2018届二轮复习（理）专题五　立体几何与空间向量第2讲　空间中的平行与垂直课件（全国通用）

2018届二轮复习（理）专题五　立体几何与空间向量第2讲　空间中的平行与垂直课件（全国通用）

第2讲　空间中的平行与垂直专题五立体几何与空间向量\n热点分类突破真题押题精练\nⅠ热点分类突破\n热点一　空间线面位置关系的判定空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题.(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断.\n例1(1)(2017·四川省眉山中学月考)已知m，n为空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个不同的平面，下列命题正确的是A.若n⊥α，n⊥β，m⊂β，则m∥αB.若m⊥α，α⊥β，则m∥βC.若m，n在α内的射影互相平行，则m∥nD.若m⊥l，α∩β＝l，则m⊥α解析由题意知，n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊂β，则m∥α，A正确；若m⊥α，α⊥β，可能会现m⊂β，B错误；若m，n在α内的射影互相平行，两直线异面也可以，C错误；若m⊥l，α∩β＝l，可能会出现m⊂α，D错误.故选A.√答案解析\n答案解析(2)(2017届泉州模拟)设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面αA.有无数多个B.恰有4个C.只有1个D.不存在√思维升华\n解析如图，由题知面PAD与面PBC相交，面PAB与面PCD相交，可设两组相交平面的交线分别为m，n，由m，n决定的平面为β，作α与β平行且与四条侧棱相交，交点分别为A1，B1，C1，D1，则由面面平行的性质定理得A1B1∥n∥C1D1，A1D1∥m∥B1C1，从而得截面必为平行四边形.由于平面α可以上下平移，可知满足条件的平面α有无数多个.故选A.\n思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中.\n答案解析跟踪演练1(1)α，β，γ是三个平面，m,n是两条直线，则下列命题正确的是A.若α∩β＝m,n⊂α，m⊥n，则α⊥βB.若α⊥β，α∩β＝m,α∩γ＝n，则m⊥nC.若m不垂直平面α，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线D.若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β√\n解析逐一分析所给的命题：A项，若α∩β＝m,n⊂α，m⊥n，并非一条直线垂直于平面内的两条相交直线，不一定有α⊥β，该说法错误；B项，若α⊥β，α∩β＝m,α∩γ＝n，无法确定m，n的关系，该说法错误；C项，若m不垂直平面α，则m可能垂直于平面α内的无数条直线，该说法错误；D项，若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β，该说法正确.故选D.\n答案解析(2)(2017届株洲一模)如图，平面α⊥平面β，α∩β＝直线l,A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D∉直线l,M，N分别是线段AB，CD的中点.下列判断正确的是A.当CD＝2AB时，M，N两点不可能重合B.M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C.当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交D.当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行√\n解析由于直线CD的两个端点都可以动，所以M，N两点可能重合，此时两条直线AB，CD共面，由于两条线段互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形，因此AC∥BD，则BD⊂β，所以由线面平行的判定定理可得AC∥β，又因为AC⊂α，α∩β＝l，所以由线面平行的性质定理可得AC∥l，故应排除答案A，C，D，故选B.\n热点二　空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化.\n例2(1)(2017·全国Ⅱ)如图，四棱锥P—ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.①证明：直线BC∥平面PAD；证明在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.证明\n②若△PCD的面积为2，求四棱锥P—ABCD的体积.解答\n解如图，取AD的中点M，连接PM，CM.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.\n取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，解得x＝－2(舍去)或x＝2.\n所以四棱锥P—ABCD的体积\n(2)(2017·重庆市巴蜀中学三模)如图，平面ABCD⊥平面ADEF，四边形ABCD为菱形，四边形ADEF为矩形，M，N分别是EF，BC的中点，AB＝2AF,∠CBA＝60°.①求证：DM⊥平面MNA；证明\n证明连接AC，在菱形ABCD中，∠CBA＝60°，且AB＝BC，∴△ABC为等边三角形，又∵N为BC的中点，∴AN⊥BC，∵BC∥AD，∴AN⊥AD，又∵平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，AN⊂平面ABCD，∴AN⊥平面ADEF，又DM⊂平面ADEF，∴DM⊥AN.∵在矩形ADEF中，AD＝2AF，M为EF的中点，∴△AMF为等腰直角三角形，∴∠AMF＝45°，\n同理可证∠DME＝45°，∴∠DMA＝90°，∴DM⊥AM，又∵AM∩AN＝A，且AM，AN⊂平面MNA，∴DM⊥平面MNA.\n②若三棱锥A－DMN的体积为，求MN的长.证明思维升华\n证明设AF＝x，则AB＝2AF＝2x，在Rt△ABN中，AB＝2x,BN＝x,∠ABN＝60°，∵平面ABCD⊥平面ADEF,AD为交线，FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD，设h为点M到平面ADN的距离，则h＝AF＝x，\n\n思维升华垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质，即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.\n跟踪演练2(2017·北京市海淀区适应性考试)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝，E是侧棱PA上的动点.(1)求四棱锥P－ABCD的体积；解∵PA⊥平面ABCD，解答\n(2)如果E是PA的中点，求证：PC∥平面BDE；证明连接AC交BD于O，连接OE.∵四边形ABCD是正方形，∴O是AC的中点，又∵E是PA的中点，∴PC∥OE，∵PC⊄平面BDE,OE⊂平面BDE，∴PC∥平面BDE.