2013陕西卷(理)数学试题

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2013陕西卷(理)数学试题

‎2013·陕西卷(理科数学)‎ ‎                 ‎ ‎1. 设全集为,函数f(x)=的定义域为M,则∁M为(  )‎ A.[-1,1] ‎ B.(-1,1)‎ C.(-∞,-1]∪[1,+∞) ‎ D.(-∞,-1)∪(1,+∞)‎ ‎1.D [解析] 要使二次根式有意义,则M={x︱1-x2≥0}=[-1,1],故∁M=(-∞,-1)∪(1,+∞).‎ ‎2. 根据下列算法语句,当输入x为60时,输出y的值为(  )‎ 输入x;‎ If x≤50 Then y=0.5*x Else y=25+0.6*(x-50)‎ End If 输出y.‎ A.25 B.30 C.31 D.61‎ ‎2.C [解析] 算法语言给出的是分段函数y=输入x=60时,y=25+0.6(60-50)=31.‎ ‎3., 设,为向量,则“|=是”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3.C [解析] 由已知中|=可得,与同向或反向,所以又因为由,可得|cos〈,〉|=1,故|=||cos〈a,b〉|=||,故|·|=||·||是∥的充分必要条件.‎ ‎4. 某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为(  )‎ A.11 B.12 C.13 D.14‎ ‎4.B [解析] 由系统抽样定义可知,所分组距为=20,每组抽取一个,因为包含整数个组,所以抽取个体在区间[481,720]的数目为(720-480)÷20=12.‎ ‎5. 如图1-1,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是(  )‎ 图1-1‎ A.1- B.-1‎ C.2- D. ‎5.A [解析] 阅读题目可知,满足几何概型的概率特点,利用几何概型的概率公式可知:P==1-.‎ ‎6. 设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是(  )‎ A.若|z1-z2|=0,则z1=z2‎ B.若z1=z2,则z1=z2‎ C.若|z1|=|z2|,则z1·z1=z2·z2‎ D.若|z1|=|z2|,则z=z ‎6.D [解析] 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈),若|z1-z2|=0,则z1-z2=(a-c)+(b-d)i=0⇒a=c,b=d,故A正确.若z1=z2,则a=c,b=-d,所以z1=z2,故B正确.若|z1|=|z2|,则a2+b2=c2+d2,所以z1·z1=z2·z2,故C正确.又z=(a2-b2)+2abi,z=(c2-d2)+2cdi,由a2+b2=c2+d2不能推出z=z成立,故D错.‎ ‎7. 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为(  )‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 ‎7.B [解析] 结合已知bcos C+ccos B=asin A,所以由正弦定理代入可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A⇒sin(B+C)=sin2A⇒sin A=sin2A⇒sin A=1,故A=90°,故三角形为直角三角形.‎ ‎8., 设函数f(x)=则当x>0时,f[f(x)]表达式的展开式中常数项为(  )‎ A.-20 B.20 C.-15 D.15‎ ‎8.A [解析] 由已知表达式可得:f[f(x)]=-6,展开式的通项为Tr+1=C6-r(-)r=C·(-1)r·xr-3,令r-3=0,可得r=3,所以常数项为T4=-C=-20.‎ ‎9. 在如图1-2所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是(  )‎ 图1-2‎ A.[15,20]‎ B.[12,25]‎ C.[10,30]‎ D.[20,30]‎ ‎9.C [解析] 如下图,可知△ADE∽△ABC,设矩形的另一边长为y,则=,所以y=40-x.又xy≥300,所以x(40-x)≥300,即x2-40x+300≤0,则10≤x≤30.‎ ‎10. 设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有(  )‎ A.[-x]=-[x] B.[2x]=2[x]‎ C.[x+y]≤[x]+[y] D.[x-y]≤[x]-[y]‎ ‎10.D [解析] 可取特值x=3.5,则[-x]=[-3.5]=-4,-[x]=-[3.5]=-3,故A错.[2x]=[7]=7,2[x]=2[3.5]=6,故B错.再取y=3.8,则[x+y]=[7.3]=7,而[3.5]+[3.8]=3+3=6,故C错.只有D正确.‎ ‎11. 双曲线-=1的离心率为,则m等于________.‎ ‎11.9 [解析] 由a2=16,b2=m,则c2=16+m,则e==,则m=9.‎ ‎12. 某几何体的三视图如图1-3所示,则其体积为________.‎ 图1-3‎ ‎12. [解析] 由三视图还原为实物图为半个圆锥,则V=××π×12×2=.‎ ‎13. 若点(x,y)位于曲线y=|x-1|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值为________.‎ ‎13.-4 [解析] 结合题目可以作出y=∣x-1∣与y=2所表示的平面区域,令2x-y=z,即y=2x-z,作出直线y=2x,在封闭区域内平移直线y=2x,当经过点A(-1,2)时,z取最小值为-4.