2018-2019学年湖南省长沙市第一中学高一上期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年湖南省长沙市第一中学高一上期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年湖南省长沙市第一中学高一上期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．满足2，的集合A的个数是　　‎ A．2 B．3 C．4 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】由条件 ，根据集合的子集的概念与运算，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得满足2，的集合A为：，，，2，，共4个．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的定义，集合与集合的包含关系的应用，其中解中熟记集合的子集的概念，准确利用列举法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎2．已知幂函数的图像过点，若，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将点代入函数解析式，求出参数值，令函数值等于3，可求出自变量的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意有2＝4a，得a＝，所以，‎ 当时，m＝9.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数解析式以及由函数值求自变量，一般由函数值求自变量的值时要注意自变量取值范围以及题干的要求，避免多解.‎ ‎3．的值是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：.‎ ‎【考点】诱导公式．‎ ‎4．已知直线：，：，：，若且，则的值为　　‎ A． B．10 C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】由且，列出方程，求得，，解得的值，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，直线：，：，：，‎ 因为且，所以，且，‎ 解得，，所以．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线的位置关系，列出方程求解得值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎5．已知‎2a＝5b＝，则＋＝(　　)‎ A. B．1 C. D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵‎2a＝5b＝，∴a＝log2，b＝log5，利用换底公式可得：＋＝2＋5＝10＝2.‎ ‎6．如图，已知正方体中，异面直线与所成的角的大小是　　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】在正方体中，利用线面垂直的判定定理，证得平面，由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ 如图所示，在正方体中，连结，则，，‎ 由线面垂直的判定定理得平面，所以,‎ 所以异面直线与所成的角的大小是．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．‎ ‎7．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析： ‎ ‎＝，故选D．‎ ‎【考点】同角三角函数间的基本关系．‎ ‎8．设， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）‎ A．若， ， ，则 B．若， ， ，则 C．若， ， ，则 D．若， ， ，则 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析： ， ,故选D.‎ ‎【考点】点线面的位置关系.‎ ‎9．已知函数，则　　（）‎ A．1 B． C．2 D．0‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意可得，令对数的运算，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，‎ ‎ ‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数值的求法，函数性质等基础知识的应用，其中熟记对数的运算性质是解答的关键，着重考查了考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于基础题，．‎ ‎10．若存在正数x使成立，则a的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，分析可得，设，利用函数的单调性与最值，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，，‎ 设，‎ 由基本初等函数的性质，得则函数在R上为增函数，且，‎ 则在上，恒成立；‎ 若存在正数x使成立，即有正实数解，必有；‎ 即a的取值范围为；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数单调性的应用，以及不等式的有解问题，其中解答中合理把不等式的有解问题转化为函数的单调性与最值问题是解答的关键，着重考查 分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ ‎11．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为3cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为　　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设球的半径为R，根据已知条件得出正方体上底面截球所得截面圆的半径为2cm，球心到截面圆圆心的距离为，再利用球的性质，求得求得半径，最后利用球体体积公式，即可得出答案．‎ ‎【详解】‎ 设球的半径为R，设正方体上底面截球所得截面圆恰好为上底面正方形的内切圆，‎ 该圆的半径为，且该截面圆圆心到水面的距离为1cm，‎ 即球心到截面圆圆心的距离为，‎ 由勾股定理可得，解得，‎ 因此，球的体积为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了球体的体积的计算问题，解决本题的关键在于利用几何体的结构特征和球的性质，求出球体的半径，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎12．已知是定义在R上的单调函数，满足，且，若，则a与b的关系是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，设，则，又由，求得，得t的值，确定函数的解析式，据此分析可得，即，又由，利用换底公式，求得，结合对数的运算性质分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，是定义在R上的单调函数，满足，‎ 则为常数，设，则，‎ 又由，即，则有，解可得，则，‎ 若，即，则，‎ 若，必有，‎ 则有，又由，则，‎ 解可得，即，所以，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的单调性的应用，以及对数的运算性质的应用，其中解答中根据题意，设，求得实数的值，确定出函数的解析式，再利用对数的运算性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及换元思想的应用，属于中档试题．‎ 二、填空题 ‎13．函数的定义域为___________。‎ ‎【答案】[0,1）‎ ‎【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足，函数定义域为[0,1）‎ ‎【考点】函数定义域 ‎14．一个几何体的三视图如图所示（单位： ），则该几何体的体积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】几何体为一个圆锥与一个棱柱的组合体, 体积为 ‎ ‎15．在平面直角坐标系xOy中，已知圆有且仅有三个点到直线l：的距离为1，则实数c的取值集合是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为圆心到直线的距离为，所以由题意得 ‎【考点】点到直线距离 ‎16．