山东省青岛市2020届高三4月统一质量检测（一模）数学（PDF版）

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- 1 - 青岛市 2020 年高三统一质量检测 数学试题 2020.04 全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟｡ 一､单项选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,复数 1 2 , i z i   则 z 的共轭复数 z 的虚部为 A. –i B.1 C. i D. -1 2.已知集合 2{ | log 2}A x R x   ,集合 B={x∈R||x-1|<2}, 则 A∩B= A. (0,3) B. (-1,3) C. (0,4) D. (-∞,3) 3.已知某市居民在 2019 年用于手机支付的个人消费额 (单位:元)服从正态分布 2(2000,100 ),N 则该市某居 民手机支付的消费额在(1900, 2200)内的概率为 A.0.9759 B.0.84 C.0.8185 D.0.4772 附:随机变量 服从正态分布 2( , ),N   则 P(μ-σ<ξ<μ+σ)= 0.6826, ( 2 2 ) 0.9544P          , P(μ- 3σ<ξ<μ+3σ)= 0.9974 . 4.设 0.22 ,a b  sin2 2, log 0.2,c  则 a, b,c 的大小关系正确的是 A. a>b> c B. b>a> c C. b>c>a D. c>a>b 5.已知函数 3 9, 0 ( ) ( 2.718... , 0 x x x f x e xe x       为自然对数的底数),若 f(x)的零点为 α,极值点为 β,则 α+β= A.-1 B.0 C.1 D.2 6.已知四棱锥 P-ABCD 的所有棱长均相等,点 E,F 分别在线段 PA, PC 上,且 EF//底面 ABCD,则异面直线 EF 与 PB 所成角的大小为 A.30° B.45° C.60° D.90° 7.在同一直角坐标系下,已知双曲线 C: 2 2 2 2 1( 0, 0) y x a b a b     的离心率为 2,双曲线 C 的一个焦点到一 条渐近线的距离为 2,函数 sin(2 ) 6 y x    的图象向右平移 3  单位后得到曲线 D,点 A,B 分别在双曲线 C 的下支 和曲线 D 上,则线段 AB 长度的最小值为 A.2 . 3B . 2C D.1 8.某单位举行诗词大会比赛,给每位参赛者设计了“保留题型” ､“升级题型” ､“创新题型”三类题型,每类题型 均指定一道题让参赛者回答｡已知某位参赛者答对每道题的概率均为 4 , 5 且各次答对与否相互独立,则该参赛者答 完三道题后至少答对两道题的概率 112 . 125 A 80 . 125 B 113 . 125 C 124 . 125 D 二､多项选择题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分｡在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求｡全部选 - 2 - 对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分｡ 9.已知向量 (1,1), ( 3,1), (1,1),a b a b c      r rr r r 设 ,a b rr 的夹角为 θ,则 . | | | |A a b rr .B a c r r . / /C b c r r D. θ=135° 10.已知函数 2 2( ) sin 2 3sin cos cos ,f x x x x x   x∈R,则 A. -2≤f(x)≤2 B. f(x) 在区间(0,π)上只有 1 个零点 C. f(x) 的最小正周期为 π . 3 D x   为 f(x)图象的一条对称轴 11.已知数列{ }na 的前 n项和为 S 1 1, 1, 2 1,n n na S S a    数列 1 2 { } n n na a  的前 n项和为 *, ,nT n N 则 下列选项正确的为 A.数列{ 1}na  是等差数列 B.数列{ 1}na  是等比数列 C.数列{ }na 的通项公式为 2 1n na   . 1nD T  12.已知四棱台 1 1 1 1ABCD A B C D 的上下底面均为正方形,其中 2 2,AB  1 1 1 1 12, 2,A B AA BB CC    则下述正确的是 A.该四棱合的高为 3 1 1.B AA CC C.该四棱台的表面积为 26 D.该四棱合外接球的表面积为 16π 三､填空题:本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分｡ 13.若∀x 1(0, ), 4x x a    恒成立,则实数 a 的取值范围为____ 14.已知函数 f(x)的定义域为 R,f(x+1)为奇函数, f(0)=1, 则 f(2)=____ 15. 已知 a∈N,二项式 61 ( ) a x x   展开式中含有 2x 项的系数不大于 240,记 a的取值集合为 A,则由集合 A中 元素构成的无重复数字的三位数共有______个 . 