2017-2018学年山东省潍坊市高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年山东省潍坊市高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年山东省潍坊市高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）已知a＞b，c＞d，那么一定正确的是（　　）‎ A．ad＞bc B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a﹣d＞b﹣c ‎2．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（　　）‎ A．5 B．7 C．9 D．11‎ ‎3．（5分）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC（　　）‎ A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 ‎4．（5分）设{an}是等比数列，下列说法一定正确的是（　　）‎ A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 ‎5．（5分）若关于x的不等式﹣x2+2x＞mx的解集为（0，2），则实数m的值是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎6．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎8．（5分）设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（　　）‎ A．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 B．若0＜a1＜a2，则a2＞‎ C．若a1+a3＞0，则a1+a2＞0 D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0‎ ‎9．（5分）在等腰△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，a=2，∠A=120°，则此三角形的外接圆半径和内切圆半径分别是（　　）‎ A．4和2 B．4和2 C．2和2﹣3 D．2和2+3‎ ‎10．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，﹣2，b这三个数依次成等比数列，﹣2，b，a这三个数依次成等差数列，则pq=（　　）‎ A．4 B．5 C．9 D．20‎ ‎11．（5分）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若，，r=，则下列关系式中正确的是（　　）‎ A．p=r＜q B．q=r＞p C．p=r＞q D．q=r＜p ‎12．（5分）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且（n+1）Sn=（7n+23）Tn，则使得为整数的正整数n的个数是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）函数y=x+（x＞3）的最小值为　 　．‎ ‎14．（5分）已知数列{an}是递减等比数列，且a4=27，a6=3，则数列{an}的通项公式an=　 　．‎ ‎15．（5分）已知△ABC中，满足B=60°，c=2的三角形有两解，则边长b的取值范围为　 　．‎ ‎16．（5分）寒假期间，某校家长委员会准备租赁A，B两种型号的客车安排900名学生到重点高校进行研学旅行，A，B两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1200元/辆和1800/辆，家长委员会为节约成本，要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为　 　元．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．（10分）解下列关于x的不等式 ‎（1）≥3‎ ‎（2）x2﹣ax﹣2a2≤0（a∈R）‎ ‎18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos（A﹣B）=2sinAsinB．‎ ‎（Ⅰ）判断△ABC的形状；‎ ‎（Ⅱ）若a=3，c=6，CD为角C的平分线，求△BCD的面积．‎ ‎19．（12分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a1+a3=﹣2，S15=75（n∈N*）．‎ ‎（Ⅰ）求S9；‎ ‎（Ⅱ）若数列bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎20．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cosB（acosC+ccosA）=b．‎ ‎（Ⅰ）求B；‎ ‎（Ⅱ）若a+c=1，求b的取值范围．‎ ‎21．（12分）潍坊文化艺术中心的观光塔是潍坊市的标志性建筑，某班同学准备测量观光塔AE的高度H（单位：米），如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h=4米，已知∠ABE=α，∠ADE=β ‎（1）该班同学测得α，β一组数据：tanα=1.35，tanβ=1.31，请据此算出H的值 ‎（2）该班同学分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到观光塔的距离d（单位：米），使α与β的差距较大，可以提高测量准确度，若观光塔高度为136米，问d为多大是tan（α﹣β）的值最大？‎ ‎22．