高中数学第6章(第6课时)不等式的证明(1)

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高中数学第6章(第6课时)不等式的证明(1)

课 题:不等式的证明(1)‎ 教学目的:‎ 以不等式的等价命题为依据,揭示不等式的常用证明方法之一——比较法,要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式 教学重点:比较法的应用 教学难点:常见解题技巧 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:‎ 一、复习引入:‎ ‎1.重要不等式:‎ 如果 ‎2.定理:如果a,b是正数,那么 ‎3公式的等价变形:ab≤,ab≤()2‎ ‎4. ≥2(ab>0),当且仅当a=b时取“=”号;‎ ‎5.定理:如果,那么(当且仅当时取“=”)‎ ‎6.推论:如果,那么 (当且仅当时取“=”)‎ 二、讲解新课:‎ ‎1.比较法之一(作差法)步骤:作差——变形——判断与0的关系——结论 ‎2.比较法之二(作商法)步骤:作商——变形——判断与1的关系——结论 三、讲解范例:‎ 例1 求证:x2 + 3 > 3x 分析:由比较法证题的方法,先将不等式两遍作差,得(x2 + 3) - 3x=,将此式看作关于x的二次函数,易知有最小值,由配方法易证 证明:∵(x2 + 3) - 3x = ‎ ‎ ∴x2 + 3 > 3x 例2 已知a, b, m都是正数,并且a < b,求证:‎ 分析:这是一道分式不等式的证明题,依比较法证题步骤先将其作差,然后通分,由分子、分母的值的符号推出差值的符号,从而求证 证明:‎ ‎∵a,b,m都是正数,并且a 0 , b - a > 0‎ ‎∴ 即 ‎ ‎ 思考:若a > b,结果会怎样?若没有“a < b”这个条件,应如何判断?‎ 例3 已知a, b都是正数,并且a ¹ b,求证:a5 + b5 > a2b3 + a3b2‎ 分析:依题目特点,作差后重新组项,采用因式分解方法来变形 证明:(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 ) ‎ ‎= a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3)‎ ‎= (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)‎ ‎∵a, b都是正数,∴a + b, a2 + ab + b2 > 0‎ 又∵a ¹ b,∴(a - b)2 > 0 ∴(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) > 0‎ 即 a5 + b5 > a2b3 + a3b2‎ 例4 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点甲有一半时间以速度m行走,另一半时间以速度n行走;乙有一半路程以速度m行走,另一半路程以速度n行走如果m ¹ n,问:甲、乙两人谁先到达指定地点?‎ 分析:设从出发点至指定地点的路程为s,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为、要回答题目中的问题,只要比较、的大小就可以了 解:设从出发地到指定地点的路程为S,甲、乙两人走完全程所需时间分别是、,依题意有: ‎ 可得 ‎ ‎∴‎ ‎∵S, m, n都是正数,且m ¹ n,∴-< 0 即:< ‎ 答:甲先到到达指定地点 说明:此题体现了比较法证明不等式在实际中的应用,要求学生注意实际问题向数学问题的转化 思考:若m = n,结果会怎样?‎ 例5设a, b Î R+,求证:‎ 证明:(作商)‎ 当a = b时,‎ 当a > b > 0时,‎ 当b > a > 0时, ‎ ‎∴ (其余部分略)‎ 四、课堂练习:‎ 五、小结 :我们一起学习了证明不等式的最基本、最重要的方法:比较法,总结了比较法证明不等式的步骤:作差(商)、变形、判断符号 六、课后作业:‎ 七、板书设计(略)‎ 八、课后记: ‎
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