2017-2018学年湖北省长阳县第一高级中学高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年湖北省长阳县第一高级中学高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年湖北省长阳县第一高级中学高二下学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．已知复数满足，则()A.1B.C.D.【答案】B【解析】分析：直接在已知等式两边求模计算．详解：∵，∴，即，∴．故选B．点睛：复数模的性质：，．2．已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】∵据此可得：，均不正确，且本题选择C选项.3．如图，当输入，时，图中程序运行后输出的结果为（）A．3；33B．33；3C.-17；7D．7；-17\n【答案】A【解析】试题分析：因为，所以执行，即此时，，输出为，而，所以输出结果为，本题正确选项为A.【考点】程序语言.4．下列选项叙述错误的是（）A.命题“若，则”的逆否命题是“若，则”B.若命题，则C.若为真命题，则，均为真命题D.若命题为真命题，则的取值范围为【答案】C【解析】分析：根据四种命题的关系进行判断A、B，根据或命题的真值表进行判断C，由全称命题为真的条件求D中参数的值．详解：命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，A正确；若命题，则，B正确；若为真命题，则，只要有一个为真，C错误；若命题为真命题，则，，D正确．故选C．点睛：判断命题真假只能对每一个命题进行判断，直到选出需要的结论为止．命题考查四种命题的关系，考查含逻辑连接词的命题的真假以及全称命题为真时求参数的取值范围，掌握相应的概念是解题基础．5．若均为单位向量，且，则与的夹角大小为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：由向量垂直得向量的数量积为0，从而求得，再由数量积的定义可求得夹角．\n详解：∵，∴，∴，∴，∴．故选C．点睛：平面向量数量积的定义：，由此有，根据定义有性质：．6．，()A.3B.5C.6D.12【答案】B【解析】易知，，所以，故选B7．直线过双曲线的焦点且与该双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：直线与轴交点坐标为,所以双曲线的一个焦点为,而渐近线方程为,有已知条件有,解得,所以双曲线方程为,故选B．【考点】1．双曲线的几何性质；2．两直线垂直的条件．\n8．（2017新课标全国II理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏【答案】B【解析】设塔顶的a1盏灯，由题意{an}是公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3．故选：C．9．在三棱锥中，，为等边三角形，，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：取BC中点F，连接EF，则有EF//PB，从而得出两异面直线所成的角为∠AEF（或其补角），解可得．详解：如图，取BC中点F，连接EF，AF，∵E为PC中点，∴EF//PB，且EF＝PB，∴∠AEF（或其补角）就是异面直线AE和PB所成的角．∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥ABPA⊥AC，设PA＝1，则AB＝BC＝AC＝1，PB＝，，，，，∴．故选B．\n点睛：求异面直线所成的角，一般要作出这个角，然后通过解三角形求得结论，要注意作出的角可能是异面直线所成角的补角，解题时注意取舍．10．设变量x,y满足约束条件，则目标函数的最大值为()A.6B.19C.21D.45【答案】C【解析】分析：作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．详解：作出可行域，如图四边形内部（含边界），作直线，向上平移直线时增大，因此当过点时，取最大值．故选C．点睛：本题考查简单的线性规划，解题时只要作出可行域，再作出目标函数对应的直线，然后平移该直线可得最优解．11．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的体积为()\nA.8B.C.D.【答案】B【解析】分析：由三视图还原出原几何体，是一个三棱柱和一个三棱锥的组合体．详解：如图是原几何体，它是三棱柱和三棱锥的组合体，尺寸见三视图，．故选B．点睛：本题考查三视图，考查几何体的体积，解题关键是由三视图还原几何，为此必须掌握基本几何的三视图，由此可迅速得出原几何体的形状，位置关系等．12．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则()A.B.0C.2D.50【答案】C【解析】分析：利用奇函数与求得函数是周期函数及周期，然后分组计算．详解：∵是奇函数，∴，∴，∴\n∴，即函数是以4为周期的周期函数．又由是奇函数，得，，，，，∴，∴．故选C．点睛：本题考查函数的奇偶性与对称性，解题关键是由已知条件得出函数是周期函数且求出周期．关于对称性与周期函数有如下结论：若的图象（1）有对称轴，又有对称中心，则函数是周期函数且周期为；（2）有对称轴，，则函数是周期函数且周期为；（3）有对称中心和，则函数是周期函数且周期为；二、填空题13．已知实数均大于零，且，则的最大值为__________【答案】2【解析】分析：利用基本不等式直接求最值．详解：∵，∴，当且仅当时取等号，∴的最大值为2．故答案为2．点睛：利用基本不等式求最值，关键是一正二定三相等．这里正数易满足，定值有时需要凑配，相等要特别注意，只有相等的条件满足了才能取得最值．14．设是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“且”为真命题的是___________（填序号）.①是直线；②是直线，是平面；③是直线，是平面；④是平面.【答案】②③【解析】分析：根据线面垂直的判定与性质进行命题的判断．详解：在空间直线时，直线可能相交、平行、异面，①错；\n由线面垂直的性质知当直线都与平面垂直时，，②正确；同样由线面垂直的性质可得当两个平面都与同一条直线垂直时，这两个平面平行，③正确；两个平行都垂直于第三个平行面，这两个平面可能相交，可能平行，④错误．故答案为②③．点睛：本题考查线面垂直的判定定理与性质定理，考查空间想象能力，解题时抓住直线与平面，平面与平面垂直的判定定理与性质定理，注意空间线面的位置关系即可．15．已知函数，若函数在上有三个不同的零点，则实数的取值范围是___________________.【答案】【解析】分析：画出函数图象，直线与函数的图象有三个交点，从图象上可得取值范围．详解：函数在上递减，在和上递增，如图，，作直线它与的图象有三个交点，则．