证明\n(3)是否无论点E在侧棱PA的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论.解无论点E在任何位置，都有BD⊥CE.证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵PA⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA，又∵AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC.∵无论点E在任何位置，都有CE⊂平面PAC，∴无论点E在任何位置，都有BD⊥CE.解答\n热点三　平面图形的折叠问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键.一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法.\n例3(2017·孝义质检)如图(1)，在五边形ABCDE中，ED＝EA，AB∥CD，CD＝2AB，∠EDC＝150°.如图(2)，将△EAD沿AD折到△PAD的位置，得到四棱锥P－ABCD.点M为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD.(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；证明\n∴四边形ABMN为平行四边形，∴AN∥BM，又BM⊥平面PCD，∴AN⊥平面PCD，\n∴AN⊥PD，AN⊥CD.由ED＝EA，即PD＝PA及N为PD的中点，可得△PAD为等边三角形，∴∠PDA＝60°，又∠EDC＝150°，∴∠CDA＝90°，∴CD⊥AD，又AN∩AD＝A，AN⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，又∵CD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD.\n解设四棱锥P－ABCD的高为h，四边形ABCD的面积为S，解答思维升华\n思维升华(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口.(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论.\n跟踪演练3(2017届四川省成都市九校模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE,AC,DE,得到如图所示的空间几何体.(1)求证：AB⊥平面ADC；证明\n证明因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，又BD⊥DC，DC⊂平面BCD，所以DC⊥平面ABD.因为AB⊂平面ABD，所以DC⊥AB.又AD⊥AB，DC∩AD＝D，AD，DC⊂平面ADC，所以AB⊥平面ADC.\n解答\n故BC＝3.由于AB⊥平面ADC，AB⊥AC，E为BC的中点，\n因为DC⊥平面ABD，设点B到平面ADE的距离为d，\nⅡ真题押题精练\n真题体验1.(2017·全国Ⅰ改编)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是______.答案解析12(1)\n解析对于(1)，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交；12\n对于(2)，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；12\n对于(3)，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；12\n对于(4)，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ，又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.12\n2.(2017·江苏)如图，在三棱锥A—BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；证明在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以AB∥EF.又EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.12证明\n(2)AD⊥AC.证明因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.12证明\n押题预测答案解析押题依据空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容，也是高考命题的热点.此类题常与命题的真假性、充分条件和必要条件等知识相交汇，意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力.121.不重合的两条直线m，n分别在不重合的两个平面α，β内，下列为真命题的是A.m⊥n⇒m⊥βB.m⊥n⇒α⊥βC.α∥β⇒m∥βD.m∥n⇒α∥β√押题依据\n12解析构造长方体，如图所示.因为A1C1⊥AA1，A1C1⊂平面AA1C1C，AA1⊂平面AA1B1B，但A1C1与平面AA1B1B不垂直，所以平面AA1C1C与平面AA1B1B不垂直.所以选项A，B都是假命题.CC1∥AA1，但平面AA1C1C与平面AA1B1B相交而不平行，所以选项D为假命题.“若两平面平行，则一个平面内任何一条直线必平行于另一个平面”是真命题，故选C.\n2.如图(1)，在正△ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BE＝AF＝2CF.点P为边BC上的点，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图(2)所示.(1)求证：A1E⊥FP；押题依据以平面图形的翻折为背景，探索空间直角与平面位置关系的考题创新性强，可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，预计将成为今年高考的命题形式.12证明押题依据\n证明在正△ABC中，取BE的中点D，连接DF，如图所示.因为BE＝AF＝2CF，所以AF＝AD，AE＝DE，而∠A＝60°，所以△ADF为正三角形.又AE＝DE，所以EF⊥AD.所以在题图(2)中A1E⊥EF，又A1E⊂平面A1EF，平面A1EF⊥平面BEFC，且平面A1EF∩平面BEFC＝EF，所以A1E⊥平面BEFC.因为FP⊂平面BEFC，所以A1E⊥FP.12\n(2)若BP＝BE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由.解答12\n解在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行.理由如下：如题图(1)，在正△ABC中，因为BP＝BE，BE＝AF，所以BP＝AF，所以FP∥AB，所以FP∥BE.如图所示，取A1P的中点M，连接MK，因为点K为棱A1F的中点，所以MK∥FP.因为FP∥BE，所以MK∥BE.因为MK⊄平面A1BE，BE⊂平面A1BE，所以MK∥平面A1BE.故在平面A1FP上存在过点K的直线MK与平面A1BE平行.12