2018-2019学年福建省南平市高二下学期期末质量检测数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年福建省南平市高二下学期期末质量检测数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年福建省南平市高二下学期期末质量检测数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{﹣4，﹣3，1}，则A∩B＝（　　）‎ A．{1，﹣3} B．{1，﹣4} C．{3} D．{1}‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用集合的交集的运算，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，集合 ，所以，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合交集的运算，其中解答中熟记集合的交集运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎2．复数，则复数在复平面中对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】化简复数即得.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 复数在复平面中对应的点的坐标为，位于第二象限.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数，属于基础题.‎ ‎3．给出下列四个命题：‎ ‎①回归直线过样本点中心（，）‎ ‎②将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，平均值不变 ‎③将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 ‎④在回归方程＝4x+4中，变量x每增加一个单位时，y平均增加4个单位 其中错误命题的序号是（　　）‎ A．① B．② C．③ D．④‎ ‎【答案】B ‎【解析】由回归直线都过样本中心，可判断①；由均值和方差的性质可判断②③；由回归直线方程的特点可判断④，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 对于①中，回归直线过样本点中心，故①正确；‎ 对于②中，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，平均值为加上或减去这个常数，故②错误；‎ 对于③中，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故③正确；‎ 对于④中，在回归直线方程，变量每增加一个单位时，平均增加4个单位，故④正确，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了回归直线方程的特点和均值、方差的性质的应用，着重考查了．判断能力，属于基础题．‎ ‎4．“1＜x＜2”是“｜x｜＞1”成立的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】解不等式，进而根据充要条件的定义，可得答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，不等式，解得或，‎ 故“”是“”成立的充分不必要条件，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了不等式的求解，以及充分、必要条件的判定，其中解答熟记充分条件、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎5．设x0是函数f（x）＝lnx+x﹣4的零点，则x0所在的区间为（　　）‎ A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由函数的解析式可得，再根据函数的零点的判定定理，求得函数的零点所在的区间，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 因为是函数的零点，由，‎ 所以函数的零点所在的区间为，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的零点的判定定理的应用，其中解答中熟记零点的存在定理，以及对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎6．已知曲线C：y＝，曲线C关于y轴的对称曲线C′的方程是（　　）‎ A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝‎ ‎【答案】A ‎【解析】设所求曲线上任意一点，由关于直线的对称的点在已知曲线上，然后代入已知曲线，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 设所求曲线上任意一点，‎ 则关于直线的对称的点在已知曲线，‎ 所以，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了已知曲线关于直线的对称的曲线方程的求解，其步骤是：在所求曲线上任取一点，求得其关于直线的对称点，代入已知曲线求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎7．已知a＝log34，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c ‎【答案】B ‎【解析】得出，从而得到的大小关系，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据对数的运算可得，‎ 所以，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数的换底公式，以及对数的单调性、指数的运算的应用，其中解答中熟记对数的运算性质，合理运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎8．已知点F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则M点的纵坐标为（　　）‎ A．2 B．4 C．±2 D．±4‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出抛物线的焦点坐标，推出M的坐标，然后求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点，‎ 若为的中点，如图所示，‎ 可知的横坐标为1，则的纵坐标为，‎ 故选C．‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的简单性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎9．函数y＝﹣ln（﹣x）的图象大致为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析函数的定义域，利用排除法，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数的定义域为，所以可排除A、B、D，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中合理使用函数的性质，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了判断与识别能力，属于基础题．‎ ‎10．