,可知式子左边共n项,且正负交错,奇数项为正,偶数项为负,右边的绝对值为左边底数的和,系数和最后一项正负保持一致,故表达式为12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1. 15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A.(不等式选做题)已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为________. 2 [解析] 利用柯西不等式式可得:(am+bn)(bm+an)≥(+)2=mn(a+b)2=2. B.(几何证明选做题)如图1-4,弦AB与CD相交于⊙O内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P,已知PD=2DA=2,则PE=________. 图1-4 [解析] 利用已知可得,∠BCE=∠PED=∠BAP,可得△PDE∽△PEA,可得=,而PD=2DA=2,则PA=3,则PE2=PA·PD=6,PE=. C. (坐标系与参数方程选做题)如图1-5,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2-x=0的参数方程为________. 图1-5 (θ为参数) [解析] 设P(x,y),则随着θ取值变化,P可以表示圆上任意一点,由所给的曲线方程x2+y2-x=0⇒x-2+y2=,表示以,0为圆心,半径为的圆,可得弦OP=1×cosθ,所以可得故已知圆的参数方程为(θ为参数). 16., 已知向量=cos x,-,=(sin x,cos 2x),x∈,设函数f(x)= (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在上的最大值和最小值. 16.解:f(x)=cos x,-·(sin x,cos 2x) =cos xsin x-cos 2x =sin 2x-cos 2x =cos sin 2x-sincos 2x =sin2x-. (1)f(x)的最小正周期为T===π, 即函数f(x)的最小正周期为π. (2)∵0≤x≤,∴-≤2x-≤. 由正弦函数的性质,当2x-=,即x=时,f(x)取得最大值1. 当2x-=-,即x=0时,f(0)=-, 当2x-=π,即x=时,f=, ∴f(x)的最小值为-. 因此,f(x)在0,上最大值是1,最小值是-. 17. 设{an}是公比为q的等比数列. (1)推导{an}的前n项和公式; (2)设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列. 17.解:(1)设{an}的前n项和为Sn, 当q=1时,Sn=a1+a2+…+an=na1; 当q≠1时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,① qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,② ①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn, ∴Sn=,∴Sn= (2)假设{an+1}是等比数列,则对任意的k∈+, (ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1), 即a+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1, 即aq2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1, ∵a1≠0,∴2qk=qk-1+qk+1. ∵q≠0,∴q2-2q+1=0, ∴q=1,这与已知矛盾. ∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列. 18., 如图1-6,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=. (1)证明:A1C⊥平面BB1D1D; (2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小. 图1-1 18.解:(1)方法一: 由题设易知OA,OB,OA1两两垂直,以O为原点建立直角坐标系,如图. ∵AB=AA1=, ∴OA=OB=OA1=1. ∴A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),A1(0,0,1). 由=,易知B1(-1,1,1). ∵=(-1,0,-1),=(0,-2,0), =(-1,0,1), ∴·=0,·=0, ∴A1C⊥BD,A1C⊥BB1, ∴A1C⊥平面BB1D1D. 方法二: ∵A1O⊥平面ABCD,∴A1O⊥BD. 又∵四边形ABCD是正方形,∴BD⊥AC, ∴BD⊥平面A1OC,∴BD⊥A1C. 又∵OA1是AC的中垂线, ∴A1A=A1C=,且AC=2,∴AC2=AA+A1C2, ∴△AA1C是直角三角形,∴AA1⊥A1C. 又 BB1∥AA1,∴A1C⊥BB1. ∴A1C⊥平面BB1D1D. (2)设平面OCB1的法向量=(x,y,z). ∵=(-1,0,0),=(-1,1,1), ∴ ∴取=(0,1,-1), 由(1)知,=(-1,0,-1)是平面BB1D1D的法向量, ∴cos θ=|cos〈,〉|==. 又∵0≤θ≤,∴θ=. 19. 在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手. (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率; (2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望. 19.解:(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”, B表示事件“观众乙选中3号歌手,” 则P(A)==,P(B)==. ∵事件A与B相互独立, ∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为 P(AB)=P(A)·P(B)=P(A)·[1-P(B)] =×=.或P(AB )==. (2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”. 则P(C)==. ∵X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为 P(X=0)=P(A B C)=××=. P(X=1)=P(AB C)+P(ABC)+P(A BC) =××+××+××=, P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =××+××+××=, P(X=3)=P(ABC)=××=. ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ∴X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×==. 20., 已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程; (2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点. 20.解:(1)如图所示,设动圆圆心O1(x,y),由题意, |O1A|=|O1M|, 当O1不在y轴上时, 过O1作O1H⊥MN交MN于H,则H是MN的中点, ∴|O1M|=,又|O1A|=, ∴=. 化简得y2=8x(x≠0). 又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x, ∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x. (2)由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k≠0), P(x1,y1),Q(x2,y2), 将y=kx+b代入y2=8x中, 得k2x2+(2bk-8)x+b2=0, 其中Δ=-32kb+64>0. 由求根公式得,x1+x2=,① x1x2=.② 因为x轴是∠PBQ的角平分线, 所以=-. 即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0, (kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0, 2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③ 将①,②代入③得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0, ∴k=-b,此时Δ>0, ∴直线l的方程为y=k(x-1), 即直线l过定点(1,0). 21. 已知函数f(x)=ex,x∈ (1)若直线y=kx+1与f(x)的反函数的图像相切,求实数k的值; (2)设x>0,讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数; (3)设a0,φ(x)在(2,+∞)上单调递增, ∴φ(x)在(0,+∞)上的最小值为φ(2)=. 当0查看更多