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=n2+2n．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令bn=，设数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn；‎ ‎（Ⅲ）令cn=anan+1cos（n+1）π，若c1+c2+…+cn≥tn2对n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年山东省潍坊市高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）已知a＞b，c＞d，那么一定正确的是（　　）‎ A．ad＞bc B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a﹣d＞b﹣c ‎【分析】根据不等式的性质，推出a﹣d＞c﹣b，判定命题D正确，举例说明A、B、C不正确．‎ ‎【解答】解：∵a＞b，c＞d，由不等式的性质得﹣c＜﹣d，即﹣d＞﹣c，‎ ‎∴a﹣d＞c﹣b，D正确；‎ 不妨令a=2、b=1、c=﹣1、d=﹣2，‎ 显然，ad=﹣4，bc=﹣1，A不正确；‎ ac=bd=﹣2，B不正确；‎ a﹣c=b﹣d=3，C不正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的基本性质与不等关系的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（　　）‎ A．5 B．7 C．9 D．11‎ ‎【分析】由等差数列{an}的性质，及a1+a3+a5=3，可得3a3=3，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：由等差数列{an}的性质，及a1+a3+a5=3，‎ ‎∴3a3=3，‎ ‎∴a3=1，‎ ‎∴S5==5a3=5．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC（　　）‎ A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 ‎【分析】先根据正弦定理及题设，推断a：b：c=5：11：13，再通过余弦定理求得cosC的值小于零，推断C为钝角．‎ ‎【解答】解：∵根据正弦定理，‎ 又sinA：sinB：sinC=5：11：13‎ ‎∴a：b：c=5：11：13，‎ 设a=5t，b=11t，c=13t（t≠0）‎ ‎∵c2=a2+b2﹣2abcosC ‎∴cosC===﹣＜0‎ ‎∴角C为钝角．‎ 故选C ‎【点评】本题主要考查余弦定理的应用．注意与正弦定理的巧妙结合．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）设{an}是等比数列，下列说法一定正确的是（　　）‎ A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 ‎【分析】根据题意，由等比数列的性质分析选项，综合即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，{an}是等比数列，依次分析选项：‎ 对于A、1+9≠2×3，则（a3）2≠a1×a9，则a1，a3，a9不成等比数列，A错误；‎ 对于B、2+6≠2×3，则（a3）2≠a2×a6，则a2，a3，a6不成等比数列，B错误；‎ 对于C、2+8≠2×4，则（a4）2≠a2×a8，则a2，a4，a8不成等比数列，C错误；‎ 对于D、3+9=2×6，则（a6）2=a3×a9，则a2，a3，a6成等比数列，D正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的判定，注意利用等比中项进行分析．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）若关于x的不等式﹣x2+2x＞mx的解集为（0，2），则实数m的值是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】利用不等式的解集得到二次不等式所对应方程的根，利用根与系数的关系求出m的值．‎ ‎【解答】解：关于x的不等式﹣x2+2x＞mx的解集为（0，2），‎ 则0，2是方程﹣x2+2x=mx的根；‎ 即为x2+2（m﹣2）x=0的根，‎ ‎∴0+2=2（2﹣m），解得m=1，‎ ‎∴实数m的值是1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，解题时利用“三个二次”的关系，是基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（d＞‎ ‎0）；则由五个人的面包和为100，得a的值；由较大的三份之和的是较小的两份之和，得d的值；从而得最小的1分a﹣2d的值．‎ ‎【解答】解：设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d＞0）；‎ 则，（a﹣2d）+（a﹣d）+a+（a+d）+（a+2d）=5a=100，∴a=20；‎ 由（a+a+d+a+2d）=a﹣2d+a﹣d，得3a+3d=7（2a﹣3d）；∴24d=11a，∴d=55/6；‎ 所以，最小的1分为a﹣2d=20﹣=．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．‎ ‎【解答】解：先根据约束条件画出可行域，‎ 当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，‎ z最大是3，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本小题主要考查线性规划问题，以及利用几何意义求最值，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（　　）‎ A．