高二上学期期中考试数学(文)4

高二上学期期中考试数学(文)4

三好网2017高二上学期期中考试数学试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．直线x+y－1=0的倾斜角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析　由已知，直线的斜率k=－,可得倾斜角为150°,故选D.答案　D2．椭圆的长轴为2，离心率为，则其短半轴为(　　)A．B．C．D．解析　由已知，a=1,=,所以c=.于是b2=a2-c2=,从而b=,故选C.答案　C3．直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行，则(　　)(　　)A．a＝1或a＝2B．a＝1或a＝－2C．a＝1D．a＝－2答案　B解析　由a(a＋1)＝2可得a＝1或a＝－2.经检验，均符合题意。故选B.4．经过抛物线y2＝4x的焦点且垂直于直线3x－2y＝0的直线l的方程是(　　)A．3x－2y－3＝0B．6x－4y－3＝0C．2x＋3y－2＝0D．2x＋3y－1＝0解析　设垂直于直线3x－2y＝0的直线l的方程为2x+3y+c＝0,由于直线l经过抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0),所以c=－2。故选C.答案　C5．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为(　　)A．4B．－4C．6D．－6解析　圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心，即－＋3＝0，∴m＝6.答案　C6.设正数x，y满足，则4x+6y－1的最大值为()A.3B.4C.5D.6解析　如图，作出可行域，容易得最优解为P(1,0.5)，将x=1,y=0.5代入目标函数z=4x+6y－1得6，故选D答案　D7．在焦点分别为F1、F2的双曲线上有一点P,若∠F1PF2＝，|PF2|＝2|PF1|,则该双曲线的离心率等于(　　)A．B.C．2D.解析　不妨设|PF2|＝2|PF1|＝2m，则由∠F1PF2＝得5m2=4c2,m=c.又由双曲线的定义知|PF2|－|PF1|=2a,c=a.离心率e==.答案　D8．如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的\n比值是(　　)A．3B．2C.D.解析　设双曲线的方程为－＝1，椭圆的方程为＋＝1，由于M，O，N将椭圆长轴四等分，所以a2＝2a1，又e1＝，e2＝，所以＝＝2.答案　B9．如图,过抛物线x2＝4y焦点的直线依次交抛物线与圆x2＋(y－1)2＝1于点A、B、C、D，则|AB|×|CD|的值是(　　)A．8B．4C．2D．1解析　法一：特殊化（只要考查直线y=1时的情形）法二：抛物线焦点为F(0,1)，设直线为y=kx+1,与x2＝4y联立得：y2－(4k2+2)y+1=0由于|AB|＝|AF|－1＝yA，|CD|＝|DF|－1＝yB。所以，|AB|·|CD|＝yAyB＝1.答案　D10．已知椭圆+＝1(a>0，b>0)，M，N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上的动点，且直线PM，PN的斜率分别为k1,k2,k1k2≠0,若|k1|＋|k2|的最小值为1,则椭圆的离心率为(　　)A.D.C.D.解析设M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)，则k1＝，k2＝.勘误：将题干中的“最小值为1”改为“最小值为”。[修改选项可能给考生带来想像的空间，四个选项都改也显得不好，因此修改题干合适些。]又∵M、N、P都在椭圆+＝1上，∴∴b2(x2－x)＝－a2(y2－y)．∴＝－.∴＝－k2，即|k1|·|k2|＝.又∵|k1|＋|k2|≥2＝.∴＝，即2b2＝a2，∴2(a2－c2)＝a2，即2c2＝a2∴＝，即e2＝，∴e＝.答案D二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a＝.解析　抛物线的标准方程为x2＝y，由条件得2＝－，a＝－.答案　－12．过点A(1,2)且与圆x2＋y2＝1相切的直线方程是．解析　设切线方程为y－2=k(x－1),即kx－y+2－k=0。由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即=1,解得k=,其方程为3x－4y+5=0.又，当斜率不存在时，切线方程为x=1。答案　3x－4y+5=0或x=113．若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x的焦点,且与双曲线x2－y2\n＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是．解析抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c＝，∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.太阳光线答案＋＝114．已知圆锥曲线＋＝1的离心率等于，则m＝解析当方程表示焦点在x轴上的椭圆时，0＜m＜4,且=,解得m=1;当方程表示焦点在y轴上的椭圆时，4＜m，且=,解得m=16.