数学卷·2018届河北省保定市定州中学高二上学期开学数学试卷（承智班） （解析版）

数学卷·2018届河北省保定市定州中学高二上学期开学数学试卷（承智班） （解析版）

2016-2017学年河北省保定市定州中学高二（上）开学数学试卷（承智班）　一、选择题：共12题，每题5分，共60分1．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（　　）A．3B．2C．2D．32．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）A．16B．26C．32D．20+3．已知三个平面α，β，γ，若β⊥γ，且α与γ相交但不垂直，a，b分别为α，β内的直线，则（　　）A．∃a⊂α，a⊥γB．∃a⊂α，a∥γC．∀b⊂β，b⊥γD．∀b⊂β，b∥γ4．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是（　　）A．B．C．πD．5．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（　　）\nA．B．C．D．6．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：（　　）①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．A．①②B．②③C．③④D．①④7．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（　　）A．B．C．D．8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（　　）A．4cm3B．6cm3C．D．9．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）A．20+2πB．20+3πC．24+2πD．24+3π10．用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为（　　）A．9πB．18πC．6πD．3π11．如图，三棱锥P﹣ABC的棱长都相等，D是棱AB的中点，则直线PD与直线BC所成角的余弦值为（　　）\nA．B．C．D．12．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、2、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（　　）A．6πB．9πC．3πD．12π　二、填空题：共4题每题5分共20分13．已知点A（﹣2，﹣1），B（1，﹣5），点P是圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4上的动点，则△PAB面积的最大值与最小值之差为　　．14．已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D﹣ABC，当三棱锥D﹣ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为　　．15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积是　　．16．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为　　．　三、解答题：共8题共70分17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．\n18．如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=1，BC=，AC=2．（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）若AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，求四棱锥A﹣BCFE的体积．　[选修4-1：几何证明选讲]20．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AH⊥CD于H，BD交AH于P，且PC⊥BC（Ⅰ）求证：A，B，C，P四点共圆；（Ⅱ）若∠CAD=，AB=1，求四边形ABCP的面积．\n21．已知Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，AE=2EB，AF=2FC，将△AEF沿EF折起，使A变到A′，使平面A′EF⊥平面EFCB．（1）试在段A′C上确定一点H，使FH∥平面A′BE；（2）试求三棱锥A′﹣EBC的外接球的半径与三棱锥A′﹣EBC的表面积．22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．23．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k（k＞0）．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值．24．已知直线l1：ax+2y+6=0，直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0．（1）若l1⊥l2，求a的值；（2）若l1∥l2，求a的值．　\n2016-2017学年河北省保定市定州中学高二（上）开学数学试卷（承智班）参考答案与试题解析　一、选择题：共12题，每题5分，共60分1．若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（　　）A．3B．2C．2D．3【考点】棱锥的结构特征．【分析】由四棱锥的体积为9可得到底面边长a与高h的关系，作出图形，则球心O在棱锥的高或高的延长线上，分两种情况根据勾股定理列出方程，解出球的半径R的表达式，将问题转化为求R何时取得最小值的问题．【解答】解：设底面边长AB=a，棱锥的高SM=h，∵V棱锥S﹣ABCD=•a2•h=9，∴a2=，∵正四棱锥内接于球O，∴O在直线SM上，设球O半径为R，（1）若O在线段SM上，如图一，则OM=SM﹣SO=h﹣R，（2）若O在在线段SM的延长线上，如图二，则OM=SO﹣SM=R﹣h，∵SM⊥平面ABCD，∴△OMB是直角三角形，∴OM2+MB2=OB2，∵OB=R，MB=BD=a，∴（h﹣R）2+=R2，或（R﹣h）2+=R2∴2hR=h2+，即R=+=+=≥3=．当且仅当=取等号，即h=3时R取得最小值．故选：A．\n　2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）A．16B．26C．32D．20+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱锥，根据三视图可得三棱锥的一侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，把数据代入棱锥的表面积公式计算即可．【解答】解：根据三视图知：该几何体是三棱锥，且三棱锥的一个侧棱与底面垂直，高为4，如图所示：其中SC⊥平面ABC，SC=3，AB=4，BC=3，AC=5，SC=4，∴AB⊥BC，由三垂线定理得：AB⊥BC，\nS△ABC=×3×4=6，S△SBC=×3×4=6，S△SAC=×4×5=10，S△SAB=×AB×SB=×4×5=10，∴该几何体的表面积S=6+6+10+10=32．