数学理卷·2018届重庆市江津、巴县、长寿等七校联盟高三下学期第三次诊断性联考（2018

数学理卷·2018届重庆市江津、巴县、长寿等七校联盟高三下学期第三次诊断性联考（2018

七校高2017级第三次诊断性考试 数学(理科)试题 ‎ ‎ 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上.‎ ‎2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.‎ ‎3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上.‎ ‎4．考试结束后，将答题卷交回.‎ 第I卷（选择题，60分）‎ 一、选择题。共12题，每题5分，共60分。每小题有且只有一个选项是正确的。‎ ‎1．已知集合，，则为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数的共轭复数为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．在△中，“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．向量满足，则（ ）‎ A．4 B． C．2 D． ‎ ‎5．设等比数列满足且成等差数列，则（ ）‎ A．64 B．36 C．32 D．16 ‎ ‎6．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)即先胜3局者获胜，甲乙两队比赛，甲在每局比赛获胜的概率都相等为，已知前2局中乙队以2:0领先，则最后乙队获胜的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7题图 ‎ ‎ ‎8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A．54 B．60 ‎ C．72 D．66 ‎ ‎9．设满足，则的最大值是（ ）‎ A．16 B．8 C．4 D．20‎ A B C ‎ D ‎ ‎10．如图正方体的棱长为1，点在线段和线段上移动，，过直线的平面将正方体分成两部分，记棱所在部分的体积为，则函数的大致图像是（ ）‎ ‎11．点是抛物线与双曲线的一条渐近线的一个交点，若点到抛物线的焦点的距离为，则双曲线的离心率等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12．已知函数，用表示中的最小值，设函数，则的零点个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4 ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～24题为选考题，考生根据要求做答。‎ 二、填空题。（共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．二项式展开式中的系数是；‎ ‎14．若函数为上的奇函数，，则满足的的取值范围是；‎ ‎15．在平面直角坐标系中，过三点的圆与轴相交所得的弦长为；‎ ‎16．若数列满足，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是。‎ 三、解答题。（共6小题，共70分）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知在中，角的对边分别为，且 ‎（1）求角的大小;‎ ‎（2）若的面积，，求的值。‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 为了整顿食品的安全卫生，食品监督部门对某食品厂生产的甲、乙两种食品进行了检测调研，检测某种有害微量元素的含量，在甲乙两种食品中各随机抽取了10个批次的食品，每个批次各随机地抽取了一件，右图是测量数据的茎叶图(单位：毫克)．‎ 规定：当食品中的有害微量元素含量(单位：毫克)在[0，10]时为一等品，在(10，20]时为二等品，20以上为劣质品．‎ ‎（1）以食品的等级为层,用分层抽样的方法在两组数据中各抽取5个数据，再分别从这5个数据中各选取2个，求选取的数据中甲乙均有劣质品的概率；‎ ‎（2）设每生产一件一等品盈利50元、一件二等品盈利20元一件，劣质品亏损20元．根据样本统计得到的甲、乙两种食品为一等品、二等品、劣质品的频率分别估计这两种食品中每件为一等品、二等品、劣质品的概率．若分别从甲、乙食品中各抽取一件，设这两件食品给该厂带来的盈利为X，求随机变量X的分布列和数学期望。‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求与平面所成角的正弦值。‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，分别为椭圆：的左、右焦点,为椭圆的上顶点，是椭圆上的一点，满足，且的周长为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点是轴上的一点，过点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于两点，若是以为顶点的等腰三角形，求点到直线距离的取值范围。‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知.