答案1或1615．如图，平行光线与水平地面成30°角,已知足球在地面上的影子是椭圆形，则该椭圆的离心率为解析已知桌面上有一个球,半径为R,一束平行光线与桌面成()角,则球在桌面上的投影椭圆的离心率。如图，和是两条与球相切的光线，分别切于点A和点C，分别与桌面交于点B和点D，则AC就是球的直径，BD的长就是椭圆的长轴长。过点A作AE//BD，交于点E，则BD=AE。在Rt△AEC中,因为∠AEC=,所以AE=,即，又因为,所以,所以.答案[注：选修1－1第25页对此进行了详细论述]三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本题满分12分)定义直线y＝±x为双曲线—＝1(a＞0,b＞0)的渐近线。已知圆C与双曲线x2－y2＝1的渐近线相切于点P(2，－2)，且圆心C在直线y＝－3x上，求圆C的方程。解析　双曲线x2－y2＝1的渐近线为y＝±x法一　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有，解得a＝1，b＝－3，r＝.∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝2.法二　过切点且与x＋y＝0垂直的直线为y＋2＝x－2，与y＝－3x联立可求得圆心为(1，－3)．∴半径r＝＝，∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝2.17．(本题满分12分)点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2.(1)求点M的轨迹方程；(2)若直线y=x－5与(1)中的轨迹交于A、B两点，求线段AB的长度。\n解析[注：选自选修1－1第37页例2](1)法一由题意可知：点M到点F(4,0)的距离与它到直线l:x+4=0的距离相等，故点M的轨迹是以F为焦点的抛物线。由=4得p=8,所以其方程为y2=16x.法二设M(x,y)，则由题意可得：+2=|x+6|,化简得:y2=16x.(2)法一设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|==|x1－x2|=|x1－x2|由得:x2－26x+25=0所以|x1－x2|＝==24于是|AB|=|x1－x2|＝24。法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得:x2－26x+25=0，解得x1=1,x2=25.所以A(1,－4)，B(25,20),从而|AB|==24。18．(本题满分12分)抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线的方程．解析　由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，所以p＝2c，所以抛物线方程为y2＝4cx.因为抛物线过点，所以6＝4c·，所以c＝1.故抛物线方程为y2＝4x.又双曲线－＝1过点，所以－＝1.又a2＋b2＝c2＝1，所以代入得－＝1，所以a2＝或a2＝9(舍)，所以b2＝，故双曲线方程为4x2－＝1.19．(本题满分12分)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线经过P(3,－4)、Q(，5)两点。(1)求双曲线的方程；(2)设F1、F2是双曲线的两个焦点,M是双曲线上位于第一象限的一点,且满足∠F1MF2=60°,求点M的坐标。解析[注：选自选修1－1第44页A组题第4题](1)法一当双曲线的焦点在x轴上时，设－＝1(a＞0,b＞0),则,解得：a2=－9,b2=－16,舍去；当双曲线的焦点在y轴上时，设－＝1(a＞0,b＞0),则,解得：a2=16,b2=9,所以所求方程为－＝1.综上，双曲线的方程为－＝1.\n法二设双曲线的方程为Ax2－By2=1,则解得：A=－，B=－所以所求方程为－＝1.(2)如图，设|MF1|=m,|MF2|=n,则由双曲线的定义及余弦定理可得：,解得：m=-4,n=+4设M(x,y)，则由解得：x=±，y=由于点M在第一象限，故M(，).法二：设△F1MF2的面积为S，则S=mnsin60°=(-4)(+4)sin60°=又，S=F1F2xm=5xm所以=5xm，得：xm＝20．(本题满分13分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点F(－2,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M关于直线y＝x＋1的对称点在圆x2＋y2＝1上，求m的值．解析：(1)由题意，得，解得。∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)设点A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x3，y3)，M关于直线y＝x＋1的对称点为N(x4，y4)。由,消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，∴Δ＝96－8m2>0，∴－2知，S△AOD的最大值为。法二：设A(x1,y1),D(x2,y2),直线AD的方程为x=ty―4,则