天一大联考2020届高三阶段性测试（四） 数学（理）
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天一大联考
2019－2020学年高中毕业班阶段性测试(四)
理科数学
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M＝{x|(x－1)(x－4)≥0}，N＝{x|y＝ln(2－x)}，则M∩N＝
A.(1，2) B.[1，2] C.(－∞，1] D.(2，4]
2.复数z满足，则z的共轭复数＝
A.－3＋4i B.－3－4i C. D.
3.已知两个平面α，β，直线lα，则“l//β”是“α//β”的
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4.展开式中的常数项为
A.－11 B.11 C.70 D.－70
5.已知正实数a，b，c满足()a＝log3a，()b＝log3b，c＝log32，则
A.a
0)的直线l过抛物线y2＝4x的焦点，且与圆(x＋2)2＋(y＋1)2＝2相切，若直线l与抛物线交于A，B两点，则|AB|＝
A.4 B.4 C.8 D.12
12.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，若f'(x)<2f(x)，则不等式e4f(－x)>e－8xf(3x＋2)的解集是
A.(－，＋∞) B.(－∞，) C.(－，1) D.(－1，)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某校高三年级一次模拟考试的数学测试成绩满足正态分布X～N(100，σ2)，若已知P(700，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，下列说法中正确的有 。(写出所有正确说法的序号)
①f(x)的图象关于点(－，0)对称；
②f(x)的图象关于直线x＝－对称；
③f(x)的图象可由y＝sin2x－cos2x的图象向左平移个单位长度得到；
④方程f(x)＋＝0在[－，0]上有两个不相等的实数根。
16.已知正三棱锥P－ABC的四个顶点都在半径为3的球面上，则该三棱锥体积最大时，底面边长AB＝ 。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分
17.(12分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中c＝4，sin2C＋2sin2C＝2，C为锐角。
(I)若a＝4，求角B；
(II)若sinB＝2sinA，求△ABC的面积。
18.(12分)
某班级有60名学生，学号分别为1～60，其中男生35人，女生25人为了了解学生的体质情况，甲，乙两人对全班最近一次体育测试的成绩分别进行了随机抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样，他们得到的各12人的样本数据如下所示，并规定体育成绩大于或等于80分为优秀。
甲抽取的样本数据：
乙抽取的样本数据：
(I)在乙抽取的样本中任取4人，记这4人中体育成绩优秀的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(II)请你根据乙抽取的样本数据，判断是否有95%的把握认为体育成绩是否为优秀和性别有关；
(III)判断甲、乙各用的何种抽样方法，并根据(II)的结论判断哪种抽样方法更优，说明理由。
附：，其中n＝a＋b＋c＋d。
19.(12分)
已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝2，BC＝2AA1＝2，E是BC的中点，F是A1E上一点，且A1E＝4EF。
(I)证明：AF⊥平面A1BC；
(II)求二面角C－A1E－B1的余弦值。
20.(12分)
已知椭圆E：的四个顶点依次连接可得到一个边长为2，面积为6的菱形。
(I)求椭圆E的方程；。
(II)设直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝相切，且交椭圆E于两点M，N，当|MN|取得最大值时，求m2＋k2的值。
21.(12分)
已知函数f(x)＝(1－x2)ex。
(I)设曲线y＝f(x)与x轴正半轴交于点(x0，0)，求曲线在该点处的切线方程；
(II)设方程f(x)＝m(m>0)有两个实数根x1，x2，求证：|x1－x2|<2－m(1＋)。
(二)选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)。以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ－)＝2。
(I)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(II)若直线l与曲线C相交于点M，N，求△OMN的面积。
23.[选修4－5；不等式选讲](10分)
已知函数f(x)＝|x－a|＋|x－1|，g(x)＝4－|x＋1|。
(I)当a＝2时，求不等式f(x)≥3的解集；
(II)若关于x的不等式f(x)≤g(x)的解集包含[0，1]，求a的取值范围。