16.2020 年是中国传统的农历“鼠年”,有人用 3 个圆构成“卡通鼠”的形象,如图:Q(0,-3)是圆 Q 的圆心,圆 Q 过坐 标原点 O;点 L､S 均在 x 轴上,圆 L与圆 S 的半径都等于 2,圆 S､圆 L均与圆 Q 外切｡已知直线 l 过点 O . (1) 若直线 l 与圆 L､圆 S 均相切,则 l 截圆 Q 所得弦长为____ ; (2)若直线 l 截圆 L､圆 S､圆 Q 所得弦长均等于 d,则 d=____. - 3 - (本题第一个空 2 分,第二个空 3 分) 四､解答题:本题共 6 小题,共 70 分｡解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤｡ 17.(10 分) 设 等 差 数 列 { }na 的 前 n 项 和 为 ,nS 等 比 数 列 { }nb 的 前 n 项 和 为 .nT 已 知 1 1 2,a b  2 36, 12,SS   2 4 , 3 T  n∈N * . (1)求{ }, { }n na b 的通项公式; (2)是否存在正整数 k,使得 6kS k 且 13 9 kT  ？若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由｡ 18.(12 分) 在△ABC中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边, 2 2 2 22 ( )(1 tan )b b c a A    . (1)求角 C ; (2)若 2 10,c  D 为 BC 中点,在下列两个条件中任选一个,求 AD 的长度｡ 条件①:△ABC 的面积 S=4 且 B> A; 条件②: 2 5 cos . 5 B  注:如果选择两个条件分别解答,按第一个解答计分｡ 19. (12 分) 在如图所示的四棱锥E-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,△BCE为边长为2的等边三角形,AB=AE,点F,O 分别为 AB, BE 的中点, OF 是异面直线 AB 和 OC的公垂线｡ (1)证明:平面 ABE⊥平面 BCE; (2)记 OCDE 的重心为 G,求直线 AG 与平面 ABCD 所成角的正弦值. - 4 - 20. (12 分) 某网络购物平台每年 11 月 11 日举行“双十一”购物节,当天有多项优惠活动,深受广大消费者喜爱｡ (1)已知该网络购物平台近 5 年“双十”购物节当天成交额如下表: 年份 2015 2016 2017 2018 2019 成交额（百亿元） 9 12 17 21 27 求成交额 y (百亿元) 与时间变量 x (记 2015 年为 x=1, 2016 年为 x=2,……依次类推)的线性回归方程,并预测 2020 年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元) ; (2)在 2020年“双十一”购物节前,某同学的爸爸､妈妈计划在该网络购物平台.上分别参加 A､B两店各一个订单 的“秒杀”抢购,若该同学的爸爸､妈妈在 A､B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为 p､q,记该同学的爸爸和妈妈抢购到 的订单总数量为 X . ( i)求 X 的分布列及 E(X); (ii)已知每个订单由 k(k≥2,k∈N * )件商品 W 构成,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品 W 总数量为 Y,假设 2 7sin sin , 4 4 k kp q k k k       ,求 E(Y)取最大值时正整数 k的值. 附:回归方程 ˆŷ bx a  中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 1 1 2 2 2 1 1 ( ) ) ˆ ˆ; ( ) n n i i i i i i n n i i i i x y nx y x x y y b a y bx x nx x x                   . 21. (12 分) 已知 O 为坐标原点 ,椭圆 C 2 2 2 2 : 1( 0) x y a b a b     的左 ,右焦点分别为点 1 2, ,F F 2F 又恰为抛物线 D 2: 4y x 的焦点,以 1 2F F 为直径的圆与椭圆 C仅有两个公共点. (1)求椭圆 C的标准方程; (2) 若直线 l与 D相交于 A,B两点,记点 A,B到直线 x=-1的距离分别为 1,d 2 1 2,| | .d AB d d  直线 l与 C相 交于 E,F 两点,记△OAB,△OEF 的面积分别为 1 2, .S S (i)证明: 1EFF 的周长为定值; (ii)求 2 1 S S 的最大值. - 5 - 22. (12 分) 已知函数 2( ) ln 2f x ax x x   的图象在点(1,1)处的切线方程为 y=1. (1)当 x∈(0,2)时,证明: 0< f(x)<2; (2)设函数 g(x)=xf(x),当 x∈(0,1)时,证明: 0

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