‎ ‎14. 观察下列等式:‎ ‎12=1‎ ‎12-22=-3‎ ‎12-22+32=6‎ ‎12-22+32-42=-10‎ ‎……‎ 照此规律,第n个等式可为________.‎ ‎14.12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1 [解析] 结合已知所给几项的特点,可知式子左边共n项,且正负交错,奇数项为正,偶数项为负,右边的绝对值为左边底数的和,系数和最后一项正负保持一致,故表达式为12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1.‎ ‎15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)‎ A.(不等式选做题)已知a,b,m,n均为正数,且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为________.‎ ‎2 [解析] 利用柯西不等式式可得:(am+bn)(bm+an)≥(+)2=mn(a+b)2=2.‎ ‎ ‎ B.(几何证明选做题)如图1-4,弦AB与CD相交于⊙O内一点E,过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P,已知PD=2DA=2,则PE=________.‎ 图1-4‎  [解析] 利用已知可得,∠BCE=∠PED=∠BAP,可得△PDE∽△PEA,可得=,而PD=2DA=2,则PA=3,则PE2=PA·PD=6,PE=.‎ C. ‎ ‎(坐标系与参数方程选做题)如图1-5,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2-x=0的参数方程为________.‎ 图1-5‎ (θ为参数) [解析] 设P(x,y),则随着θ取值变化,P可以表示圆上任意一点,由所给的曲线方程x2+y2-x=0⇒x-2+y2=,表示以,0为圆心,半径为的圆,可得弦OP=1×cosθ,所以可得故已知圆的参数方程为(θ为参数).‎ ‎16., 已知向量=cos x,-,=(sin x,cos 2x),x∈,设函数f(x)=‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在上的最大值和最小值.‎ ‎16.解:f(x)=cos x,-·(sin x,cos 2x)‎ ‎=cos xsin x-cos 2x ‎=sin 2x-cos 2x ‎=cos sin 2x-sincos 2x ‎=sin2x-.‎ ‎(1)f(x)的最小正周期为T===π,‎ 即函数f(x)的最小正周期为π.‎ ‎(2)∵0≤x≤,∴-≤2x-≤.‎ 由正弦函数的性质,当2x-=,即x=时,f(x)取得最大值1.‎ 当2x-=-,即x=0时,f(0)=-,‎ 当2x-=π,即x=时,f=,‎ ‎∴f(x)的最小值为-.‎ 因此,f(x)在0,上最大值是1,最小值是-.‎ ‎17. 设{an}是公比为q的等比数列.‎ ‎(1)推导{an}的前n项和公式;‎ ‎(2)设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列.‎ ‎17.解:(1)设{an}的前n项和为Sn,‎ 当q=1时,Sn=a1+a2+…+an=na1;‎ 当q≠1时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,①‎ qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,②‎ ‎①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn,‎ ‎∴Sn=,∴Sn= ‎(2)假设{an+1}是等比数列,则对任意的k∈+,‎ ‎(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),‎ 即a+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,‎ 即aq2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,‎ ‎∵a1≠0,∴2qk=qk-1+qk+1.‎ ‎∵q≠0,∴q2-2q+1=0,‎ ‎∴q=1,这与已知矛盾.‎ ‎∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列.‎ ‎18., 如图1-6,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=.‎ ‎(1)证明:A1C⊥平面BB1D1D;‎ ‎(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小.‎ 图1-1‎ ‎18.解:(1)方法一:‎ 由题设易知OA,OB,OA1两两垂直,以O为原点建立直角坐标系,如图.‎ ‎∵AB=AA1=,‎ ‎∴OA=OB=OA1=1.‎ ‎∴A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),A1(0,0,1).‎ 由=,易知B1(-1,1,1).‎ ‎∵=(-1,0,-1),=(0,-2,0),‎ =(-1,0,1),‎ ‎∴·=0,·=0,‎ ‎∴A1C⊥BD,A1C⊥BB1,‎ ‎∴A1C⊥平面BB1D1D.‎ 方法二:‎ ‎∵A1O⊥平面ABCD,∴A1O⊥BD.‎ 又∵四边形ABCD是正方形,∴BD⊥AC,‎ ‎∴BD⊥平面A1OC,∴BD⊥A1C.‎ 又∵OA1是AC的中垂线,‎ ‎∴A1A=A1C=,且AC=2,∴AC2=AA+A1C2,‎ ‎∴△AA1C是直角三角形,∴AA1⊥A1C.