故选：C．　3．已知三个平面α，β，γ，若β⊥γ，且α与γ相交但不垂直，a，b分别为α，β内的直线，则（　　）A．∃a⊂α，a⊥γB．∃a⊂α，a∥γC．∀b⊂β，b⊥γD．∀b⊂β，b∥γ【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】选项A若存在a⊂α，a⊥γ，则必然α⊥γ，选项B只要在平面α内存在与平面α与γ的交线平行的直线，则此直线平行于平面γ，进行判定即可，选项C中β⊥γ，但并不是平面β内的任意直线都与平面γ垂直，选项D只有在平面β内与平面β与γ的交线平行的直线才和平面γ平行．【解答】解答：解：若存在a⊂α，a⊥γ，则必然α⊥γ，选项A不正确；只要在平面α内存在与平面α与γ的交线平行的直线，则此直线平行于平面γ，故选项B正确；选项C中β⊥γ，但并不是平面β内的任意直线都与平面γ垂直，故选项C不正确；由于β⊥γ，只有在平面β内与平面β与γ的交线平行的直线才和平面γ平行，选项D不正确；故选B．　4．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是（　　）A．B．C．πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体为一个球体的，缺口部分为挖去的，利用体积公式即可得出结论．【解答】解：由三视图可知该几何体为一个球体的，缺口部分为挖去的．\n∵球的半径R=1，∴V==π故选：C．　5．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（　　）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故选：D．　6．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：（　　）①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．A．①②B．②③C．③④D．①④【考点】类比推理．【分析】①④根据课本中的定理即可判断正确，②③根据正方体中的直线，平面即可盘不正确【解答】解：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故正确．②垂直于同一条直线的两条直线互相平行，不一定平行，也可能相交直线，异面直线，故不正确．\n③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；不一定平行，也可能相交平面，如墙角，故不正确．④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．故正确．故选：D．　7．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（　　）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1=，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V=××=，故选：A．　8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（　　）\nA．4cm3B．6cm3C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱锥与三棱柱的组合体，由此求出它的体积即可【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是上部为三棱锥，下部为三棱柱的组合体，三棱柱的每条棱长为2cm，三棱锥的高为2cm，∴该组合体的体积为V=×2×2×2+××2×2×2=cm2，选：C．　9．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）A．20+2πB．20+3πC．24+2πD．24+3π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为半圆柱与正方体的组合体，由7个平面和1个曲面组成．【解答】解：由三视图可知该几何体为半圆柱与正方体的组合体，半圆柱的底面半径为1，高为2，正方体的边长为2，∴几何体的表面积S=2×2×5+π×12+π×1×2=20+3π．故选B．　10．用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为（　　）A．9πB．18πC．6πD．3π\n【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设圆锥的母线和底面半径长分别为l，r，由已知条件列方程求出r=3，由此能求出此圆锥的体积．【解答】解：设圆锥的母线和底面半径长分别为l，r，∴l=6，2πr=6π，解得r=3，∴此圆锥的体积V==9．故选：A．　11．如图，三棱锥P﹣ABC的棱长都相等，D是棱AB的中点，则直线PD与直线BC所成角的余弦值为（　　）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取AC的中点E，DE∥BC，即构造出直线PD与直线BC所成角为∠PDE．【解答】解：取AC的中点E，连接DE，PE，∴DE∥BC，则直线PD与直线BC所成角为∠PDE．∵三棱锥P﹣ABC的棱长都相等，设：AP=PB=PC=a，D是棱AB的中点，∴PD⊥AB，PE⊥AC，PD=PE，可得：△APE≌△ADP，且是直角三角形，∴PD=PE=．利用余弦定理：∴cos∠PDE==故选：C．\n　12．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、2、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（　　）A．6πB．9πC．3πD．12π【考点】球的体积和表面积．【分析】长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，求出直径即可求出表面积．【解答】解：由题意得，此问题是球内接长方体，所以可得长方体的对角线长等于球的直径，即，所以，所以求得表面积为．故选：B．　二、填空题：共4题每题5分共20分13．已知点A（﹣2，﹣1），B（1，﹣5），点P是圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4上的动点，则△PAB面积的最大值与最小值之差为　10　．【考点】圆方程的综合应用．【分析】先求得|AB|=5，所以当点P到直线AB距离最大值与最小值时，△PAB面积取最大值与最小值计算，求得结果．【解答】解：由于底边AB为定值5，所以当点P到直线AB距离最大值与最小值时，△PAB面积取最大值与最小值，因此△PAB面积的最大值与最小值之差为=2×5=10．故答案为：10．　14．已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D﹣ABC，当三棱锥D﹣ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为　　．【考点】球的体积和表面积．【分析】画出图形，确定三棱锥外接球的半径，然后求解外接球的体积即可．