2018-2019学年新疆自治区北京大学附属中学新疆分校高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年新疆自治区北京大学附属中学新疆分校高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年新疆自治区北京大学附属中学新疆分校高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】先化简复数，再由复数的几何意义即可得出结果.【详解】因为，所以其对应点为，位于第四象限.故选D【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，熟记运算法则与几何意义即可，属于常考题型.2．将个不同的小球放入个盒子中，则不同放法种数有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：采用分步计数原理来求解：分3步，每一步4种方法，不同方法种数有种【考点】分步计数原理3．下列函数求导运算正确的个数为()①②③④A．1B．3C．4D．2【答案】D【解析】根据导数的运算公式，以及导数的运算法则，即可求解，得到答案．【详解】由导数的运算公式和导数的运算法则，可得：\n由，所以①不正确；由，所以②是正确的；由，所以③是正确的；由，所以④不正确．所以正确的个数为2个，故选D．【点睛】本题主要考查了导数的运算公式，以及导数的运算法则的应用，其中熟记导数的运算公式和运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．4．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道自己的成绩D．乙、丁可以知道对方的成绩【答案】C【解析】根据四人所知和自己看到，以及老师所说和最后甲说话，继而可以推出正确答案．【详解】由题意，给甲看到乙丙的成绩，甲不知道自己的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自己的成绩了，不符合题意，给乙看了丙的成绩，乙没有说不知道自己的征集，假定丙是优秀，则乙是良，乙就知道自己的成绩了，给定看了甲的成绩，因为甲不知道自己的成绩，乙丙一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲的成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自己的成绩了，故选C．【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中紧紧把握四人所知只有自己看到和老师所说及最后甲说的话是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．5．在的展开式中的常数项是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：由二项式定理可知展开式的通项公式为\n，令，常数项为【考点】二项式定理6．定积分（）A．B．1C．D．【答案】B【解析】根据微积分基本定理，得到，即可求解，得到答案．【详解】根据微积分基本定理，可得，故选B．【点睛】本题主要考查了定积分的计算，其中解答中熟练应用微积分基本定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为A．1B．2C．-1D．-2【答案】B【解析】设切点，则，又，故答案选B。8．在复平面内,复数与分别对应向量和,其中O为坐标原点,则=（）A．B．C．2D．4【答案】C【解析】利用复数的几何意义、向量的模长公式和坐标运算，即可求解，得到答案．【详解】因为复数与分别对应向量和，所以向量和，所以，则，故选C．【点睛】\n本题主要考查了复数的几何意义、向量的模长计算和坐标运算，着重考查了推理能力和计算能力，属于基础题．9．从台甲型和台乙型电视机中任意取出台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有()A．70种B．84种C．140种D．35种【答案】A【解析】可分为两类：一类：甲型2台与乙型1台，另一类：甲型1台与乙型2台，再由分类计数原理，即可求解，得到答案．【详解】由题意，从台甲型和台乙型电视机中任意取出台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，可分为两类：一类：甲型2台与乙型1台，共有种；另一类：甲型1台与乙型2台，共有种，由分类计数原理，可得共有种不同的取法，故选A．【点睛】本题主要考查了分类计数原理的应用，以及组合数的应用，其中解答中认真审题，合理分类是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个正方形的某顶点在另一个正方形的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为__________.A．B．C．D．【答案】C【解析】\n根据正方形中，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠的部分的面积恒为，结合正方体的结构特征，即可类比推理出两个正方体重叠部分的体积，得到答案．【详解】由题意，因为同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠的部分的面积恒为，类比到空间中由两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体的重叠部分的体积为，【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，解答的关键是根据正方形的性质类比推理出正方体的性质特征，难度不大，属于基础题，着重考查了推理与论证能力．11．曲线在点处的切线与直线和所围成图形的面积()A．1B．C．D．【答案】B【解析】利用导数的几何意义，求得曲线在点处的切线方程，再求得三线的交点坐标，利用三角形的面积公式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，曲线，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即，令，解得，令，解得，所以切线与直线和所围成图形的面积为，故选B．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两直线的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．若函数的图像经过四个象限，则实数的取值范围是（）\nA．B．或C．D．或【答案】A【解析】求出，判断取极值的情况，判断出由两个极值，根据图象经过四个象限，得到两个极值符号相反，列出不等式，即可求解．【详解】由函数，则，当时，的符号，与时，的符号相反，当时，的符号，与时，的符号相反，所以与是极值，要使得函数的图像经过四个象限，则，解得，所以实数的取值范围是，故选A．【点睛】本题主要考查了函数的极值的概念、求解及应用，解答中根据极值点两边的导数的符号的特点，列出不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．二、填空题13．复数z＝i（i＋1）（i为虚数单位）的共轭复数=________．