2019-2020学年高中数学课时作业9不等式的应用北师大版选修4-5
课时作业(九)
1．“|x－1|<2”是“x<3”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 因为|x－1|<2，所以－1
1时，y≤，所以a≤≤，此时无解，
综上可得≤a<1，故选C.
4．对于使－x2＋2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做－x2＋2x的上确界，若a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则－－的上确界为( )
A. B．－
C. D．－4
答案 B
解析 －－＝－(＋)(a＋b)
8
＝－(＋＋＋2)≤－(＋2)＝－
当且仅当＝时等号成立．
由
解得a＝，b＝，
所以当a＝，b＝时，－－有最大值－.
所以－－≤－，故选B.
5．某公司租建仓库，每月土地占有费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________km处．
答案 5
解析 设仓库与车站的距离为x km，
则y1＝，y2＝k2x(k1，k2不为0)，
则k1＝20，k2＝0.8，
所以y1＝，y2＝0.8x，
所以费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2＝8(万元)，
当且仅当0.8x＝，即x＝5时等号成立．
6．设x，y均为正数，且＋＝，则xy的最小值为________．
答案 16
7．制造一个容器为立方米的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为每平方米30元，做侧面的金属板的价格为每平方米20元，当圆柱形桶的底面半径为________米，高为________米时，所使用的材料成本最低．
答案
解析 设此圆柱形桶的底面半径为r米，高为h米，则底面面积为πr2，侧面积为2πrh，
设原料成本为y元，则y＝30πr2＋40πrh
8
因为桶的容积为，
所以πr2h＝.所以rh＝，
所以y＝30πr2＋π＝10π(3r2＋＋)≥10π×3
当且仅当3r2＝，即r＝时，等号成立，此时h＝.
8．已知矩形的面积为4，则当矩形周长最小时，矩形的边长a和b分别为________．
答案 2，2
解析 由题意可知a>0，b>0，ab＝4，∴a＋b≥2＝4，当且仅当a＝b＝2时，周长2(a＋b)取最小值．
9．某产品的总成本c(万元)与产量x(台)之间满足关系：c＝300＋20x－x2，其中00，10－x>0，∴S＝2πx·(10－x)≤2π·()2＝2π×25＝50π cm2，当且仅当x＝10－x，即x＝5时取等号．
11．某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20 m长的墙壁，问应围成长为________ m，宽为________ m的长方形才能使小屋面积最大．
答案 10 5
解析 设长为x m，y m，x＋2y＝20，y＝10－，∴S＝x·y＝x(10－)，0100，解得4，解此不等式得a<－3或a>5.
故实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
16．稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会，计划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1 000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx＋800)元(其中k为常数)．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元．
(每平方米平均综合费用＝)
(1)求k的值；
(2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？
解析 (1)如果每幢楼为5层，
那么总的建筑面积为[(k＋800)＋(2k＋800)＋(3k＋800)＋(4k＋800)＋(5k＋800)]×1 000×10，
1 270＝{16 000 000＋[(k＋800)＋(2k＋800)＋(3k＋800)＋(4k＋800)＋(5k＋800)]×1 000×10}÷(10×1 000×5)，解得k＝50.
(2)设小区楼房每幢为n(n∈N*)层时，
每平方米平均综合费用为f(n)元，由题设可和衣而卧
f(n)＝{16 000 000＋[(50＋800)＋(100＋800)＋…＋(50n＋800)]×1 000×10}÷(10×1 000×n)＝＋25n＋825≥2＋825＝1 225.
当且仅当＝25n，即n＝8时等号成立．
故该小区楼房每幢建8层时，每平方米的平均综合费用最低，为1 225元．
1．某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时，要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以________海时/小时的航行速度行驶．
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答案 40
解析 设航行速度为x海里/小时，每小时的燃料费用为0.5x2(00，y>0)，∴y＝－，∵y＝－>0，∴00，∴S≥38 000＋2＝118 000，当且仅当x＝时，
Smin＝118 000元．
5．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且资金不超过9万元，同时资金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数f(x)模型制定奖励方案，试用数字语言表述公司对奖励函数f(x)模型的基本要求；
(2)现有两个奖励函数模型：①f(x)＝＋2；②f(x)＝4lgx－3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？
解析 (1)设奖励函数模型为y＝f(x)，则公司对函数模型的基本要求是：
当x∈[10，1 000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤恒成立；③f(x)≤9恒成立．
(2)①对于函数模型f(x)＝＋2：
当x∈[10，1 000]时，f(x)是增函数，则f(x)max＝f(1 000)＝＋2＝＋2<9.
所以f(x)≤9恒成立．
因为函数＝＋在[10，1 000]上是减函数，
所以[]max＝＋>.从而＝＋≤，即f(x)≤不恒成立．
故该函数模型不符合公司要求．
②对于函数模型f(x)＝4lgx－3：
当x∈[10，1 000]时，f(x)是增函数，则f(x)max＝f(1 000)＝4lg1 000－3＝9.
所以f(x)≤9恒成立．
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设g(x)＝4lgx－3－，则g′(x)＝－.
当x≥10时，g′(x)＝－≤＝<0，所以g(x)在[10，1 000]上是减函数，从而g(x)≤g(10)＝－1<0.所以4lgx－3－<0，即4lgx－3<，所以f(x)≤恒成立，故该函数模型符合公司要求．
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