故答案为．点睛：本题考查函数的零点，解决函数零点个数问题可把函数零点转化为函数图象交点个数，一般是直线与函数图象交点，这样只要研究出函数的单调性、极值等性质，作出图象就很容易得解．16．的内角的对边分别为，已知，，则的面积为________．【答案】【解析】分析：利用正弦定理化已知条件中的边为角，然后计算出\n角，再结合余弦定理求得，从而可得面积．详解：∵，∴，∴，，又，∴，即，∴，∴．故答案为．点睛：解三角形问题，通常需要进行边角关系互化，在等式两边是关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式时可用正弦定理相互转化，如果题中是余弦或三边（平方）的关系可能要用余弦定理进行转化变形．解题时选取恰当的公式是关键．三、解答题17．等比数列中，,,是和的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若数列，数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用等比数列的性质求出，然后再求得公比，可得通项公式；（2）先分组后用等比数列的前项和公式和裂项相消法求和．详解：（1），成等差数列，即，，故由（1）知，\n所以=点睛：数列问题中等差数列和等比数列的基本量是最基本的方法，而数列求和的方法常用的公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法．18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，垂直于底面，，，分别为，的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求四棱锥的体积和截面的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）先根据线面垂直性质定理得，而，所以由线面垂直判定定理得平面，即得,再由等腰三角形性质得,因此由线面垂直判定定理得平面,即证得；（2）易得四棱锥的高,再根据锥体体积公式得四棱锥的体积;要求截面的面积,先确定截面的形状:由三角形中位线性质得,即得，而平面，所以，即四边形是直角梯形，最后利用直角梯形面积公式求解面积.试题解析：（Ⅰ）证明：∵是的中点，，∴，由底面，得，又，即，\n∴平面，∴，∴平面∴．（Ⅱ）解：由，得底面直角梯形的面积，由底面，得四棱锥的高，所以四棱锥的体积．由，分别为，的中点，得，且，又，故，由（Ⅰ）得平面，又平面，故，∴四边形是直角梯形，在中，，，∴截面的面积．19．2016年04月13日“山东济南非法经营疫苗系列案件”披露后，引发社会高度关注，引起公众、受种者和儿童家长对涉案疫苗安全性和有效性的担忧。为采取后续处置措施提供依据，保障受种者的健康，尽快恢复公众接种疫苗的信心,科学严谨地分析涉案疫苗接种给受种者带来的安全性风险和是否有效，对某疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到下面表格中的统计数据：现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为．未发病发病合计未注射疫苗注射疫苗合计\n（1）求列联表中的数据的值；（2）绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？（3）能够有多大把握认为疫苗有效？附：【答案】（1）；（2）有效；（3）详见解析.【解析】分析：（1）根据从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为可计算出，然后可得列联表中的其它数据；（2）计算出两个民病率后可绘制条形统计图；（3）计算后可得结论．详解：（1）设“从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物”为事件，由已知得\n，所以，，，．（2）未注射疫苗发病率为，注射疫苗发病率为．发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗有效．（3）．所以有%的把握认为疫苗有效.点睛：本题考查列联表，条形统计图，考查独立性检验，解题时主要根据所给公式进行计算，因此本题还考查学生的运算求解能力．20．已知点和椭圆．(1)设椭圆的两个焦点分别为，，试求的周长及椭圆的离心率；(2)若直线与椭圆交于两个不同的点，直线与轴分别交于两点，求证：．【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】分析：（1）求出半焦距，点P在椭圆上，因此所求三角形周长为，离心率为；（2）设A坐标分别为，把直线方程与椭圆方程联立消元\n后可由韦达定理得，代入中可得斜率和为0，从而可证得结论．详解：(1)，离心率点在椭圆上的周长，离心率(2)与椭圆联立消得：设分别为，则，由得：将代入上式分子得到：得，即，则由已知可判定为等腰三角形，．点睛：本题考查直线与椭圆相交问题，解题时一般采用“设而不求的思想，即设交点为，由直线方程和椭圆方程联立方程组后消去得的一元二次方程，然后由韦达定理得，并把它代入题中要求的量中，达到化简证明的目的．21．已知函数．(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；\n(Ⅱ)当时，对任意恒在函数上方，若,求的最大值．【答案】（1）在单调递增,在单调递减；（2）.【解析】分析：（1）求出导函数，解不等式得增区间，解不等式得减区间；（2）令，求出导函数，可按和分类讨论的正负，确定的单调性，得出的最小值，由最小值＞0得的满园．详解：（1）在单调递增,在单调递减.（2）法一：令，则，①当即时，恒成立，故在上单调递增，又所以，,；②当即时，令，得时，，则单调递减；时，，则单调递增.故，令，则，所以在上单调递减，又，,.综上所述，.法二：，恒在上方，即，恒成立.即恒成立，也即：在上恒成立，令，则令，则，\n故在上单调递增，而所以存在唯一的零点，即当，单调递减；单调递增即点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，考查不等式恒成立求参数范围问题．不等式恒成立问题可以转化为求函数的最值，可以用分离参数法变形为在上恒成立，从而只要求得新函数的最小值即可得的范围．22．选修4—5：不等式选讲设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）由绝对值的定义分类去掉绝对值符号后解一元一次不等式，最后合并可得解集；（2）不等式化为，利用绝对值三角不等式求得，只要再解不等式即得．详解：（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．点睛：解含绝对值的不等式一般都是根据绝对值的定义分类去掉绝对值符号，然后再解不含绝对值的不等式，有时根据不等式的形貌直接由绝对值性质求解，如\n，或．