【解答】解：已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，沿AC折叠成三棱锥，如图：AB=2，AD=1，CD=1，∴AC=，BC=，∴BC⊥AC，取AC的中点E，AB的中点O，连结DE，OE，∵当三棱锥体积最大时，∴平面DCA⊥平面ACB，∴OB=OA=OC=OD，∴OB=1，就是外接球的半径为1，\n此时三棱锥外接球的体积：=．故答案为：．　15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积是　32π　．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】首先由三视图还原几何体为三棱柱，根据图中数据求外接球的表面积．【解答】解：由已知三视图得到几何体是三棱柱，底面是斜边为4，高为2的等腰直角三角形，其外接圆半径为2，棱柱的高为4，所以其外接球半径为，所以外接球表面积为4π=32π．故答案为：32π．　16．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为　16π　．【考点】球的体积和表面积．【分析】根据棱柱的体积公式求得棱柱的侧棱长，再利用三棱柱的底面是直角三角形可得外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，从而求得外接球的半径R，代入球的表面积公式计算．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，设侧棱长为H，又三棱柱的底面为直角三角形，BC=1，∠BAC=30°，∴AC=，AB=2，∴三棱柱的体积V=××H=3，∴H=2，\n△ABC的外接圆半径为AB=1，三棱柱的外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，如图：∴外接球的半径R==2，∴外接球的表面积S=4π×22=16π．故答案为：16π．　三、解答题：共8题共70分17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…\n（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…　18．如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．\n【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取CE中点P，连接FP、BP，根据中位线定理可知FP∥DE，且FP=，而AB∥DE，且AB=则ABPF为平行四边形，则AF∥BP，AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，满足线面平行的判定定理，从而证得结论；（2）根据AB⊥平面ACD，DE∥AB，则DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，根据线面垂直的性质可知DE⊥AF．又AF⊥CD，CD∩DE=D，满足线面垂直的判定定理，证得AF⊥平面CDE，又BP∥AF，则BP⊥平面CDE，BP⊂平面BCE，根据面面垂直的判定定理可证得结论；（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系F﹣xyz．设AC=2，根据线面垂直求出平面BCE的法向量n，而m=（0，0，1）为平面ACD的法向量，设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，根据可求出所求．【解答】（1）证：取CE中点P，连接FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=．又AB∥DE，且AB=．∴AB∥FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．…又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．…（2）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD．∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF．又AF⊥CD，CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE．…又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE．又∵BP⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．…（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），建立空间直角坐标系F﹣xyz．设AC=2，则C（0，﹣1，0），．…设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，则令z=1，则n=（0，﹣1，1）．…显然，m=（0，0，1）为平面ACD的法向量．设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，则．α=45°，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°．…\n　19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=1，BC=，AC=2．（1）求证：BC⊥平面PAB；（2）若AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，求四棱锥A﹣BCFE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明PA⊥BC，AB⊥BC，即可利用直线与平面垂直的判定定理证明BC⊥平面PAB．（2）说明AE⊥平面PAB，利用△PFE相似于△PBC，求出SBCFE的面积，然后求解四棱锥A﹣BCFE的体积．【解答】解：（1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，△ABC中，，∴AB2+BC2=AC2，AB⊥BC，∵PA、AB是平面PAB上的两条相交直线，∴BC⊥平面PAB．（2）解：由BC⊥平面PAB，BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB，交线为PB，∵AE⊥PB于点E，∴AE⊥平面PAB，从而AE⊥EF，AE⊥PC．又AF⊥PC于点F，∴PC⊥平面AEF，∵EF⊂平面AEF，∴PC⊥EF，直角△PBC中，．又△PFE相似于△PBC，∴，\n从而，所以，四棱锥A﹣BCFE的体积．　[选修4-1：几何证明选讲]20．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AH⊥CD于H，BD交AH于P，且PC⊥BC（Ⅰ）求证：A，B，C，P四点共圆；（Ⅱ）若∠CAD=，AB=1，求四边形ABCP的面积．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（Ⅰ）由已知AC=AD，AH⊥CD可得△ACP≌△ADP，得∠ACP=∠ADP．