【数学】2020届一轮复习人教A版类比推理作业

【数学】2020届一轮复习人教A版类比推理作业

‎2020届一轮复习人教A版 类比推理 作业 ‎1.给出下列三个类比结论:①类比ax·ay=ax+y,则有ax÷ay=ax-y;②类比loga(xy)=logax+logay,则有sin(α+β)=sin α+sin β;③类比(a+b)2=a2+2ab+b2,则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.‎ 其中正确结论的个数是(　　)‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ 解析:根据指数幂的运算性质知①正确;根据正弦函数的运算性质知②错误;根据向量的运算性质知③正确,因此正确结论有2个.‎ 答案:C ‎2.在等差数列{an}中,有结论a‎1‎‎+a‎2‎+…+‎a‎8‎‎8‎‎=‎a‎4‎‎+‎a‎5‎‎2‎,类比该结论,在等比数列{bn}中,可有结论(　　)‎ A.b‎1‎‎+b‎2‎+…+‎b‎8‎‎8‎‎=‎b‎4‎‎+‎b‎5‎‎2‎ ‎ B.‎‎8‎b‎1‎‎+b‎2‎+…+‎b‎8‎‎=‎b‎4‎‎+‎b‎5‎ C.b‎1‎b‎2‎‎…‎b‎8‎‎=‎b‎4‎b‎5‎ ‎ D.‎‎8‎b‎1‎b‎2‎‎…‎b‎8‎‎=‎b‎4‎b‎5‎ 解析:由于b1b8=b2b7=b3b6=b4b5,所以‎8‎b‎1‎b‎2‎‎…‎b‎8‎‎=‎8‎‎(‎b‎4‎b‎5‎‎)‎‎4‎=‎b‎4‎b‎5‎,故选D.‎ 答案:D ‎3.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=‎2Sa+b+c;类比这个结论可知:四面体P-ABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径为r,四面体P-ABC的体积为V,则r=(　　)‎ A.VS‎1‎‎+S‎2‎+S‎3‎+‎S‎4‎ B.‎‎2VS‎1‎‎+S‎2‎+S‎3‎+‎S‎4‎ C.‎3VS‎1‎‎+S‎2‎+S‎3‎+‎S‎4‎ D.‎‎4VS‎1‎‎+S‎2‎+S‎3‎+‎S‎4‎ 解析:将△ABC的三条边长a,b,c类比到四面体P-ABC的四个面面积S1,S2,S3,S4,将三角形面积公式中系数‎1‎‎2‎,类比到三棱锥体积公式中系数‎1‎‎3‎,从而可知选C.证明如下:以四面体各面为底,内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V,所以V=‎1‎‎3‎S1r+‎1‎‎3‎S2r+‎1‎‎3‎S3r+‎1‎‎3‎S4r,故r=‎3VS‎1‎‎+S‎2‎+S‎3‎+‎S‎4‎.‎ 答案:C ‎4.在平面直角坐标系内,方程xa‎+‎yb=1表示在x轴、y轴上的截距分别为a和b的直线,拓展到空间,在x轴、y轴、z轴上的截距分别为a,b,c(abc≠0)的平面方程为(　　)‎ A.xa‎+yb+‎zc=1 B.xab‎+ybc+‎zca=1‎ C.xyab‎+yzbc+‎zxca=1 D.ax+by+cz=1‎ 解析:从方程xa‎+‎yb=1的结构形式来看,空间直角坐标系中,平面方程的形式应该是xa‎+yb+‎zc=1.‎ 答案:A ‎5.若a0≠0,则函数f(x)=a0x+a1有一个零点x1,且x1=-a‎1‎a‎0‎;函数f(x)=a0x2+a1x+a2有两个零点x1,x2,且x1+x2=-a‎1‎a‎0‎;由此类推,函数f(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3有三个零点x1,x2,x3,则x1+x2+x3=(　　)‎ A.-a‎1‎a‎0‎ B.-a‎2‎a‎1‎ C.-a‎3‎a‎2‎ D.-‎a‎3‎a‎0‎ 解析:由一次函数和二次函数的结论类比可得.‎ 答案:A ‎6.椭圆的标准方程为x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),圆的标准方程为x2+y2=r2(r>0),即x‎2‎r‎2‎‎+‎y‎2‎r‎2‎=1,类比圆的面积S=πr2,推理可得椭圆的面积S=　　　　　. ‎ 解析:根据类比原理:圆的标准方程x‎2‎r‎2‎‎+‎y‎2‎r‎2‎=1对应椭圆的标准方程为x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1,所以圆的面积S=πr2=π·r·r类比椭圆的面积S=π·a·b=πab.‎ 答案:πab ‎7.圆的面积S=πr2,周长C=2πr,两者满足C=S'(r),类比此关系写出球的公式的一个结论是 ‎ ‎　. ‎ 解析:圆的面积、周长分别与球的体积和表面积类比可得,球的体积V=‎4‎‎3‎πR3,表面积S=4πR2,满足S=V'(R).‎ 答案:球的体积V=‎4‎‎3‎πR3,表面积S=4πR2,满足S=V'(R)‎ ‎8.解决问题“求方程3x+4x=5x的解”有如下思路:方程3x+4x=5x可变为‎3‎‎5‎x‎+‎‎4‎‎5‎x=1,由函数f(x)=‎3‎‎5‎x‎+‎‎4‎‎5‎x可知,f(2)=1,且函数f(x)在R上单调递减,所以原方程有唯一解x=2.类比上述解法,可得到不等式x6-(2x+3)>(2x+3)3-x2的解集是　. ‎ 解析:将不等式化为x6+x2>(2x+3)3+(2x+3),构造函数f(x)=x3+x,显然函数f(x)在R上单调递增,而f(x2)>f(2x+3),所以x2>2x+3,解得x>3或x<-1.‎ 答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)‎ ‎9.导学号40294009若数列{an}满足a1=1,an+an+1=‎1‎‎4‎n,设Sn=a1+4a2+42a3+…+4n-1an(n∈N*),类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法,试求5Sn-4nan.‎ 解:由题意,Sn=a1+a2×4+a3×42+…+an×‎4‎n‎-1‎,①‎ 两边同乘以4,得 ‎4Sn=a1×4+a2×42+…+an-1×‎4‎n‎-1‎+an×4n,②‎ 由①+②,得5Sn=a1+(a1+a2)×4+(a2+a3)×42+…+(an-1+an)×‎4‎n‎-1‎+an×4n.‎ 又a1=1,an+an+1=‎1‎‎4‎n,‎ 所以a1+a2=‎1‎‎4‎,a2+a3=‎1‎‎4‎‎2‎,‎ 所以5Sn=‎1+1+…+1‎n个1‎+an×4n.‎ 故5Sn-4nan=n.‎