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 B．若0＜a1＜a2，则a2＞‎ C．若a1+a3＞0，则a1+a2＞0 D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0‎ ‎【分析】根据{an}是等差数列，结合等差数列的定义及基本不等式等，逐一分析四个答案的正误，可得答案．‎ ‎【解答】解：若a1+a3＞0，d＜0，则a1+a2＜0不一定成立，故A错误；‎ 若0＜a1＜a2，则a2=＞，故B正确；‎ 若a1+a3＞0，d＞0，则a1+a2＞0不一定成立，故C错误；‎ 若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2≤0，故D错误；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了等差数列，基本不等式，难度中档．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）在等腰△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，a=2，∠A=120°，则此三角形的外接圆半径和内切圆半径分别是（　　）‎ A．4和2 B．4和2 C．2和2﹣3 D．2和2+3‎ ‎【分析】利用正弦定理计算外接圆半径，计算三角形的三边，根据切线的性质和勾股定理列方程计算内切圆半径．‎ ‎【解答】解：设外接圆半径为R，内切圆半径为r，则2R===4，‎ ‎∴R=2，‎ 设BC的中点为D，连接AD，内切圆圆心为O，与AB的切点为M，则OM⊥AM，‎ ‎∵△ABC是等腰三角形，A=120°，a=2，‎ ‎∴AB=2，AD=1，BM=BD=，‎ ‎∴AO=1﹣r，OM=r，AM=2﹣，‎ ‎∴（1﹣r）2=r2+（2﹣）2，解得r=2﹣3．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理，三角形的几何计算，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，﹣2，b这三个数依次成等比数列，﹣2，b，a这三个数依次成等差数列，则pq=（　　）‎ A．4 B．5 C．9 D．20‎ ‎【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，﹣2，b这三个数依次成等比数列，﹣2，b，a这三个数依次成等差数列，列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案 ‎【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q=4，a﹣2=2b ‎∵p＞0，q＞0，‎ 解得：a=4，b=1，‎ ‎∴p=a+b=5，q=1×4=4，‎ 则pq=20．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题 ‎　‎ ‎11．（5分）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若，，r=，则下列关系式中正确的是（　　）‎ A．p=r＜q B．q=r＞p C．p=r＞q D．q=r＜p ‎【分析】根据对数函数的定义与性质，化简p、q、r，利用基本不等式，即可判断它们的大小关系．‎ ‎【解答】解：由题意得，p=f（）=ln（）=ln（ab）=（lna+lnb），‎ q=f（）=ln（）≥ln（）=p，‎ r===（lna+lnb）=p，‎ ‎∴p=r＜q．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了不等式与不等关系的应用问题，也考查了基本不等式和对数的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且（n+1）Sn=（7n+23）Tn，则使得为整数的正整数n的个数是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【分析】推民出===，从而为整数的正整数n的可能取值为1，2，4，8，共4个．‎ ‎【解答】解：∵两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且（n+1）Sn=（7n+23）Tn，‎ ‎∴=，‎ ‎∴===‎ ‎====，‎ ‎∴为整数的正整数n的可能取值为1，2，4，8，共4个．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查使得两等差数列的第n项的比值为整数的正整数n的个数的求法，考查等差数列的通项公式、前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）函数y=x+（x＞3）的最小值为　5　．‎ ‎【分析】根据基本不等式即可求出．‎ ‎【解答】解：∵x＞3，‎ ‎∴y=x+=x﹣3++3≥2+3=2+3=5，当且仅当x﹣3=1时，即x=4时取等号，‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知数列{an}是递减等比数列，且a4=27，a6=3，则数列{an}的通项公式an=　37﹣n，n∈N*　．‎ ‎【分析】数列{an}是递减等比数列，且公比设为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项公式．‎ ‎【解答】解：数列{an}是递减等比数列，且公比设为q，‎ a4=27，a6=3，‎ 即为a1q3=27，a1q5=3，‎ 解得a1=36，q=，或a1=﹣36，q=﹣（舍去），‎ 则数列{an}的通项公式an=36•（）n﹣1=37﹣n，n∈N*．‎ 故答案为：37﹣n，n∈N*．