再由AB=AD，得∠ADP=∠ABP，进一步得到∠ABP=∠ACP，可知A，B，C，P四点共圆；（Ⅱ）由AC=AD，，得△ACD是边长为1的等边三角形，结合AH⊥CD，得．再结合A，B，C，P四点共圆，，得，即△ABC也是边长为1的等边三角形，进一步得到P为△ACD的中心．可得SABCP=S△ABC+S△ACP=．【解答】证明：（Ⅰ）∵AC=AD，AH⊥CD，∴∠CAD=∠DAP，从而△ACP≌△ADP，得∠ACP=∠ADP．又AB=AD，故∠ADP=∠ABP，从而∠ABP=∠ACP，可知A，B，C，P四点共圆；（Ⅱ）由AC=AD，，从而△ACD是边长为1的等边三角形，又AH⊥CD，故．由（Ⅰ）知A，B，C，P四点共圆，又，故，从而，故△ABC也是边长为1的等边三角形，由PC⊥BC，，得，知CP，AH为等边三角形的角平分线，从而P为△ACD的中心．故此时SABCP=S△ABC+S△ACP=．\n　21．已知Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，AE=2EB，AF=2FC，将△AEF沿EF折起，使A变到A′，使平面A′EF⊥平面EFCB．（1）试在段A′C上确定一点H，使FH∥平面A′BE；（2）试求三棱锥A′﹣EBC的外接球的半径与三棱锥A′﹣EBC的表面积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由AE=2EB，AF=2FC，可得EF∥BC，且EF=，在底面BEFC中，过F作FG∥EB，交BC于G，在平面A′BC中，过G作GH∥A′B交A′C于H，连接FH，由面面平行的判定可得平面HGF∥面A′BE，从而得到FH∥平面A′BE，且；（2）由题意可得三棱锥A′﹣EBC的三个侧面和底面均为直角三角形，求解个直角三角形面积，作和后可得三棱锥A′﹣EBC的表面积；在直角三角形EBC中，取EC中点K，则KE=KB=KC，过K作KO∥A′E交A′C于O，则O为A′C的中点，此时OA′=OE=OB=OC，即OA′为三棱锥A′﹣EBC的外接球的半径，求解直角三角形得三棱锥A′﹣EBC的外接球的半径．【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，∴AC=5，∵AE=2EB，AF=2FC，∴EF∥BC，且EF=，在底面BEFC中，过F作FG∥EB，交BC于G，在平面A′BC中，过G作GH∥A′B交A′C于H，连接FH，∵FG∥EB，BE⊂面A′BE，FG⊄面A′BE，∴FG∥面A′BE．∵GH∥A′B，A′B⊂面A′BE，HG⊄面A′BE，∴HG∥面A′BE，又HG∩FG=G，\n∴平面HGF∥面A′BE，则FH∥平面A′BE，由EF=BG=，可得；（2）A′E=2，BE=1，BC=4，∵∠EBC=90°，∴，，由A′EF⊥平面EFCB，且A′E⊥EF，可得A′E⊥平面EFCB，∴△A′EB，△A′EC为Rt△，由面A′EB⊥平面EFCB，BC⊥BE，可得A′B⊥BC，则△A′BC，△EBC为Rt△，∴三棱锥A′﹣EBC的表面积为=；在直角三角形EBC中，取EC中点K，则KE=KB=KC，过K作KO∥A′E交A′C于O，则O为A′C的中点，此时OA′=OE=OB=OC，即OA′为三棱锥A′﹣EBC的外接球的半径，等于．　22．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求A到平面PBC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．\n【分析】（Ⅰ）设BD与AC的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通过AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：设BD与AC的交点为O，连结EO，∵ABCD是矩形，∴O为BD的中点∵E为PD的中点，∴EO∥PB．EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP=1，AD=，三棱锥P﹣ABD的体积V=，∴V==，∴AB=，PB==．作AH⊥PB交PB于H，由题意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．又在三角形PAB中，由射影定理可得：A到平面PBC的距离．　23．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k（k＞0）．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值．\n【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取CD的中点E，连结BE，证明BE⊥CD，可得CD⊥AD，利用AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥CD，即可证明CD⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）以D为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面AB1C的法向量，利用直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，建立方程，即可求k的值．【解答】（Ⅰ）证明：取CD的中点E，连结BE．∵AB∥DE，AB=DE=3k，∴四边形ABED为平行四边形，…∴BE∥AD且BE=AD=4k．在△BCE中，∵BE=4k，CE=3k，BC=5k，∴BE2+CE2=BC2，∴∠BEC=90°，即BE⊥CD，又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．…∵AA1⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴AA1⊥CD．又AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1．…（Ⅱ）解：以D为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A（4k，0，0），C（0，6k，0），B1（4k，3k，1），A1（4k，0，1），所以=（﹣4k，6k，0），=（0，3k，1），=（0，0，1）．设平面AB1C的法向量=（x，y，z），则取y=2，得=（3，2，﹣6k）（k＞0）．　　　　　　　　　　　　…设AA1与平面AB1C所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=，解得k=1，故所求k的值为1．…\n　24．已知直线l1：ax+2y+6=0，直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0．（1）若l1⊥l2，求a的值；（2）若l1∥l2，求a的值．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）当两条直线垂直时，斜率之积等于﹣1，解方程求出a的值．（2）利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出a的值．【解答】解：（1）l1⊥l2时，a×1+2×（a﹣1）=0，解得a=．∴a=．（2）∵a=1时，l1不平行l2，∴l1∥l2⇔，解得a=﹣1．