已知函数f（x）对任意的实数x均有f（x+2）+f（x）＝0，f（0）＝3，则f（2022）等于（　　）‎ A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析可得，即函数是周期为4的周期函数，据此可得，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，函数对任意的实数均有，即，‎ 则有，即函数是周期为4的周期函数，‎ 则，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的周期的判定及其应用，其中解答中根据题设条件，求得函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎11．若曲线y＝x3﹣2x2+2在点A处的切线方程为y＝4x﹣6，且点A在直线mx+ny﹣2＝0（其中m＞0，n＞0）上，则（　　）‎ A．m+7n﹣1＝0 B．m+n﹣1＝0‎ C．m+13n﹣3＝0 D．m+n﹣1＝0或m+13n﹣3＝0‎ ‎【答案】B ‎【解析】设的导数，可得切线的斜率为，然后根据切线方程尽量关于的方程组，再结合条件，即可求得的关系，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 设的导数，‎ 可得切线的斜率为，‎ 又由切线方程为，所以，‎ 解得，‎ 因为点在直线上，所以，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，利用切线方程列出相应的方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎12．已知点P为双曲线右支上一点，点F1，F2分别为双曲线的左右焦点，点I是△PF1F2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（　　）‎ A．（1，） B．（1，2）‎ C．（1，2] D．（1，]‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据条件和三角形的面积公式，求得的关系式，从而得出离心率的取值范围，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 设的内切圆的半径为，则 ‎，‎ 因为，所以,‎ 由双曲线的定义可知，‎ 所以，即，‎ 又由，所以双曲线的离心率的取值范围是，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．‎ 二、填空题 ‎13．lg5+1g20+e0的值为_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用对数与指数的运算性质，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得，‎ 故答案为3.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数的运算性质，以及指数的运算性质的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎14．已知函数f（x）＝x3﹣3x+1，则函数y＝f（x）的单调递减区间是_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求得函数的导数，利用导数的符号，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 令，即，解得，‎ 所以函数的单调递减区间为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用研究函数的单调性，求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数与原函数的关系式解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎15．若命题“，”是真命题，则m的取值范围是______；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对和两种情况讨论，再取并集.‎ ‎【详解】‎ 命题“，”是真命题，‎ 对，不等式恒成立.‎ 当时，不等式为，满足题意；‎ 当时，有，解得.‎ 综上，.‎ 所以实数的取值范围为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据命题的真假求参数的取值范围，属于基础题.‎ ‎16．将正整数对作如下分组，第组为，第组为，第组为，第组为则第组第个数对为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据归纳推理可知，每对数字中两个数字不相等，且第一组每一对数字和为，第二组每一对数字和为，第三组每对数字和为，第组每一对数字和为， 第组第一对数为，第二对数为，第对数为，第对数为，故答案为.‎ 三、解答题 ‎17．已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数，且a∈R．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）设函数g（x）＝，若将函数g（x）的图象向右平移一个单位得到函数h（x）的图象，求函数h（x）的值域．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由题意可得，解方程可得的值，即可求得的值；‎ ‎（2）求得，由图象平移可得，再由指数函数的值域，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意，函数是定义域为R的奇函数，所以，‎ 即，所以，‎ 经检验时，是奇函数. ‎ ‎(2)由于，所以，即，‎ 所以，‎ 将的图象向右平移一个单位得到的图象，得，‎ 所以函数的值域为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的奇偶性的应用，指数函数的图象与性质的应用，以及图象的变换，着重考查了变形能力，以及推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎18．已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点F1，F2在x轴上，椭圆C短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆C短轴长为2．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程．‎ ‎（2）P为椭圆C上一点，且∠F1PF2＝，求△PF1F2的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由已知可得关于的方程组，求得的值，即可得到椭圆的方程；‎ ‎（2）在中，由已知结合椭圆的定义及余弦定理和三角形的面积公式，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设椭圆的标准方程为，‎ ‎∵椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆短轴长为2，‎ ‎∴，解得，，‎ ‎∴椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）由椭圆定义知 ①‎ 又∠，由余弦定理得 ②‎ 联立①②解得 ‎ 所以三角形的面积 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的定义的应用，标准方程的求解，以及几何性质的应用，其中解答熟练应用椭圆的焦点三角形，以及余弦定理和三角形的面积公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎19．