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的通项公式的应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知△ABC中，满足B=60°，c=2的三角形有两解，则边长b的取值范围为　（，2）　．‎ ‎【分析】若满足条件的三角形恰有两个，由已知条件，根据正弦定理用b表示出sinC，由∠B的度数及正弦函数的图象可知满足题意△ABC有两个C的范围，然后根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出sinC的范围，进而求出b的取值范围．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，∵B=60°，c=2，‎ 若满足条件的三角形恰有两个，‎ 由正弦定理得：，即，‎ 变形得：sinC=，‎ 由题意得：当C∈（90°，120°）时，满足条件的△ABC有两个，‎ 所以：＜＜1，解得：＜b＜2，‎ 则b的取值范围是（，2）．‎ 故答案为：（，2）．‎ ‎【点评】此题考查了正弦定理及特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，要求学生掌握正弦函数的图象与性质，牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）寒假期间，某校家长委员会准备租赁A，B两种型号的客车安排900名学生到重点高校进行研学旅行，A，B两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1200元/辆和1800/辆，家长委员会为节约成本，要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为　27600　元．‎ ‎【分析】设分别租用A、B两种型号的客车x辆、y辆，总租金为z元．可得目标函数z=1200x+1800y，结合题意建立关于x、y的不等式组，作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．‎ ‎【解答】解：设分别租用A、B两种型号的客车x辆、y辆，所用的总租金为z元，则 z=1200x+1800y，‎ 其中x、y满足不等式组，，‎ 即，‎ 由z=1200x+1800y 得y=﹣x+，‎ 作出不等式组对应的平面区域 平移y=﹣x+，‎ 由图象知当直线y=﹣x+经过点A时，直线的截距最小，‎ 此时z最小，‎ 由得，‎ 即当x=5、y=12时，此时的总租金z=1200×5+1800×12=27600元，‎ 达到最小值．27600．‎ 故答案为：27600．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用问题，根据条件建立目标函数和线性约束条件，并求目标函数的最小值，着重考查了简单的线性规划的应用的知识．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．（10分）解下列关于x的不等式 ‎（1）≥3‎ ‎（2）x2﹣ax﹣2a2≤0（a∈R）‎ ‎【分析】（1）将原不等式化为，即（2x﹣7）（x﹣2）≤0（x≠2），解得答案；‎ ‎（2）对a进行分类讨论，可得不同情况下，不等式的解集；‎ ‎【解答】（本小题满分10分）‎ 解：（1）将原不等式化为，…（2分）‎ 即（2x﹣7）（x﹣2）≤0（x≠2），‎ ‎∴，…（4分）‎ 所以原不等式的解集为．…（5分）‎ ‎（2）当a=0时，不等式的解集为{0}； …（6分）‎ 当a≠0时，原不等式等价于（x+a）（x﹣2a）≤0，‎ 因此 当a＞0时，﹣a＜2a，∴﹣a≤x≤2a，‎ 当a＜0时，﹣a＞2a，∴2a≤x≤﹣a，…（9分）‎ 综上所述，当a=0时，不等式的解集为{0}，当a＞0时，不等式的解集为，{x|﹣a≤x≤2a}，当a＜0时，不等式的解集{x|2a≤x≤﹣a}．…（10分）‎ ‎【点评】本题考查的知识点是分式不等式的解法，二次不等式的解法，难度中档．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos（A﹣B）=2sinAsinB．‎ ‎（Ⅰ）判断△ABC的形状；‎ ‎（Ⅱ）若a=3，c=6，CD为角C的平分线，求△BCD的面积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换，判断出三角形为直角三角形．‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论和正弦定理求出相应的边长，最后利用三角形的面积公式求出结果．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）cos（A﹣B）=2sinAsinB，‎ cosAcosB+sinAsinB=2sinAsinB，‎ 所以：cosAcosB﹣sinAsinB=0，‎ 即：cos（A+B）=0，‎ 解得：C=90°，‎ 故△ABC为直角三角形．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：C=90°，又a=3，c=6，‎ 所以：b=，‎ 则：A=30°，∠ADC=105°，‎ 由正弦定理得：，‎ 所以：CD=，‎ ‎=．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，三角形形状的判定及相关的运算问题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a1+a3=﹣2，S15=75（n∈N*）．