已知函数，若a、b、c互不相等，且，则abc的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出函数的图象，根据互不相等，且，我们令，我们易根据对数的运算性质，及c的取值范围得到abc的取值范围，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由函数函数，可得函数的图象，‎ 如图所示：‎ 若a，b，c互不相等，且，‎ 令，则，，‎ 故，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数函数图象与性质的综合应用，其中画出函数图象，利用图象的直观性，数形结合进行解答是解决此类问题的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ 三、解答题 ‎17．已知点，，动点P满足．‎ 若点P为曲线C，求此曲线的方程；‎ 已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且与中的曲线C只有一个公共点，求直线l的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）或．‎ ‎【解析】设，由动点P满足，列出方程，即可求出曲线C的方程．‎ 设直线l在坐标轴上的截距为a，当时，直线l与曲线C有两个公共点，已知矛盾；当时，直线方程与圆的方程联立方程组，根据由直线l与曲线C只有一个公共点，即可求出直线l的方程．‎ ‎【详解】‎ 设，‎ 点，，动点P满足．‎ ‎，‎ 整理得：，曲线C方程为．‎ 设直线l的横截距为a，则直线l的纵截距也为a，‎ 当时，直线l过，设直线方程为．‎ 把代入曲线C的方程，得：‎ ‎，，‎ 直线l与曲线C有两个公共点，已知矛盾；‎ 当时，直线方程为，‎ 把代入曲线C的方程，得：‎ ‎，‎ 直线l与曲线C只有一个公共点，，‎ 解得，‎ 直线l的方程为或．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了曲线轨迹方程的求法，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直接法求轨迹的方法，以及合理使用直线与圆的位置关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化思想的应用，属于基础题．‎ ‎18．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面ABCD，且，点E是PD的中点．‎ 求证：；‎ 求证：平面AEC．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知得AC⊥AB，AC⊥PA，从而AC⊥平面PAB，由此能证明AC⊥PB．‎ ‎（Ⅱ）连接BD，与AC相交于O，连接EO，由已知得EO∥PB，由此能证明PB∥平面AEC．‎ ‎（Ⅰ）证明：∵在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，‎ AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，‎ ‎∴AC⊥AB，AC⊥PA，‎ 又AB∩PA=A，∴AC⊥平面PAB，‎ ‎∵PB⊂平面PAB，∴AC⊥PB．‎ ‎（Ⅱ）证明：连接BD，与AC相交于O，连接EO，‎ ‎∵ABCD是平行四边形，‎ ‎∴O是BD的中点，又E是PD的中点，‎ ‎∴EO∥PB，‎ 又PB不包含于平面AEC，EO⊂平面AEC，‎ ‎∴PB∥平面AEC．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．‎ ‎19．已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元设公司一年内共生产该款手机万部且并全部销售完，每万部的收入为万元，且．‎ 写出年利润万元关于年产量（万部）的函数关系式；‎ 当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．‎ ‎【答案】（1），（2）当时，y取得最大值57600万元．‎ ‎【解析】根据题意，即可求解利润关于产量的关系式为，化简即可求出；‎ 由（1）的关系式，利用基本不等式求得最大值，即可求解最大利润．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，可得利润关于年产量的函数关系式为 ‎ ‎ ‎，.‎ 由可得 ‎，‎ 当且仅当，即时取等号，所以当时，y取得最大值57600万元．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的实际应用问题，以及利用基本不等式求最值，其中解答中认真审题，得出利润关于年产量的函数关系式，再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎20．如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且．‎ 求二面角的正切值；‎ 求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）2（2）‎ ‎【解析】取BC中点O，中点E，连结OE，OA，以O为原点，OD为x轴，OE为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正切值．‎ 三棱锥的体积，由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ 取BC中点O，中点E，连结OE，OA，‎ 由正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且．‎ 以O为原点，OD为x轴，OE为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则3，，0，，0，，0，，‎ 所以0，，3，，‎ 其中平面ABD的法向量1，，‎ 设平面的法向量y，，则，‎ 取，得1，，‎ 设二面角的平面角为，则，则，‎ 则，所以二面角的正切值为2．‎ 由（1）可得平面，所以是三棱锥的高，且,‎ 所以三棱锥的体积：‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二面角的求解，及空间几何体的体积的计算维内托，其中解答中根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解二面角问题是求解空间角的常用方法，同时注意“等体积法”在求解三棱锥体积中的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎21．已知圆C过点，且与圆M：关于直线对称．‎ 求圆C的方程；‎ 过点P作两条相异直线分别与圆C相交于点A和点B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）直线AB和OP一定平行．证明见解析 ‎【解析】由已知中圆C过点，且圆M：关于直线对称，可以求出圆心坐标，即可求出圆C的方程；‎ 由已知可得直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，设PA：，PB：，求出A，B坐标后，代入斜率公式，判断直线OP和AB斜率是否相等，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得点C和点关于直线对称，‎ 且圆C和圆M的半径相等，都等于r．‎ 设，由且，解得：，．‎ 故原C的方程为．‎ 再把点代入圆C的方程，求得．‎ 故圆的方程为：；‎ 证明：过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，‎ 且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，‎ 则得直线OP和AB平行，‎ 理由如下：由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，‎ 故可设PA：，PB：．‎ 由，得，‎ 因为的横坐标一定是该方程的解，，‎ 同理可得．‎ 由于AB的斜率的斜率，‎ 所以直线AB和OP一定平行．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线和圆的方程的应用，关于直线对称的圆的方程，其中根据已知条件求出圆C的方程是解答本题的关键，考查推理与运算能力，属于中档题．‎ ‎22．已知．‎ 若，求方程的解；‎ 若关于x的方程在区间上有两个不相等的实根、：‎ 求实数k的取值范围；‎ 证明：．‎ ‎【答案】（1）（2），见解析 ‎【解析】当时，分类讨论，去掉绝对值，直接进行求解，即可得到答案．‎ 讨论两个根、的范围，结合一元二次方程根与系数之间的关系进行转化求解．‎ ‎【详解】‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 由，得，得舍或；‎ 当时，，‎ 由得舍；‎ 故当时，方程的解是．‎ 不妨设，‎ 因为，‎ 若、，与矛盾，‎ 若、，与是单调函数矛盾，‎ 则；‎ 则…① …②‎ 由①，得：，‎ 由②，得：；‎ 的取值范围是；‎ 联立①、②消去k得：，即，‎ 即，则，‎ ‎,，即．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数与方程的应用，根据条件判断根的范围，以及利用一元二次方程与一次方程的性质进行转化是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性较强，属于中档试题．‎