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境，减少空气污染，某空气净化器制造厂，决定投入生产某种惠民型的空气净化器．根据以往的生产销售经验得到月生产销售的统计规律如下：①月固定生产成本为2万元；②每生产该型号空气净化器1百台，成本增加1万元；③月生产百台的销售收入（万元）．假定生产的该型号空气净化器都能卖出（利润＝销售收入﹣生产成本）．‎ ‎（1）为使该产品的生产不亏本，月产量应控制在什么范围内？‎ ‎（2）该产品生产多少台时，可使月利润最大？并求出最大值.‎ ‎【答案】（1）1百台到5.5百台范围内.（2）产量300台时，利润最大，最大值为2万元.‎ ‎【解析】(1)先利用销售收入减去成本得到利润的解析式，解分段函数不等式即可得结果；（2）结合(1)中解析式，分别求出两段函数利润的取值范围，综合两种情况可得当产量300台时，利润最大，最大值为2万元.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意得，成本函数为 从而年利润函数为，‎ 要使不亏本，只要，‎ 所以或，解得或 综上.‎ 答：若要该厂不亏本，月产量x应控制在1百台到5.5百台范围内.‎ ‎(2)当时,‎ 故当时,(万元)‎ 当时,.‎ 综上，当产量300台时，利润最大，最大值为2万元.‎ ‎【点睛】‎ 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)‎ ‎20．“礼让斑马线”是指《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道时，应当停车让行.《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定；对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款150元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”的违章行为的统计数据（以下违章人数均指不“礼让斑马线”的违章人数）：‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 违章人数 ‎120‎ ‎105‎ ‎100‎ ‎90‎ ‎85‎ ‎（1）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程；‎ ‎（2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下列联表：‎ 不礼让斑马线 礼让斑马线 合计 驾龄不超过1年 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 驾龄1年以上 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？‎ 参考公式及数据：，.，（其中）‎ P（）‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）；（2）能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关.‎ ‎【解析】（1）由表中数据求出，代入公式求即得；‎ ‎（2）由表中数据求，再对照临界值表即得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：由表中数据知，，，‎ ‎，（或用另一公式计算）‎ ‎，‎ 所求回归直线方程为.‎ ‎（2）解：由表中数据得.‎ 所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归方程和独立性检验，属于基础题.‎ ‎21．已知函数f（x）＝xex ‎（1）求函数f（x）的极值．‎ ‎（2）若f（x）﹣lnx﹣mx≥1恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）极小值.无极大值；（2）‎ ‎【解析】（1）利用导数可得函数在上单调递减，在上单调递增，即可得到函数的极值；‎ ‎（2）由题意得恒成立，即恒成立，设，求得函数的导数，得到函数在有唯一零点，进而得到函数最小值，得到的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意，函数的定义域为，则 ‎ 因为,‎ 所以，函数在上单调递减，在上单调递增； ‎ 函数在处取得极小值.无极大值 ‎(2)由题意知恒成立 即（）恒成立 设=，则 设，易知在单调递增，‎ 又=<0, >0,所以在有唯一零点，‎ 即=0，且，单调递减；‎ ‎，单调递增，‎ 所以=， ‎ 由=0得=，即 ‎ ‎，由（1）的单调性知，，，‎ 所以==1，‎ 即实数的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A（2，1）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．‎ ‎（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程．‎ ‎（2）求｜AP｜•｜AQ｜的值．‎ ‎【答案】（1）； x2＋y2＝2y；（2）3‎ ‎【解析】（1）由直线的倾斜角与所过定点写出直线的参数方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，求得曲线的直角坐标方程，即可得到答案．‎ ‎（2）将直线的参数方程代入曲线的方程，得到关于的一元二次方程，再由根与系数的关系，以及的几何意义，即可求解的值．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意知，倾斜角为α的直线l过点A（2，1，‎ 所以直线l的参数方程为 (t为参数)， ‎ 因为ρ＝2sin θ，所以ρ2＝2ρsin θ， ‎ 把y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2代入得x2＋y2＝2y， ‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y. ‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2＋(4cos α)t＋3＝0 ，‎ 设P、Q的参数分别为t1、 t2，由根与系数的关系得 t1＋t2＝－4cos α，t1t2＝3，且由Δ＝(4cos α)2－4×3>0， ‎ 所以|AP|·|AQ|=|t1|·|t2|=3.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线的参数方程的求解，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，以及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎23．已知定义在R上的函数f（x）＝｜x﹣m｜+｜x｜，m∈N，存在实数x使f（x）＜2成立．‎ ‎（1）求实数m的值；‎ ‎（2）若α≥1，β≥1，f（α）+f（β）＝4，求证：≥3．‎ ‎【答案】（1）m＝1；（2）见证明 ‎【解析】（1）要使不等式有解，则，再由，能求出实数的值；‎ ‎（2）先求出，从而，由此利用基本不等式，即可作出证明．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为|x－m|＋|x|≥|(x－m)－x|＝|m|，‎ 所以要使不等式|x－m|＋|x|<2有解，则|m|<2，‎ 解得－2

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