【答案】【解析】试题分析：因,故其共轭复数．【考点】复数的有关概念及运算．14．“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数：它的第8个数是________【答案】.【解析】将这一组数：，可化为，得到规律，即可求解．【详解】\n将这一组数：，可化为，可得分母是，分子构成首项为1，公差为1的等差数列，所以数列的通项公式为，所以．【点睛】本题主要考查了数列的概念的应用，其中解答中发现数列中数字的变化规律，得出数列的通项公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．15．函数在闭区间上的最大值为__________．【答案】3【解析】先求出函数的导数，在闭区间上，利用导数求出函数的极值，然后与进行比较，求出最大值.【详解】，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以是函数的极大值点，即，，，所以函数在闭区间上的最大值为3.【点睛】本题考查了闭区间上函数的最大值问题.解决此类问题的关键是在闭区间上先利用导数求出极值，然后求端点的函数值，最后进行比较，求出最大值.16．设a>0,f(x)=ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0,],则点P到曲线y=f(x)的对称轴的距离的取值范围为　　　　.【答案】[0,]【解析】【详解】∵y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0,],∴0≤f'(x0)≤1,即0≤2ax0+b≤1.又∵a>0,∴-≤x0≤,∴0≤x0+≤,即点P到曲线y=f(x)的对称轴的距离的取值范围为[0,]三、解答题17．已知复数\n（1）当m为何值时,Z为纯虚数?（2）当m为何值时,Z对应的点在上?【答案】(1)(2).【解析】化简复数为，(1)由为纯虚数，列出方程组，即可求解；(2)根据Z对应的点在上，列出方程，即可求解．【详解】由题意，复数，则，(1)若为纯虚数，则有，解得：；(2)根据Z对应的点在上，则有，解得：．【点睛】本题主要考查了复数的概念，以及复数的表示的应用，其中解答中熟记复数的表示方法，列出相应的方程（组）是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18．已知函数(1)求在R上的单调区间．(2)求在上的最大值和最小值．【答案】(1)增区间为，减区间为(2)函数的最大值为：13，最小值为：.【解析】（1）求得，利用和，即可求解函数的单调区间；（2）令，求得到函数的单调性，进而可求得函数的最值．【详解】（1）由函数，则，令，则或；令，则，所以增区间为，减区间为．（2）令，得或，\nx-2+0-0+增函数13减函数增函数∵.，.∴函数的最大值为13，最小值为.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，同时注意数形结合思想的应用．19．六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站在两端；（2）甲，乙必须相邻；（3）甲，乙不相邻.(4)甲，乙之间恰有两人【答案】(1)480.(2)240(3)480(4)144.【解析】（1）现在中间的4个位中选一个，排上甲，再其余的人任意排，即可求解；（2）把甲、乙看成一个整体，进行全排列，即可求解；（3）先把甲、乙二人单独挑出，然后再把甲、乙插入其余4人形成的5个空中，即可求解；（4）先把甲、乙排好，再从其余的4人中选出2人放到甲、乙中间，最后把排好的这4个人看做一个整体进行排列，即可求解．【详解】（1）现在中间的4个位中选一个，排上甲，方法有4种，其余的人任意排，方法有（种）；\n（2）把甲、乙看成一个整体，这样6个人变成了5个人，全排列方法共有（种）；（3）先把甲、乙二人单独挑出来，把其余的4个人全排列，然后再把甲、乙插入其余4人形成的5个空中，方法共有（种）；（4）先把甲、乙排好，有种方法，再从其余的4人中选出2人放到甲、乙中间，方法有种.把排好的这4个人看做一个整体，再与其他的2个人进行排列，方法有种.根据分步计数原理，求得甲、乙之间间隔两人的排法共有（种）；【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类与分步是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．20．已知二次函数在处取得极值，且在点处的切线与直线平行．(1）求的解析式；(2）若函数，且有三个不同的零点，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2).【解析】（1）求得函数的导数，根据题意得到，求得的值，即可得到函数的解析式；（2）由（1）求得函数，利用导数求得函数的单调性与极值，即进而可求解实数的取值范围．【详解】（1）由题意，函数，可得，由题设可得，即，解得，所以.\n（2）因为，所以，则.令，得.X1+0-0+↑极大值↓极小值0↑所以函数在有极小值为0.在有极大值.要使得有三个不同的零点，即与的图象有三个不同的交点，所以实数的取值范围是．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性，以及由函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，同时注意数形结合思想的应用．21．已知的展开式前三项的三项式系数的和等于37，求：（1）展开式中二项式系数最大的项的系数．（2）展开式中系数最大的项．【答案】(1)(2),.【解析】（1）由题设条件，求得，得到二项式展开式中第5项的二项式系数最大，利用二项式的通项，即可求解；（2）设二项展开式的第项的系数最大，列出不等式组，求得，得到展开式中系数最大的项为第8项及第9项，即可求解．【详解】\n（1）由的展开式前三项的三项式系数的和等于37，即，解得，即二项式，所以展开式中第5项的二项式系数最大，因此由可知此项的系数为.（2）设二项展开式的第项的系数最大，则，解得，所以展开式中系数最大的项为第8项及第9项，即，.【点睛】本题主要考查二项式定理的通项的应用，属于中档试题，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．22．已知函数（1）若，求函数在区间的最小值；（2）若讨论函数在的单调性；（3）若对于任意的求的取值范围。【答案】（1）（2）时，增区间，时，减区间，增区间（3）【解析】试题分析：（1）先求，根据导数的符号判断函数f（x）在[-1，1]的单调性，从而求出f（x）的最小值；（2）先求f′（x），讨论a，判断导数符号，从而得出函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（3）将不等式变形为：\n，所以令，从而得到g（x）在（0，+∞）上为增函数，所以g′（x）＞0，所以，为了求a的范围，所以需要求的范围，可通过求导数，根据单调性来求它的范围，求得范围是，所以2-a≥1，所以求得a的范围试题解析：（1）当a=-1时，f(x)=ex-x+2,综上所述：在上单调递增（3）构造函数即在恒成立\n即恒成立，令∴a-2≤-1∴a≤1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，单调性