‎ ‎（1）设，求的单调区间；‎ ‎（2）若对恒成立，求的最小值。‎ 选作：考生从22、23、24题中任选一题作答，如果多答，按所做第一题记分。‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.‎ ‎（1）求证：AB为圆的直径；‎ ‎（2）若AC=BD，求证：AB=ED.‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为 ‎（1）求的交点的直角坐标；‎ ‎（2）若直线与均相切，求的方程.‎ ‎24．（本小题满分10分）‎ ‎（1）若，试比较和的大小；‎ ‎（2）若，求证：‎ 数学(理科)答案 一、选择题。‎ ‎1-6 DDBBAC 7-12 CDACBA ‎12．提示：‎ 法一：当时，，故，无零点； 当时，，因得，故，1不为零点； 当时，因，故的零点即为的零点；又而分析得上递减或先减后增，由零点存在定理，有且只有一个零点。‎ 法二：由得在单调递减，在单调递增，由此画出与的大致图像可解。‎ 二、填空题。‎ ‎13．16 14． 15． 16．‎ ‎16．提示：‎ 法一：易算得猜想得；则，得恒成立，故，解得。‎ 法二：由，则是等差数列；解得，下同解法一。‎ 三、解答题。‎ ‎17．解：（1）， （2分）‎ 得，‎ ‎，（4分） ‎ 解得（舍去），。 （6分）‎ ‎（2）由得： （7分）‎ 由余弦定理得：（9分）‎ 由正弦定理得：‎ ‎ （12分）‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：(1)从甲中抽取的5个数据对应的食品中，一等品有4×＝2(个)，二等品有2个，劣质品1个；从乙中抽取的5个数据对应的食品中，一等品有6×＝3(个)，二等品有1个；劣质品1个； （2分） ‎ 则甲乙中均有劣质品的概率为 （5分）‎ ‎(2)由题意，设“从甲中任取1件为一等品”为事件C1，则P(C1)＝＝；‎ 设“从甲中任取1件为二等品”为事件C2，则P(C2)＝＝；‎ 设“从甲中任取1件为劣质品”为事件C3，则P(C3)＝＝；‎ 设“从乙中任取1件为一等品”为事件D1，则P(D1)＝＝；‎ 设“从乙中任取1件为二等品”为事件D2，则P(D2)＝＝；‎ 设“从乙中任取1件为劣质品”为事件D3，则P(D3)＝＝；‎ 易知X所有可能的取值为－40，0，30，40，70，100，‎ P(X＝－40)＝P(C3D3)＝×＝，‎ P(X＝0)＝P(C3D2)＋P(C2D3)＝×＋×＝，‎ P(X＝30)＝P(C1D3)＋P(C3D1)＝×＋×＝，‎ P(X＝40)＝P(C2D2)＝×＝，‎ P(X＝70)＝P(C1D2)＋P(C2D1)＝×＋×＝，‎ P(X＝100)＝P(C1D1)＝×＝， （9分）‎ ‎∴X的分布列为 X ‎－40‎ ‎0‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎70‎ ‎100‎ P 故E(X)＝－40×＋0×＋30×＋40×＋70×＋100×＝54. （12分）‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（1）连结，在中，，‎ 由余弦定理得，， ‎ ‎∴，∴． （2分）‎ 又∵为等腰直角三角形，且，∴， （3分）‎ 又∵， ∴平面． ‎ 又∵平面，∴． （5分）‎ ‎（2）∵，易得，‎ ‎∴，∴。 （6分）‎ 以为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， ‎ 则， （7分）‎ ‎∴． ‎ 设平面的法向量，‎ 由得令，得．‎ ‎∴平面的一个法向量为． （9分）‎ ‎∵，（10分）‎ ‎∴， ‎ ‎∴与平面所成角的正弦值为． （12分）‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（1）由已知，设，即 ‎∴即 ………………………………1分 ‎∴ 得：①………………………………………2分 又的周长为，∴ ② ………3分 又①②得： ∴ ∴所求椭圆的方程为： ………5分 ‎（2）设点,直线的方程为………………6分 由 消去，得： ‎ 设，中点为 ‎ 则 ∴‎ ‎∴ ‎ 即 ………………………………………………………8分 ‎∵是以为顶点的等腰三角形 ∴ 即 ‎ ‎∴ ………………………………………10分 设点到直线距离为，‎ 则 ∴ （12分）‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：(1) （2分）‎ 递增递减递增 （4分）‎ ‎(2)令即求对恒成立，‎ ‎， （5分） 令 当时，对于，且开口向上，，‎ ‎，成立 （7分）‎ 当时，开口向上的抛物线且，，故存在使得时，在上递减，不成立（9分）‎ 当时对恒成立，不满足题意 （11分）‎ 综上：的最小值 （12分）‎ ‎22．解：（1）因为，所以，因为切线，故又因为，所以，所以 从而，由于，所以，于是，所以 是直径。 （5分）‎ ‎（2）连接，由于是直径，故，又，则，于是又因为，所以，故由于，所以，为直角，于是为直径，得 （10分）‎ ‎23．解：联立得，，故交点的直角坐标是 （5分）‎ 设与轴交于点，由几何关系易算得，斜率故的方程为： 。 （10分）‎ ‎24．解：作差得：；当时，，当时；当时，； （5分）‎ 作商得：，因得且，所以，得证。 （10分）‎