‎ 又 BB1∥AA1,∴A1C⊥BB1.‎ ‎∴A1C⊥平面BB1D1D.‎ ‎(2)设平面OCB1的法向量=(x,y,z).‎ ‎∵=(-1,0,0),=(-1,1,1),‎ ‎∴ ‎∴取=(0,1,-1),‎ 由(1)知,=(-1,0,-1)是平面BB1D1D的法向量,‎ ‎∴cos θ=|cos〈,〉|==.‎ 又∵0≤θ≤,∴θ=.‎ ‎19. 在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.‎ ‎(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;‎ ‎(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.‎ ‎19.解:(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,‎ B表示事件“观众乙选中3号歌手,”‎ 则P(A)==,P(B)==.‎ ‎∵事件A与B相互独立,‎ ‎∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为 P(AB)=P(A)·P(B)=P(A)·[1-P(B)]‎ ‎=×=.或P(AB )==.‎ ‎(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”.‎ 则P(C)==.‎ ‎∵X可能的取值为0,1,2,3,且取这些值的概率分别为 P(X=0)=P(A B C)=××=.‎ P(X=1)=P(AB C)+P(ABC)+P(A BC)‎ ‎=××+××+××=,‎ P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)‎ ‎=××+××+××=,‎ P(X=3)=P(ABC)=××=.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×==.‎ ‎20., 已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;‎ ‎(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点.‎ ‎20.解:(1)如图所示,设动圆圆心O1(x,y),由题意,‎ ‎|O1A|=|O1M|,‎ 当O1不在y轴上时,‎ 过O1作O1H⊥MN交MN于H,则H是MN的中点,‎ ‎∴|O1M|=,又|O1A|=,‎ ‎∴=.‎ 化简得y2=8x(x≠0).‎ 又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,‎ ‎∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.‎ ‎(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),‎ P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 将y=kx+b代入y2=8x中,‎ 得k2x2+(2bk-8)x+b2=0,‎ 其中Δ=-32kb+64>0.‎ 由求根公式得,x1+x2=,①‎ x1x2=.②‎ 因为x轴是∠PBQ的角平分线,‎ 所以=-.‎ 即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,‎ ‎(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,‎ ‎2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③‎ 将①,②代入③得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,‎ ‎∴k=-b,此时Δ>0,‎ ‎∴直线l的方程为y=k(x-1),‎ 即直线l过定点(1,0).‎ ‎21. 已知函数f(x)=ex,x∈‎ ‎(1)若直线y=kx+1与f(x)的反函数的图像相切,求实数k的值;‎ ‎(2)设x>0,讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数;‎ ‎(3)设a0,φ(x)在(2,+∞)上单调递增,‎ ‎∴φ(x)在(0,+∞)上的最小值为φ(2)=.‎ 当0时,在区间(0,2)内存在x1=,使得φ(x1)>m,在(2,+∞)内存在x2=me2,使得φ(x2)>m,由φ(x)的单调性知,曲线y=与y=m恰有两个公共点.‎ 综上所述,x>0时,‎ 若0,曲线y=f(x)与y=mx2有两个公共点.‎ ‎(3)方法一:‎ 可以证明>.事实上,‎ >⇔>⇔>⇔>1- ‎⇔>1-(b>a).(*)‎ 令φ(x)=+-1(x≥0),‎ 则φ′(x)=- ‎==≥0(仅当x=0时等号成立).‎ ‎∴φ(x)在[0,+∞)上单调递增,‎ ‎∴x>0时,φ(x)>φ(0)=0.‎ 令x=b-a,即得(*)式,结论得证.‎ 方法二:‎ - ‎=- ‎= ‎=[(b-a)eb-a+(b-a)-2eb-a+2].‎ 设函数u(x)=xex+x-2ex+2(x≥0),‎ 则u′(x)=ex+xex+1-2ex,‎ 令h(x)=u′(x),则h′(x)=ex+ex+xex-2ex=xex≥0(仅当x=0时等号成立),‎ ‎∴u′(x)单调递增,‎ ‎∴当x>0时,u′(x)>u′(0)=0,∴u(x)单调递增.‎ 当x>0时,u(x)>u(0)=0.‎ 令x=b-a,则得(b-a)eb-a+(b-a)-2eb-a+2>0,‎ ‎∴->0,‎ 因此,>.‎
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