‎ ‎（Ⅰ）求S9；‎ ‎（Ⅱ）若数列bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意列关于首项和公差的方程组，求出首项和公差，则S9可求；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）求出等差数列{an}的通项，代入bn=，利用裂项相消法求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则由a1+a3=﹣2，S15=75，得 ‎，解得．‎ ‎∴；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an=﹣2+1×（n﹣1）=n﹣3，‎ ‎∴bn==，‎ ‎∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=‎ ‎=．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cosB（acosC+ccosA）=b．‎ ‎（Ⅰ）求B；‎ ‎（Ⅱ）若a+c=1，求b的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简可得求B．‎ ‎（Ⅱ）利用余弦定理建立关系，根据a的范围求解即可求b的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由2cosB（acosC+ccosA）=b．‎ 根据正弦定理：2cosB（sinAcosC+sinCcosA）=sinB 即2cosBsinB=sinB，‎ ‎∵0＜B＜π，sinB≠0，‎ 可得cosB=‎ ‎∴B=；‎ ‎（Ⅱ）∵a+c=1，则c=1﹣a，‎ ‎∴0＜a＜1．‎ cosB=．‎ 由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB ‎∴b2=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3（a﹣）2+．‎ ‎∵0＜a＜1．‎ ‎∴≤b2＜1．‎ 则b的取值范围是[，1）．‎ ‎【点评】本题考查了正余弦定理的运用和计算能力．转化思想，利用二次函数问题求解范围．属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）潍坊文化艺术中心的观光塔是潍坊市的标志性建筑，某班同学准备测量观光塔AE的高度H（单位：米），如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h=4米，已知∠ABE=α，∠ADE=β ‎（1）该班同学测得α，β一组数据：tanα=1.35，tanβ=1.31，请据此算出H的值 ‎（2）该班同学分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到观光塔的距离d（单位：米），使α与β的差距较大，可以提高测量准确度，若观光塔高度为136米，问d为多大是tan（α﹣β）的值最大？‎ ‎【分析】（1）在Rt△ABE中可得AD=，在Rt△ADE中可得AB=，BD=，再根据AD﹣AB=DB即可得到H．‎ ‎（2）先用d分别表示出tanα和tanβ，再根据两角和公式，求得tan（α﹣β），整理成基本不等式的形式，再根据基本不等式可求得tan（α﹣β）有最大值即α﹣β有最大值，得到答案．‎ ‎【解答】解：（1）由，，，‎ 及AB+BD=AD，得，‎ 解得，‎ 因此算出观光塔的高度H是135m．‎ ‎（2）由题设知d=AB，得，‎ 由得，‎ 所以．‎ 当且仅当，即d===4m，‎ 上式取等号，所以当时tan（α﹣β）最大．‎ ‎【点评】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用．当涉及最值问题时，可考虑用不等式的性质来解决．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=n2+2n．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令bn=，设数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn；‎ ‎（Ⅲ）令cn=anan+1cos（n+1）π，若c1+c2+…+cn≥tn2对n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由Sn=n2+2n，得a1=S1=3，当n≥2时，利用an=Sn﹣Sn﹣1求得数列通项公式，验证首项后得答案；‎ ‎（Ⅱ）把数列{an}的通项公式代入bn=，然后利用错位相减法求数列{bn}的前n项和为Tn；‎ ‎（Ⅲ）cn=anan+1cos（n+1）π=（2n+1）（2n+3）cos（n+1）π．分n为奇数和n为偶数利用等差数列求和得到c1+c2+…+cn，结合c1+c2+…+cn≥tn2对n∈N*恒成立求实数t的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由Sn=n2+2n，得a1=S1=3，‎ 当n≥2时，，‎ a1=3适合上式，‎ ‎∴an=2n+1；‎ ‎（Ⅱ）bn==，‎ 则，①‎ ‎，②‎ ‎①﹣②得：=，‎ ‎∴；‎ ‎（Ⅲ）cn=anan+1cos（n+1）π=（2n+1）（2n+3）cos（n+1）π．‎ 当n为奇数时，cos（n+1）π=1，‎ c1+c2+…+cn=3×5﹣5×7+7×9﹣9×11+…+（2n+1）（2n+3）‎ ‎=3×5+4×[7+11+…+（2n+1）]=15+4×=2n2+6n+7．‎ ‎∵，‎ ‎∴2n2+6n+7≥tn2，‎ ‎∴t≤，‎ ‎∴t≤2．‎ 当n为偶数时，cos（n+1）π=﹣1，‎ c1+c2+…+cn=3×5﹣5×7+7×9﹣9×11+…﹣（2n+1）（2n+3）‎ ‎=﹣4×[5+9+13+…+（2n+1）]=﹣2n2﹣6n．‎ ‎∵，‎ ‎∴﹣2n2﹣6n≥tn2，‎ ‎∴t，则t≤﹣5．‎ 综上所述，t≤﹣5．‎ ‎【点评】本题考查数列递推式，训练了错位相减法求数列的前n项和，考查数列的函数特性，训练了恒成立问题的求解方法，是中档题．‎ ‎　‎